キレンメトリック
行列式直線束上の計量

数学、特に微分幾何学において、キレン計量（キレンきょうりょく、Quillen metric）は、作用素族の行列式直線束上の計量である。これはダニエル・キレン[1]によってリーマン面上の特定の楕円作用素に対して導入され、ジャン＝ミシェル・ビスムットとダン・フリード[2]によって高次元多様体へと一般化された。

キレン計量は、キレンによって、コンパクト・リーマン面上のベクトル束のモジュライ空間上の豊富な直線束の微分幾何学的解釈を与えるために用いられた。これはキレン行列式直線束として知られる。これは、この豊富な直線束の最初のチャーン類のチャーン・ヴァイル表現を定義するものと見ることができる。キレン計量の構成とその一般化は、ビスマットとフリードによって、ディラック作用素の特定の行列式直線束のホロノミーを計算するために用いられ、このホロノミーはエドワード・ウィッテンによって予言されたチャーン・サイモンズ理論における特定の異常相殺と関連している。[3] [4]

キレン計量は、 1987年にサイモン・ドナルドソンによって射影代数多様体に対するヒッチン・コバヤシ対応の新しい帰納的証明にも使用されました。この証明は、任意のコンパクトケーラー多様体に対するシン・トゥン・ヤウとカレン・ウーレンベックによる対応の解決から1年後に発表されました。[5]

演算子族の行列式直線束

ヒルベルト空間間のフレドホルム作用素の族があり、ある位相空間に対して に関して連続的に変化するとする。これらの作用素はいずれもフレドホルム作用素であるため、核と余核は有限次元である。したがって、以下の割り当てが存在する。 D t {\displaystyle D_{t}} D t : V → W {\displaystyle D_{t}:V\to W} t ∈ X {\displaystyle t\in X} X {\displaystyle X}

t ↦ カー ⁡ D t 、 t ↦ コーカー D t {\displaystyle t\mapsto \ker D_{t},\quad t\mapsto {\text{coker}}D_{t}}

は 上のベクトル空間の族を定義する。において作用素が連続的に変化するという仮定にもかかわらず、これらのベクトル空間の割り当ては位相空間 上のベクトル束を形成しない。なぜなら、微分作用素の族に対して核と余核の次元が不連続にジャンプする可能性があるからである。しかし、微分作用素の指数、すなわち核の次元から余核の次元を引いたものは、連続的な変形に対して不変である。つまり、割り当て X {\displaystyle X} D t {\displaystyle D_{t}} t {\displaystyle t} X {\displaystyle X}

t ↦ インド （ D t ） := 薄暗い ⁡ カー ⁡ D t − 薄暗い ⁡ コーカー D t {\displaystyle t\mapsto {\text{ind}}(D_{t}):=\dim \ker D_{t}-\dim {\text{coker}}D_{t}}

は 上の定数関数である。ベクトル束の差分を取ることはできないので、 の核族と余核族をベクトル束に統合することはできない。しかし、 のK理論では、ベクトル束の形式的な差分を取ることができ、族に関連付けられた は元である。 X {\displaystyle X} D t {\displaystyle D_{t}} X {\displaystyle X} D t {\displaystyle D_{t}}

インド （ D t ） ＝ [ t ↦ カー ⁡ D t − コーカー D t ] ∈ K （ X ） 。 {\displaystyle {\text{ind}}(D_{t})=[t\mapsto \ker D_{t}-{\text{coker}}D_{t}]\in K(X).}

この仮想指数束には族の解析特性に関する情報が含まれており、その仮想階数、すなわち次元の差は、演算子が楕円微分演算子である場合に、アティヤ・シンガー指数定理を使用して計算できます。 D t {\displaystyle D_{t}} D t {\displaystyle D_{t}}

仮想添字束はパラメータ空間上の真のベクトル束ではないが、 から構成される真の直線束に遷移することは可能である。任意の に対して、の行列式直線は1次元ベクトル空間として定義される。 X {\displaystyle X} インド （ D t ） {\displaystyle {\text{ind}}(D_{t})} t {\displaystyle t} D t : V → W {\displaystyle D_{t}:V\to W}

詳細 D t := （ Λ 薄暗い ⁡ コーカー D t コーカー D t ） ∗ ⊗ Λ 薄暗い ⁡ カー ⁡ D t カー ⁡ D t 。 {\displaystyle \det D_{t}:=\left(\Lambda ^{\dim {\text{coker}}D_{t}}{\text{coker}}D_{t}\right)^{*}\otimes \Lambda ^{\dim \ker D_{t}}\ker D_{t}.}

