準可逆性

数学的確率理論の一分野である待ち行列理論において、準可逆性（QRとも呼ばれる）は一部の待ち行列の特性です。この概念はリチャード・R・マンツ[1]によって最初に特定され、フランク・ケリー[2] [3]によってさらに発展させられました。準可逆性は、到着率にはより強い条件が課され、確率フラックスにはより弱い条件が適用されるという点で可逆性とは異なります。例えば、状態依存の到着率と状態依存のサービス時間を持つM/M/1待ち行列は可逆的ですが、準可逆的ではありません。[4]

個々の待ち行列を単独で考察した場合に準可逆となるような待ち行列ネットワークは、常に積形定常分布を持つ。[5]準可逆性は、待ち行列ネットワークにおける積形解の必要条件であると推測されていたが、これは当てはまらないことが示された。Chaoらは、準可逆性が満たされない積形ネットワークを示した。[6]

定義

定常分布を持つ待ち行列は、時刻tにおける状態x (t) が次の式に依存しない 場合、準可逆的である π {\displaystyle \pi}

  • 時刻t以降の各顧客クラスの到着時刻、
  • 時刻t以前の各顧客クラスの出発時刻

あらゆる顧客層を対象としています。[7]

部分均衡定式化

準可逆性は、部分均衡の特定の形式と同等です。まず、反転速度q'( x , x' )を次のように 定義します

π （ × ） q ′ （ × , × ′ ） ＝ π （ × ′ ） q （ × ′ , × ） {\displaystyle \pi (\mathbf {x})q'(\mathbf {x},\mathbf {x'})=\pi (\mathbf {x'})q(\mathbf {x'},\mathbf {x})}

特定のクラスの顧客だけを考えると、到着プロセスと出発プロセスは同じポアソン過程（パラメータ）となるので、 α {\displaystyle \alpha}

α ＝ ∑ × ′ ∈ M × q （ × , × ′ ） ＝ ∑ × ′ ∈ M × q ′ （ × , × ′ ） {\displaystyle \alpha =\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q'(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}

ここで、M xは、状態x' が状態xへの特定の顧客クラスの単一の到着を表すことを意味する集合です。 × ′ ∈ M × {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}}

例

参照

参考文献

  1. ^ Muntz, RR (1972). ポアソン出発過程と待ち行列ネットワーク (IBMリサーチレポート RC 4145) (技術レポート). ニューヨーク州ヨークタウンハイツ: IBMトーマス・J・ワトソン研究所
  2. ^ Kelly, FP (1975). 「異なるタイプの顧客を持つ待ち行列のネットワーク」.応用確率ジャーナル. 12 (3): 542– 554. doi :10.2307/3212869. JSTOR  3212869. S2CID  51917794.
  3. ^ Kelly, FP (1976). 「待ち行列のネットワーク」.応用確率論の進歩. 8 (2): 416– 432. doi :10.2307/1425912. JSTOR  1425912. S2CID  204177645.
  4. ^ ハリソン, ピーター G. ; パテル, ナレシュ M. (1992).通信ネットワークとコンピュータアーキテクチャのパフォーマンスモデリング. アディソン・ウェズレー. p. 288. ISBN 0-201-54419-9。
  5. ^ Kelly, FP (1982). 準可逆ノードのネットワーク 2007年2月21日アーカイブウェイバックマシン. 『応用確率とコンピュータサイエンス：インターフェース』（ラルフ・L・ディズニー、テウニス・J・オット編）1 3-29. バークハウザー、ボストン
  6. ^ Chao, X.; Miyazawa, M.; Serfozo, RF; Takada, H. (1998). 「積形定常分布を持つマルコフネットワークプロセス」.待ち行列システム. 28 (4): 377. doi :10.1023/A:1019115626557. S2CID  14471818.
  7. ^ Kelly, FP, Reversibility and Stochastic Networks Archived 2023-01-19 at the Wayback Machine、1978年、66-67ページ
  8. ^ Burke, PJ (1956). 「待ち行列システムの出力」.オペレーションズ・リサーチ. 4 (6): 699– 704. doi :10.1287/opre.4.6.699. S2CID  55089958.
  9. ^ Burke, PJ (1968). 「定常M/M/s待ち行列システムの出力プロセス」.数理統計年報. 39 (4): 1144– 1152. doi : 10.1214/aoms/1177698238 .
  10. ^ O'Connell, N.; Yor, M. (2001年12月). 「バークの定理のブラウン運動による類似体」.確率過程とその応用. 96 (2): 285– 298. doi : 10.1016/S0304-4149(01)00119-3 .
  11. ^ Kelly, FP (1979). Reversibility and Stochastic Networks. New York: Wiley. 2012年2月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年12月2日閲覧。
  12. ^ Dao-Thi, TH; Mairesse, J. (2005). 「ゼロ自動キュー」.コンピュータシステムとビジネスプロセスのための形式技法. コンピュータサイエンス講義ノート. 第3670巻. p. 64. doi :10.1007/11549970_6. ISBN 978-3-540-28701-8。
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