四元数解析

数学において、四元数解析とは、定義域および／または値域として四元数を持つ関数の研究です。このような関数は、実変数や複素変数の関数と同様に、四元数変数の関数と呼ばれることがあります。

複素解析や実解析と同様に、四元数においても解析性、正則性、調和性、共形性といった概念を研究することができます。複素数や実数とは異なり、これら4つの概念は一致しません。

プロパティ

四元数のスカラー部分またはベクトル部分への投影、および係数関数とバーサー関数は、四元数構造を理解するための基本的な例です。

四元数変数の関数の重要な例は

f1（q）＝あなたqあなた−1{\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}

これは、qのベクトル部分を、バーサーuによって表される角度の 2 倍回転させます。

四元数の逆数は もう 1 つの基本関数ですが、他の数値システムと同様に、ゼロ除算の性質上、関連する問題は一般に除外されます。 f2（q）＝q−1{\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}f2（0）{\displaystyle f_{2}(0)}

四元数のアフィン変換は次の形をとる。

f3（q）＝1つのq+b、1つの、b、q∈H。{\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}

四元数の線形分数変換は、上の射影直線上に作用する行列環 の元によって表すことができます。例えば、とが固定されたバーソルである写像は、楕円空間 の運動を生成するのに役立ちます。 M2（H）{\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}H{\displaystyle \mathbb {H} }q↦あなたqv、{\displaystyle q\mapsto uqv,}あなた{\displaystyle u}v{\displaystyle v}

四元数変数理論は複素変数理論とはいくつかの点で異なります。例えば、複素平面の複素共役写像は中心的なツールですが、算術的でも解析的でもない操作の導入を必要とします。実際、共役写像は平面図形の向きを変えますが、算術関数ではこれは変わりません。

複素共役とは対照的に、四元数共役は算術的に次のように表すことができる。f4（q）＝−12（q+私q私+jqj+けqけ）{\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}

この方程式は、基底{1, i, j, k} から証明できます。

f4（1）＝−12（1−1−1−1）＝1、f4（私）＝−12（私−私+私+私）＝−私、f4（j）＝−j、f4（け）＝−け{\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}。

その結果、は線形なので、 f4{\displaystyle f_{4}}

f4（q）＝f4（わ+×私+yj+zけ）＝わf4（1）+×f4（私）+yf4（j）+zf4（け）＝わ−×私−yj−zけ＝q∗。{\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}

複素解析が科学研究に利用できる豊富な正則関数群を提供するという成功を受けて、複素数に基づく平面理論を四元数変数の関数を用いた4次元空間研究に拡張する研究が一部の研究者によって進められている。[ 1 ]これらの研究はDeavours (1973)にまとめられている。[ a ]

は複素平面の和集合として現れますが、次の命題は複素関数の拡張には特別な注意が必要であることを示しています。 H{\displaystyle \mathbb {H} }

を複素変数の関数とする。また、 がの偶関数であり、 がの奇関数であるとする。すると、はおよびとなる四元数変数への拡張となる。すると、は の共役を表すので、 となる。 が示されれば、 への拡張は完了する。実際、仮定により f5（z）＝あなた（×、y）+私v（×、y）{\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}z＝×+私y{\displaystyle z=x+iy}あなた{\displaystyle u}y{\displaystyle y}v{\displaystyle v}y{\displaystyle y}f5（q）＝あなた（×、y）+rv（×、y）{\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}f5{\displaystyle f_{5}}q＝×+yr{\displaystyle q=x+yr}r2＝−1{\displaystyle r^{2}=-1}r∈H{\displaystyle r\in \mathbb {H} }r∗{\displaystyle r^{*}}r{\displaystyle r}q＝×−yr∗{\displaystyle q=x-yr^{*}}H{\displaystyle \mathbb {H} }f5（q）＝f5（×−yr∗）{\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}

あなた（×、y）＝あなた（×、−y）、v（×、y）＝−v（×、−y）{\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }得られる
f5（×−yr∗）＝あなた（×、−y）+r∗v（×、−y）＝あなた（×、y）+rv（×、y）＝f5（q）。{\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).