族の行列式線束を仮想指数束の繊維方向の行列式として 定義する。 D t {\displaystyle D_{t}}

L ＝ 詳細 インド （ D t ） {\displaystyle {\mathcal {L}}=\det {\text{ind}}(D_{t})}

それぞれの上の繊維は行列式直線で与えられる。[6]この位相空間上の真直線束は仮想指数束と同じ第一チャーン類を持ち、これは指数定理から計算できる。 t ∈ X {\displaystyle t\in X} 詳細 D t {\displaystyle \det D_{t}} X {\displaystyle X}

キレンメトリック

キレン計量はキレンによって導入され、コンパクト・リーマン面上の複素ベクトル束上のユニタリ接続空間によって媒介変数化された、ある微分作用素族の行列式直線束上のエルミート計量である。本節ではその構成について概説する。

複素ヒルベルト空間間のフレドホルム作用素が与えられれば、有限次元ベクトル空間と制限によりエルミート内積が自然に得られる。これらを組み合わせると、例えば、1次元複素ベクトル空間である行列式直線 上のエルミート内積が得られる。しかし、このような作用素の族が滑らかな多様体で媒介変数化されている場合、行列式直線束の各繊維へのエルミート内積の割り当ては滑らかなエルミート計量を定義しない。実際、この設定では直線束が実際には滑らかな直線束 であることに注意する必要があり、Quillen は の滑らかな自明化を構築できることを示した。[1] D : V → W {\displaystyle D:V\to W} カー ⁡ D {\displaystyle \ker D} コーカー D {\displaystyle {\text{coker}}D} h {\displaystyle h} 詳細 D {\displaystyle \det D} D t {\displaystyle D_{t}} X {\displaystyle X} t ↦ h t {\displaystyle t\mapsto h_{t}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}}

自然エルミート計量は、ラプラシアン作用素の固有値が交差するか等しくなると、特異な挙動を示す可能性があり、小さな固有空間をより大きな固有空間に結合する。この特異な挙動を打ち消すには、エルミート計量を無限行列式で乗じて正規化する必要がある。 h t {\displaystyle h_{t}} λ {\displaystyle \lambda} D t ∗ D t {\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}} h {\displaystyle h}

Π λ ＝ 経験 ⁡ （ − ζ ′ （ 0 ） ） {\displaystyle \Pi \lambda =\exp(-\zeta '(0))}

ここで、はラプラシアンのゼータ関数演算子であり、の有理型接続として定義される。 ζ （ s ） {\displaystyle \zeta (s)} D t ∗ D t {\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}} s ＝ 0 {\displaystyle s=0}

ζ （ s ） ＝ ∑ λ λ − s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{\lambda }\lambda ^{-s}}

これは に対して定義されます。このゼータ関数と無限行列式は、ラプラシアン の解析的捩れと密接に関係しています。ビスムットとフリードが研究した一般的な設定では、この無限行列式の定義には注意が必要です。この無限行列式は超トレースによって定義されます。 再 （ s ） > 1 {\displaystyle {\text{Re}}(s)>1} D t ∗ D t {\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}}

キレンは、コンパクト リーマン面上の滑らかな複素ベクトル束上のユニタリ接続のアフィン空間 と、の切断のソボレフ空間(ヒルベルト空間)の間に作用するチャーン接続のドルボア作用素である微分作用素の族を考察した。各作用素は楕円型であるため、楕円正則性によりその核は の滑らかな切断から構成される。実際、 はドルボア作用素 によって誘導される正則構造に関するの正則切断から構成される。キレンの構成により、この族の行列式直線束上に計量が生成され、キレンは、キレン計量に関連付けられたチャーン接続の曲率形式が、マイケル・アティヤとラウル・ボットがリーマン面上のヤン・ミルズ方程式の研究で以前に発見したユニタリ接続の空間上のアティヤ・ボット シンプレクティック形式によって与えられることを示した。[7] あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} E → Σ {\displaystyle E\to \Sigma } ∂ ¯ あ : L 1 2 （ E ） → L 2 （ Ω 0 、 1 （ E ） ） {\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}:L_{1}^{2}(E)\to L^{2}(\Omega ^{0,1}(E))} あ ∈ あ {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} E {\displaystyle E} ∂ ¯ あ {\displaystyle {\bar {\partial}}_{A}} E {\displaystyle E} カー ⁡ ∂ ¯ あ {\displaystyle \ker {\bar {\partial }}_{A}} E {\displaystyle E} ∂ ¯ あ {\displaystyle {\bar {\partial}}_{A}} L → あ {\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {A}}}

