準三角形の準ホップ代数

準三角形準ホップ代数は、1989 年にウクライナの数学者ウラジミール・ドリンフェルトによって定義された準ホップ代数の特殊な形式です。また、準三角形ホップ代数の一般化された形式でもあります。

準三角準ホップ代数は、準ホップ代数であり、R行列として知られる 集合であり、が可逆な要素であり、${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}=({\mathcal {A}},R,\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {A\otimes A}}}$

${\displaystyle R\Delta (a)=\sigma \circ \Delta (a)R}$

すべての に対して、スイッチマップは によって与えられ、 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma \colon {\mathcal {A\otimes A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}}$ ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$

${\displaystyle (\Delta \otimes \operatorname {id} )R=\Phi _{231}R_{13}\Phi _{132}^{-1}R_{23}\Phi _{123}}$

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )R=\Phi _{312}^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}\Phi _{123}^{-1}}$

ここで、および。 ${\displaystyle \Phi _{abc}=x_{a}\otimes x_{b}\otimes x_{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{123}=\Phi =x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}\in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}}$

さらに、 の場合には、準ホップ代数は三角形になります。 ${\displaystyle R_{21}R_{12}=1}$

によるねじれは、準ホップ代数の場合と同じであるが、ねじれたR行列 の定義が追加される。${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {A\otimes A}}}$

定義の最後の 2 つの条件によりホップ代数の準三角形性の条件が緩和されるため、 準三角形 (三角形) 準ホップ代数は準三角形 (三角形) ホップ代数となります。${\displaystyle \Phi =1}$

準ホップ代数のねじれ特性と同様に、準三角形または三角形準ホップ代数であるという特性は、ねじれによって保存されます。

参照

• リボンホップ代数

参考文献

• ウラジミール・ドリンフェルト、「準ホップ代数」、レニングラード数学ジャーナル（1989年）、1419–1457
• JM MailletとJ. Sanchez de Santos、「Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz」、アメリカ数学会翻訳シリーズ2巻201、2000年