商空間（線形代数）

線型代数学において、ベクトル空間を部分空間で割った商は、ゼロに「収縮」することによって得られるベクトル空間です。得られた空間は商空間と呼ばれ、 （「mod 」または「by 」と読みます） と表記されます。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V/U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

意味

正式には、構築は以下の通りである。^{[ 1 ]}を体上のベクトル空間とし、を の部分空間とする。における同値関係を、 の場合に限り、と定義する。すなわち、が と関係する場合、かつその場合に限り、 の要素を 1 つ追加することで一方を他方から得ることができる。この定義は、 の任意の要素が零ベクトルと関係していることを意味する。より正確には、 内のすべてのベクトルが零ベクトルの 同値類に写像される。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle xy\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

の同値類（この場合は剰余類）は次のように定義される。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]:=\{u:vu\in U\}}$

は、多くの場合、略語 で表されます。 ${\displaystyle [v]=v+U}$

商空間はによって誘導される同値類全体の集合として定義される。スカラー乗算と加算は、同値類上で次のように定義される^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle V/U}$ ${\displaystyle V/_{\sim}}$ ${\displaystyle \sim}$ ${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$ すべての に対して、そして${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$ 。

これらの演算が明確に定義されている（つまり、代表値の選択に依存しない）ことを確認するのは難しくありません。これらの演算は、商空間を を零類とする上のベクトル空間に変換します。 ${\displaystyle V/U}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [0]}$

同値類に関連付けられたマッピングは、商マップとして知られています。 ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle [v]}$

言い換えれば、商空間とは、そのすべてのアフィン部分集合が^{[ 4 ]}に平行である集合である。${\displaystyle V/U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

例

デカルト平面上の線

X = R ^{2 を}標準の直交平面とし、Y をXにおける原点を通る直線とします。すると、商空間X / Y は、 XにおいてYに平行なすべての直線の空間と同一視できます。つまり、集合X / Yの要素は、 XにおいてYに平行な直線です。このような直線上の点は、その差ベクトルがYに属するため、同値関係を満たすことに注意してください。これにより、商空間を幾何学的に視覚化できるようになります。 (これらの直線を再パラメータ化することで、商空間は、より慣習的に、原点を通りYに平行ではない直線上のすべての点の空間として表すことができます。同様に、原点を通る直線によるR ³の商空間は、すべての共平行直線の集合として再び表すことも、原点のみで直線と交差する 平面からなるベクトル空間として表すこともできます。)

デカルト空間の部分空間

もう1つの例は、最初のm 個の標準基底ベクトルによって張られる部分空間によるR ⁿの商です。空間R ^{n は}、実数( x ₁、...、x _n )のすべてのn組で構成されます。 R ^mと同一視される部分空間は、最後のn − m個の要素がゼロであるすべてのn組で構成されます: ( x ₁、...、x _m、0、0、...、0) 。 R ⁿの2つのベクトルが部分空間を法として同じ同値類に属するのは、最後のn − m座標でそれらが同一である場合のみです。商空間 R ⁿ / R ^mは、明らかに R ^{n − m}と 同型です。

多項式ベクトル空間

を実数上のすべての3次多項式のベクトル空間とします。すると は商空間となり、各要素は2次項のみが異なる多項式に対応する集合となります。例えば、商空間の1つの要素は であり、商空間の別の要素は です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

一般部分空間

より一般的には、Vが部分空間UとWの（内部）直和である場合、

${\displaystyle V=U\oplus W}$

すると商空間V / Uは自然にWと同型となる。^{[ 5 ]}

ルベーグ積分

関数商空間の重要な例としては、L ^p空間があります。

プロパティ

Vから商空間V / Uへの自然なエピモーフィズムが存在する。これはx をその同値類 [ x ] に写すことで得られる。このエピモーフィズムの核（あるいは零空間）は部分空間Uである。この関係は、短完全列によって簡潔にまとめられる。

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

U がVの部分空間である場合、V / Uの次元はVにおけるUの余次元と呼ばれる。Vの基底は、 Uの基底AとV / Uの基底Bから、 Bの各元の代表をAに加えることによって構成できるため、 Vの次元はUとV / Uの次元の和となる。Vが有限次元である場合、 VにおけるUの余次元はVとUの次元の差となる：^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

T  : V → W を線型作用素とする。Tの核ker( T )は、 Tx = 0となるようなVのすべてのxの集合である。核はVの部分空間である。ベクトル空間の第一同型定理によれば、商空間V /ker( T ) はVのWの像と同型である。有限次元空間の直接的な系は階数零定理である。すなわち、 Vの次元は核の次元（Tの零性）と像の次元（Tの階数）の和に等しい。

線形作用素T  : V → Wのコカーネルは商空間W /im( T )として定義される。

同型定理

第一同型定理

V,W を K-ベクトル空間とし、T:V->W を線型写像とする。写像をで定義すると、は well-defined かつ同型となる。 ${\displaystyle {\overline {T}}:V/\ker T\to \operatorname {im} (T)}$ ${\displaystyle {\overline {T}}([v])=T(v).}$ ${\displaystyle {\overline {T}}}$

バナッハ空間と部分空間の商

Xがバナッハ空間で、M がXの閉部分空間であるとき、商X / Mは再びバナッハ空間となる。商空間は、前節の構成によって既にベクトル空間構造を備えている。X / M上のノルムを次のように 定義する。

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

例

C [0,1] を区間[0,1]上の連続実数値関数のバナッハ空間とし、その上限ノルムを とする。f ( 0) = 0を満たすすべての関数f ∈ C [0,1]の部分空間をMとする。すると、ある関数gの同値類は 0 における値によって決定され、商空間C [0,1]/ MはRと同型となる。

Xがヒルベルト空間である場合、商空間X / MはMの直交補空間に同型です。

局所凸空間への一般化

局所凸空間を閉部分空間で割った商も局所凸である。 ^{[ 8 ]} 実際、Xが局所凸で、 X上の位相が半ノルム族{ p _α  | α ∈  A }（Aは添え字集合）によって生成されるとする。Mを閉部分空間とし、X / M上の半ノルムq _αを次のよう に定義する。

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).}$

すると、X / Mは局所凸空間となり、その上の位相は商位相となる。

さらに、Xが計量化可能ならば、X / Mも計量化可能である。Xがフレシェ空間ならば、 X / Mも計量化可能である。^{[ 9 ]}

参照

• 商群
• 商モジュール
• 商集合
• 商空間（位相）

参考文献

1. ハルモス (1974) pp. 33-34 §§ 21-22
2. カッツネルソン＆カッツネルソン (2008) p. 9 § 1.2.4
3. ローマン（2005） 75-76ページ、第3章
4. アクラー（2015） p.95、§3.83
5. ハルモス (1974) p. 34、§22、定理 1
6. アクラー（2015） p.97、§3.89
7. ハルモス (1974) p. 34、§22、定理 2
8. デュドネ (1976) p. 65、§12.14.8
9. デュドネ (1976) p. 54、§12.11.3

出典

• アクラー、シェルドン（2015年）『線形代数の正しい使い方』『学部生向け数学テキスト（第3版）』Springer社、ISBN 978-3-319-11079-0。
• ジャン・デュドネ(1976)、分析に関する論文、第 1 巻。 2、アカデミックプレス、ISBN 978-0122155024
• ハルモス、ポール・リチャード(1974) [1958].有限次元ベクトル空間.数学学部テキスト（第2版）.シュプリンガー. ISBN 0-387-90093-4。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• ローマン、スティーブン（2005年）『上級線形代数』、大学院数学テキスト（第2版）、シュプリンガー、ISBN 0-387-24766-1。