準推移関係
準推移関係x ≤ ⁠5/4⁠ y。対称部分と推移部分はそれぞれ青と緑で示されています。

準推移性という数学的概念は、推移性の弱められたバージョンであり、社会選択理論やミクロ経済学で用いられています。非公式には、関係が一部の値については対称的であり、他の値については推移的である場合、その関係は準推移的であるとされています。この概念は、アローの定理の帰結を研究するために、セン（1969）によって導入されました。

正式な定義

集合X上の二項関係Tが準推移的であるとは、 X内のすべてのa、b、cに対して次が成り立つ場合です。

（ 1つの T ⁡ b ） ∧ ¬ （ b T ⁡ 1つの ） ∧ （ b T ⁡ c ） ∧ ¬ （ c T ⁡ b ） ⇒ （ 1つの T ⁡ c ） ∧ ¬ （ c T ⁡ 1つの ） 。 {\displaystyle (a\operatorname {T} b)\wedge \neg (b\operatorname {T} a)\wedge (b\operatorname {T} c)\wedge \neg (c\operatorname {T} b)\Rightarrow (a\operatorname {T} c)\wedge \neg (c\operatorname {T} a).}

関係が反対称でもある場合、T は推移的です。

あるいは、関係 T に対して、非対称部分または「厳密な」部分 P を定義します。

（ 1つの P ⁡ b ） ⇔ （ 1つの T ⁡ b ） ∧ ¬ （ b T ⁡ 1つの ） 。 {\displaystyle (a\operatorname {P} b)\Leftrightarrow (a\operatorname {T} b)\wedge \neg (b\operatorname {T} a).}

そして、P が推移的である場合に限り、T は準推移的になります。

例

一部の経済状況では、選好は推移的ではなく準推移的であると想定されています。典型的な例としては、砂糖7グラムと8グラム、8グラムと9グラムのどちらにも無関心であるものの、7グラムの砂糖よりも9グラムの砂糖を好む人が挙げられます。 [1]同様に、ソリテスのパラドックスは、特定の関係の推移性を準推移性へと弱めることによって解決できます。

プロパティ

  • 関係Rが準推移的である場合、そしてその場合のみ、関係 R は対称関係Jと推移的関係Pの互いに素な和集合である。[2] JとP は与えられたRによって一意に決定されるわけではない。[3]しかし、only-if部分からのPは最小である。[4]
  • 結果として、対称的な関係はどれも準推移的であり、推移的な関係もどれも準推移的である。[5]さらに、反対称かつ準推移的な関係は常に推移的である。[6]
  • 上記の砂糖の例の関係、{(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)} は準推移的ですが、推移的ではありません。
  • 準推移関係は非循環的である必要はありません。空でないすべての集合Aに対して、普遍関係 A × Aは循環的かつ準推移的です。
  • 関係が準推移的である場合、そしてその補関係が準推移的である場合に限ります。
  • 同様に、関係が準推移的である場合、かつその逆の場合に限ります。

参照

参考文献

  1. ^ ロバート・ダンカン・ルース(1956年4月). 「半順序と効用識別理論」.エコノメトリカ. 24 (2): 178–191 . doi :10.2307/1905751. JSTOR  1905751.ここでは、p.179。Luce の元の例は、2 つだけではなく 400 回の比較 (砂糖の量が異なるコーヒー カップの比較) で構成されています。
  2. ^ 命名法は Bossert & Suzumura (2009), p.2-3 に従っています。 — only-if の部分では、xJy をxRy ∧ yRx と定義し、xPy をxRy ∧ ¬ yRxと定義します。 — if の部分では、xRy ∧ ¬ yRx ∧ yRz ∧ ¬ zRyが成り立つと仮定します。するとxPyとyPz は、xJyまたはyJzが ¬ yRxまたは ¬ zRyと矛盾するためです。したがって推移性によりxPz、非連続性により ¬ xJz、対称性により ¬ zJxが成り立ちます。したがって、zRx はzPx を意味し、推移性によりzPy を意味し、これは ¬ zRyと矛盾します。全体として、これはxRz ∧ ¬ zRxを証明します。
  3. ^ たとえば、 Rが同値関係である場合、 J は空関係として選択されるか、またはR自体として選択され、 P はその補関係として選択されます。
  4. ^ Rが与えられている場合、 xRy ∧ ¬ yRxが成り立つときはいつでも、ペア ( x、 y ) は対称部分に属することはできませんが、推移部分に属する必要があります。
  5. ^ 空の関係は当然推移的かつ対称的である。
  6. ^ Rの反対称性により、 Jはコア反射的になります。したがって、 Jと推移的なPの和集合は再び推移的になります。
  • Sen, A. (1969). 「準推移性、合理的選択、そして集団的意思決定」Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381– 393. doi :10.2307/2296434. JSTOR  2296434. Zbl  0181.47302.
  • フレデリック・シック (1969年6月). 「アローの証明と選好の論理」.科学哲学. 36 (2): 127– 144. doi :10.1086/288241. JSTOR  186166. S2CID  121427121.
  • アマルティア・K・セン（1970年）『集団選択と社会福祉』ホールデンデイ社
  • アマルティア・K・セン（1971年7月）「選択関数と顕示選好」（PDF） . The Review of Economic Studies . 38 (3): 307– 317. doi :10.2307/2296384. JSTOR 2296384. 2016年9月10日時点の オリジナル（PDF）からアーカイブ。 2018年4月11日閲覧。
  • A. Mas-ColellとH. Sonnenschein (1972). 「集団決定における一般可能性定理」(PDF) . The Review of Economic Studies . 39 (2): 185– 192. doi :10.2307/2296870. JSTOR  2296870. S2CID  7295776. 2018年4月12日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
  • DHブレアとRAポラック (1982). 「非循環的集団選択ルール」. Econometrica . 50 (4): 931– 943. doi :10.2307/1912770. JSTOR  1912770.
  • Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (2005年4月). 任意領域における合理的選択：包括的な扱い(PDF) (技術レポート). モントリオール大学, 一橋大学 東京. オリジナル(PDF)から2018年4月12日にアーカイブ。 2018年4月11日閲覧。
  • Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (2009年3月). 「準推移的関係とSuzumura整合関係」(PDF) .社会選択と福祉(技術報告書). 39 ( 2– 3). モントリオール大学, 早稲田大学東京: 323– 334. doi :10.1007/s00355-011-0600-z. S2CID  38375142. オリジナル(PDF)から2018年4月12日にアーカイブ。
  • ボッサート、ウォルター、鈴村幸太郎 (2010).一貫性、選択、そして合理性. ハーバード大学出版局. ISBN 978-0674052994。
  • アラン・D・ミラー、シラン・ラチミレヴィッチ (2014年2月). 推移性のないアローの定理(PDF) (ワーキングペーパー). ハイファ大学.
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