ラビ問題

ラビ問題は、原子の固有振動数に非常に近い周波数で印加された高調波電場に対する原子の応答に関する問題です。これは光と原子の相互作用の単純かつ一般的に解ける例であり、イジドール・アイザック・ラビにちなんで名付けられました。

古典的なラビ問題

古典的なアプローチでは、ラビ問題は、ローレンツ力の電気部分を駆動項として 持つ駆動減衰調和振動子の解によって表すことができます。

${\displaystyle {\ddot {x}}_{a}+{\frac {2}{\tau _{0}}}{\dot {x}}_{a}+\omega _{a}^{2}x_{a}={\frac {e}{m}}E(t,\mathbf {r} _{a}),}$

ここで、原子は中性原子の周囲を平衡位置を中心に振動する荷電粒子（電荷e ）として扱えると仮定されている。ここで、 x _aは瞬間的な振動振幅、固有振動周波数、および固有寿命である。 ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \tau_{0}}$

${\displaystyle {\frac {2}{\tau _{0}}}={\frac {2e^{2}\omega _{a}^{2}}{3mc^{3}}},}$

これは、電磁放射による双極子発振器のエネルギー損失 に基づいて計算されています。

これをラビ問題に適用するには、電場E が時間的に振動し、空間的に一定であると仮定します。

${\displaystyle E=E_{0}[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}]=2E_{0}\cos \omega t,}$

x _aは駆動電界と同位相の部分u _a (分散に対応) と位相がずれた 部分v _{a (吸収に対応) に分解されます。}

${\displaystyle x_{a}=x_{0}(u_{a}\cos \omega t+v_{a}\sin \omega t).}$

ここでx ₀は定数と仮定しますが、u _aとv _aは時間とともに変化することが許されます。しかし、系が共鳴（ ）に非常に近い場合、これらの値は時間とともにゆっくりと変化し、 、、と仮定することができます。 ${\displaystyle \omega \approx \omega _{a}}$ ${\displaystyle {\dot {u}}_{a}\ll \omega u_{a}}$ ${\displaystyle {\dot {v}}_{a}\ll \omega v_{a}}$ ${\displaystyle {\ddot {u}}_{a}\ll \omega ^{2}u_{a}}$ ${\displaystyle {\ddot {v}}_{a}\ll \omega ^{2}v_{a}}$

これらの仮定のもと、同位相部分と逆位相部分のローレンツ力の式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v-{\frac {u}{T}},}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u-{\frac {v}{T}}+\kappa E_{0},}$

ここで、自然寿命をより一般的な有効寿命T（衝突などの他の相互作用も含む）に置き換え、添え字aを削除して新たに定義したデチューニングを採用した。デチューニングは、異なる共鳴周波数の原子を区別するのに同様に役立つ。最後に、定数 ${\displaystyle \tau_{0}}$ ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{a}}$

${\displaystyle \kappa \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {e}{m\omega x_{0}}}}$

が定義されました。

これらの方程式は次のように解くことができます。

${\displaystyle u(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (tt')e^{-(tt')/T},}$

${\displaystyle v(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (tt')e^{-(tt')/T}.}$

すべての過渡現象が消えた後、定常解は次の単純な形をとる。

${\displaystyle x_{a}(t)={\frac {e}{m}}E_{0}\left({\frac {e^{i\omega t}}{\omega _{a}^{2}-\omega ^{2}+2i\omega /T}}+{\text{cc}}\right),}$

ここで、「cc」は反対の項の 複素共役を表します。

2レベル原子

半古典的アプローチ

古典的なラビ問題はいくつかの基本的な結果と問題のわかりやすい図式を与えてくれますが、反転、自然放出、ブロッホ・ジーゲルトシフトなどの現象を理解するためには、完全に量子力学的な処理が必要です。

最も単純なアプローチは、 2準位原子近似を用いるもので、これは対象とする原子の2つのエネルギー準位のみを扱うものです。現実には2つのエネルギー準位のみを持つ原子は存在しませんが、例えば原子内の2つの超微細状態間の遷移は、駆動力が共鳴からそれほど離れていないと仮定すれば、第一近似として、あたかもそれらの2つの準位のみが存在するかのように扱うことができます。

2 レベル原子の便利な点は、電界内の擬スピン ベクトルのダイナミクスを定義する ブロッホ方程式に従って、任意の 2 レベル システムがスピン 1/2システムと本質的に同じように進化することです。

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v,}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u+\kappa Ew,}$

${\displaystyle {\dot {w}}=-\kappa Ev,}$

ここで、高角速度（したがって、長時間にわたる全体的なスピンダイナミクスへの影響は小さい）の項を除外して回転波近似を行い、周波数で回転する座標の集合に変換しました。 ${\displaystyle \omega }$