曲率

ビスマットとフリードによるキレン計量とその一般化構成にはユニタリ接続が関連付けられており、このユニタリ接続にはその曲率形式が関連付けられている。この曲率形式の関連コホモロジー類はアティヤ・シンガー指数定理の族版によって予測され、この予測と曲率形式との一致はビスマットとフリードによって証明された。[3]キレンが研究したリーマン面の設定では、この曲率は次のように与えられることが示されている。

Ω あ （ 1つの 、 b ） ＝ ∫ Σ トレース （ 1つの ∧ b ） {\displaystyle \Omega _{A}(a,b)=\int _{\Sigma }{\text{trace}}(a\wedge b)}

ここで、 はユニタリ接続であり、は におけるへの接ベクトルである。このシンプレクティック形式は、アティヤとボットによって初めて発見されたアティヤ・ボット・シンプレクティック形式である。このシンプレクティック形式を用いて、アティヤとボットは、ナラシマン・セシャドリ定理が幾何学的不変量理論におけるケンプ・ネス定理の無限次元版として解釈できることを実証した。この設定において、キレン計量はケーラー計量の役割を果たし、のシンプレクティック簡約をとることを可能にする。 あ ∈ あ {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} 1つの 、 b ∈ Ω 1 （ 終わり （ E ） ） {\displaystyle a,b\in \Omega ^{1}({\text{End}}(E))} あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} あ {\displaystyle A} あ {\displaystyle {\mathcal {A}}}

ドナルドソンは、射影代数多様体に対するヒッチン・コバヤシ対応の新しい証明において、高次元アティヤ・ボットシンプレクティック形式を曲率とする任意の代数多様体上のベクトル束上のユニタリ接続空間上の行列式直線束を構築する方法を説明した。[5]

Ω あ （ 1つの 、 b ） ＝ ∫ M トレース （ 1つの ∧ b ） ∧ ω n − 1 {\displaystyle \Omega _{A}(a,b)=\int _{M}{\text{trace}}(a\wedge b)\wedge \omega ^{n-1}}

ここでは射影代数多様体である。この構成はドナルドソンによって対応関係の帰納的証明に用いられた。 （ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )}

一般化と代替概念

キレン計量は、リーマン面や高次元複素多様体上の正則ベクトル束の研究や、ビスマットとフリードの楕円作用素の族の研究への一般化において主に考慮される。代数多様体と複素多様体のモジュライ空間の研究では、固定された滑らかな多様体上の概複素構造の空間に、形式のケーラー構造を誘導する行列式直線束を構成することが可能である。[8] [9]アティヤとボットとドナルドソンの研究でベクトル束の安定性と関連していたのと同様に、多様体の行列式束のキレン計量を多様体の安定性理論に関連付けることができる。実際、定スカラー曲率ケーラー計量によって与えられた臨界点を持つ、馬渕俊樹によって定義されたKエネルギー関数は、ケーラー計量空間上のキレン計量の対数ノルム関数として解釈できます。 （ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )} ω {\displaystyle \omega }

参考文献

  1. ^ ab Quillen, D. (1985), 「リーマン面上のコーシー・リーマン作用素の行列式」,関数解析とその応用, 19 (1): 31– 34, doi :10.1007/BF01086022, MR  0783704, S2CID  122340883
  2. ^ ビスマット、ジャン＝ミシェル; フリード、ダニエル・S. (1986)、「楕円族の解析。I. 行列式バンドル上の計量と接続。」Comm. Math. Phys.、106 (1): 159– 176、doi :10.1007/BF01210930、MR  0853982、S2CID  55389271
  3. ^ ab Bismut, JM and Freed, DS, 1986. 楕円族の解析 II. ディラック作用素、イータ不変量、ホロノミー定理. 数理物理学における通信, 107(1), pp.103-163.
  4. ^ Witten, E., 1985.「グローバル重力異常」Communications in Mathematical Physics, 100(2), pp.197-229.
  5. ^ ab Donaldson, SK, 1987. 無限行列式、安定バンドル、曲率。デューク数学ジャーナル、54(1)、pp.231-247。
  6. ^ Freed, DS, 1987. 行列式直線束について. 弦理論の数学的側面, 1, pp.189-238.
  7. ^ Atiyah, MF and Bott, R., 1983. リーマン面上のヤン・ミルズ方程式．ロンドン王立協会哲学論文集．シリーズA，数学・物理科学，308(1505), pp.523-615.
  8. ^ Thomas, RP, 2005. バンドルと多様体に対するGITとシンプレクティック還元に関するノート。微分幾何学概論、10(1)、pp.221-273。
  9. ^ Werner Müller, Katrin Wendland. 極値ケーラー計量とレイ・シンガー解析的捩れ. 偏微分方程式の幾何学的側面, Contemp. Math. 242 (1999), pp. 135-160. math.DG/9904048
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