同値関係による商

数学では、カテゴリ Cが与えられたとき、オブジェクトXの同値関係による商は、写像のペアに対する 共等化子である。 ${\displaystyle f:R\to X\times X}$

${\displaystyle R\ {\overset {f}{\to }}\ X\times X\ {\overset {\operatorname {pr} _{i}}{\to }}\ X,\ \ i=1,2,}$

ここで、RはC内のオブジェクトであり、「fは同値関係である」とは、C内の任意のオブジェクトTについて、 の像 (集合)が同値関係、つまり反射的、対称的、推移的な関係であることを意味します。 ${\displaystyle f:R(T)=\operatorname {Mor} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$

実際の基本的なケースは、C が何らかのスキームS上のすべてのスキームの圏である場合です。しかし、この概念は柔軟であり、C を層の圏とみなすこともできます。

例

• X を集合とし、その上の同値関係を考える。QをXのすべての同値類の集合とする。このとき、元x をx が属する同値類に写す写像は商となる。${\displaystyle q:X\to Q}$
• 上記の例では、QはXの冪集合Hの部分集合である。代数幾何学では、H をヒルベルトスキーム、あるいはヒルベルトスキームの互いに素な和に置き換えることができる。実際、グロタンディークは平坦射影スキームX ^[1]の相対ピカールスキームを、ヒルベルトスキームHの閉スキームである商Q（X上の相対有効因子をパラメータ化するスキームZの商）として構築した。この商写像は、アーベル写像の相対バージョンと考えることができる。 ${\displaystyle q:Z\to Q}$

参照

• カテゴリー商、特殊なケース

注記

1. 幾何学的ファイバーが積分スキームであると仮定する必要もあります。マンフォードの例では、「積分」を省略できないことを示しています。

参考文献

• Nitsure, N.ヒルベルトスキームとQuotスキームの構築.基礎代数幾何学：グロタンディークのFGAの説明, 数学概説および論文集123, アメリカ数学会, 2005, 105–137.