ホモグラフィ

以下では、同次ベクトルを表すためにコロンおよび角括弧を使用します。

軸rの周りの回転は、四元数の空間マッピングへの古典的な応用である。[ 2 ]ホモグラフィ の観点から、回転は次のように表現される。

[q:1]（あなた00あなた）＝[qあなた:あなた]〜[あなた−1qあなた:1]、{\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}

ここではベルサーである。p * = − p のとき、並進は次のように表される。 あなた＝経験⁡（θr）＝コス⁡θ+r罪⁡θ{\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }q↦q+p{\displaystyle q\mapsto q+p}

[q:1](10p1)=[q+p:1].{\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}

回転軸に沿った 回転と並進xrは次のように与えられる。

[q:1](u0uxru)=[qu+uxr:u]∼[u−1qu+xr:1].{\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}

このような写像はスクリュー変位と呼ばれます。古典運動学において、シャスルの定理は、あらゆる剛体の運動はスクリュー変位として表すことができると述べています。ユークリッド平面の等長変換を回転として表現することが複素数演算の問題であるのと同様に、シャスルの定理、そして必要なスクリュー軸は、ホモグラフィーを用いた四元数演算の問題です。sを右バーサー、つまりrに垂直なマイナス1の平方根とし、t = rsとします。

sを通りrに平行な軸を考える。その軸の周りの回転は[ 3 ]ホモグラフィー合成で 表される。

(10−s1)(u00u)(10s1)=(u0zu),{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}

どこz=us−su=sin⁡θ(rs−sr)=2tsin⁡θ.{\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}

ここで、( s,t )平面では、パラメータθは半平面上で円を描きます。u−1z=u−1(2tsin⁡θ)=2sin⁡θ(tcos⁡θ−ssin⁡θ){\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}{wt+xs:x>0}.{\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}

この半平面上の任意のpは原点から円を通る直線上にあり、次のように書くことができる。{u−1z:0<θ<π}{\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }p=au−1z,  a>0.{\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}

するとup = azとなり、これは回転と平行移動 p の 共役を表すホモグラフィとなります。(u0azu){\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}

四元数の微分

ハミルトンの時代以来、微分が零点に向かう経路から独立していることを要求するのはあまりにも制限的であり、微分からさえ除外されてしまうことが認識されてきた。したがって、四元数変数の関数には方向依存の微分が必要である。[ 4 ] [ 5 ]四元数引数の多項式関数 の増分を考慮すると、増分は引数の増分の線形写像であることが示される。このことから、次のように定義できる。  f(q)=q2 {\displaystyle \ f(q)=q^{2}\ }

連続関数 は、その関数の増分が各点においてその引数の四元数増分に対応するとき、次のように表される 集合上で微分可能であるという。 f:H→H {\displaystyle \ f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ } U⊂H ,{\displaystyle \ U\subset \mathbb {H} \ ,} x∈U ,{\displaystyle \ x\in U\ ,} f {\displaystyle \ f\ } h {\displaystyle \ h\ }

f(x+h)−f(x)=d⁡f(x)d⁡x∘h+o(h){\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h+o(h)}

どこ

d⁡f(x)d⁡x:H→H{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }

は四元数代数の線型写像であり、 次のような連続写像を表す。  H ,{\displaystyle \ \mathbb {H} \ ,} o:H→H {\displaystyle \ o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }

lima→0 | o(a) | | a |=0 ,{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\ \left|\ o(a)\ \right|\ }{\left|\ a\ \right|}}=0\ ,}

そして、表記は... を表します。  ∘h {\displaystyle \ \circ h\ }

線形写像 は写像の微分と呼ばれる。d⁡f(x)d⁡x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}} f .{\displaystyle \ f~.}

四元数では、導関数は次のように表される。

d⁡f(x)d⁡x=∑sds0⁡f(x)d⁡x⊗ds1⁡f(x)d⁡x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}

したがって、マップの微分は、両側に括弧を付けて次のように表すことができます。  f {\displaystyle \ f\ }

d⁡f(x)d⁡x∘d⁡x=(∑sds0⁡f(x)d⁡x⊗ds1⁡f(x)d⁡x)∘d⁡x=∑sds0⁡f(x)d⁡x(d⁡x)ds1⁡f(x)d⁡x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=\left(\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)\circ \operatorname {d} x=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x\right){\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}

和の項の数は関数によって異なります。式は 導関数の成分と呼ばれます。  f .{\displaystyle \ f~.}  dsp⁡d⁡f(x)d⁡x   for   p=0,1  {\displaystyle ~~{\frac {\operatorname {d} _{sp}\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}~~{\mathsf {\ for\ }}~~p=0,1~~}

四元数関数の導関数は次の式で定義される。

d⁡f(x)d⁡x∘h=limt→0(  f(x+t h)−f(x) t ){\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\lim _{t\to 0}\left(\ {\frac {\ f(x+t\ h)-f(x)\ }{t}}\ \right)}

ここで、変数は実数スカラーです。  t {\displaystyle \ t\ }

次の式が成り立ちます。

d⁡(f(x)+g(x))d⁡x=d⁡f(x)d⁡x+d⁡g(x)d⁡x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)+g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}
d⁡(f(x) g(x))d⁡x=d⁡f(x)d⁡x g(x)+f(x) d⁡g(x)d⁡x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}
d⁡(f(x) g(x))d⁡x∘h=(d⁡f(x)d⁡x∘h) g(x)+f(x)(d⁡g(x)d⁡x∘h){\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)}
d⁡(a f(x) b)d⁡x=a d⁡f(x)d⁡x b{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\ {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ b}
d⁡(a f(x) b)d⁡x∘h=a(d⁡f(x)d⁡x∘h)b{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=a\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)b}

とが定数四元数である関数の導関数は  f(x)=a x b ,{\displaystyle \ f(x)=a\ x\ b\ ,} a {\displaystyle \ a\ } b {\displaystyle \ b\ }

d⁡(a x b)d⁡x=a⊗b{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\otimes b}d⁡y=d⁡(a x b)d⁡x∘d⁡x=a (d⁡x) b{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=a\ \left(\operatorname {d} x\right)\ b}

コンポーネントは次のようになります。

d10⁡(a x b)d⁡x=a{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a}d11⁡(a x b)d⁡x=b{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=b}

同様に、関数の導関数は  f(x)=x2 ,{\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}

d⁡x2d⁡x=x⊗1+1⊗x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x\otimes 1+1\otimes x}d⁡y=d⁡x2d⁡x∘d⁡x=x d⁡x+(d⁡x) x{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=x\ \operatorname {d} x+(\operatorname {d} x)\ x}

コンポーネントは次のとおりです。

d10⁡x2d⁡x=x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}d11⁡x2d⁡x=1{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}
d20⁡x2d⁡x=1{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{20}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}d21⁡x2d⁡x=x{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{21}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}

最後に、関数の 導関数は  f(x)=x−1 ,{\displaystyle \ f(x)=x^{-1}\ ,}

d⁡x−1d⁡x=−x−1⊗x−1{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}d⁡y=d⁡x−1d⁡x∘d⁡x=−x−1(d⁡x) x−1{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=-x^{-1}(\operatorname {d} x)\ x^{-1}}

コンポーネントは次のとおりです。

d10⁡x−1d⁡x=−x−1{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}}d11⁡x−1d⁡x=x−1{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=x^{-1}}

参照

注記

  1. ^ Deavours (1973)は、1935 年発行のCommentarii Mathematici Helveticiを想起させている。同号では、 Fueter (1936)がMorera の定理のアイデアを通じて「正則関数」の代替理論を開始した。の積分が を含む十分に小さい任意の超曲面上で ゼロになるとき、四元数関数は「 で左正則」である。すると、リウヴィルの定理の類似が成り立つ。 において有界ノルムを持つ唯一の正則四元数関数は定数である。正則関数を構築する 1 つの方法は、実係数のべき級数を使用することである。Deavours はまた、ポアソン積分、コーシーの積分公式、および電磁気学のマクスウェル方程式の四元数関数による表現についても類似の例を与えている。F{\displaystyle F}q{\displaystyle q}F{\displaystyle F}q{\displaystyle q}E4{\displaystyle \mathbb {E} ^{4}}

引用

  1. ^ (フーター 1936 )
  2. ^（ケイリー1848、特に198ページ）
  3. ^（ハミルトン1853、§287、273,4ページ）
  4. ^ハミルトン（1866）、第2章「四元数の微分と関数の発展について」、pp. 391–495
  5. ^ Laisant (1881)、第 5 章: 四元数の微分、104–117 ページ

参考文献

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