これらの方程式は、古典的ケースにおける振動の同位相成分と逆位相成分の発展を定義した方程式と明確な類似点があります。しかし、ここでは3つ目の項wがあり、これは励起状態と基底状態の間のポピュレーション差（完全に基底状態にあることを示す -1 から完全に励起状態にあることを示す +1 まで変化します）として解釈できます。古典的ケースでは、原子振動子が占有できる連続的なエネルギースペクトルがありましたが、量子ケースでは（仮定したように）問題の（固有）状態は2つしかないことに留意してください。

これらの方程式は行列形式で表すこともできます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\delta &0\\\delta &0&\kappa E\\0&-\kappa E&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}.}$

これらの方程式はベクトル歳差運動方程式として表すことができることは注目に値します。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\rho } }{dt}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\rho } ,}$

ここで、 は擬似スピンベクトルであり、有効トルクとして機能します。 ${\displaystyle \mathbf {\rho } =(u,v,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {\オメガ } =(-\カッパ E,0,\デルタ )}$

前述のように、ラビ問題は、電場Eが一定の大きさE ₀ :で振動していると仮定して解く。この場合、解は上記の行列方程式に2つの連続した回転を適用することで得られる。 ${\displaystyle E=E_{0}(e^{i\omega t}+{\text{cc}})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \chi &0&\sin \chi \\0&1&0\\-\sin \chi &0&\cos \chi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \Omega t&\sin \Omega t\\0&-\sin \Omega t&\cos \Omega t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u''\\v''\\w''\end{bmatrix}},}$

どこ

${\displaystyle \tan \chi ={\frac {\delta }{\kappa E_{0}}},}$

${\displaystyle \Omega (\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}}}.}$

ここで、周波数は一般化ラビ周波数と呼ばれ、変換されたu '軸（上記の最初の座標変換で与えられた）の周りの擬似スピンベクトルの歳差運動の速度を与えます。 例として、電場（またはレーザー）が正確に共鳴している場合（つまり）、擬似スピンベクトルはの速度でu軸の周りを歳差運動します。 この（共鳴時の）パルスが、もともとすべて基底状態（ w = −1）にあった原子の集合に時間 の間照射された場合、パルスの照射後、原子はすべて、u軸の周りの（または 180°）回転により励起状態（w = +1）になります。 これは -パルスと呼ばれ、完全な反転の結果となります。 ${\displaystyle \Omega (\delta )}$ ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle \kappa E_{0}}$ ${\displaystyle \Delta t=\pi /\kappa E_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

一般的な結果は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}&-{\frac {\delta }{\Omega }}\sin {\Omega t}&-{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)\\{\frac {\delta }{\Omega }}\sin \Omega t&\cos \Omega t&{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin \Omega t\\{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)&-{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin {\Omega t}&{\frac {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{bmatrix}}.}$

反転wの式は、原子が最初は基底状態（w ₀ = −1）にあり、 u ₀ = v ₀ = 0であると仮定すると大幅に簡略化される。この場合、

${\displaystyle w(t;\delta )=-1+{\frac {2(\kappa E_{0})^{2}}{(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right).}$

時間依存摂動論におけるラビ問題

量子論的アプローチでは、周期的な駆動力は周期的な摂動として考えることができるため、問題は時間依存摂動論を用いて解くことができ、

${\displaystyle H(t)=H^{0}+H^{1}(t),}$

ここでは時間に依存しないハミルトニアンであり、元の固有状態を与える。 は時間に依存する摂動である。時刻 において、状態を次のように展開できると 仮定する。${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi (t)=\sum _{n}d_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ,}$

ここで、は摂動を受けていない状態の固有状態を表します。摂動を受けていない系では、は定数です。では、周期的な摂動を受けた場合を計算してみましょう。^{[説明が必要]}前の式の両辺に 演算子を適用すると、次の式が得られます。${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle d_{n}(t)=d_{n}(0)}$ ${\displaystyle d_{n}(t)}$ ${\displaystyle H^{1}(t)=H^{1}e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle i\hbar \partial /\partial t-H^{0}-H^{1}}$

${\displaystyle 0=\sum _{n}[i\hbar {\dot {d}}_{n}-H^{1}e^{-i\omega t}d_{n}]e^{-iE_{n}^{0}t/\hbar }|n\rangle ,}$

そして方程式の両辺に次の値を掛けます。 ${\displaystyle \langle m|e^{iE_{m}^{0}t/\hbar }}$

${\displaystyle i\hbar {\dot {d}}_{m}=\sum _{n}\langle m|H^{1}|n\rangle e^{i(\omega _{mn}-\omega )t}d_{n}.}$

励起周波数が2つの状態と の間の共鳴にあるとき、すなわち のとき、それは2準位系の通常モード問題となり、次のことが簡単に分かる。 ${\displaystyle |m\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{mn}}$

${\displaystyle d_{m,n}(t)=d_{m,n,+}(0)e^{i\Omega t}+d_{m,n,-}(0)e^{-i\Omega t},}$

どこ${\displaystyle \Omega ={\frac {\langle m|H^{1}|n\rangle }{\hbar }}.}$

時刻tに状態mにある確率は

${\displaystyle P_{m}=d_{m}(t)^{*}d_{m}(t)=d_{m,-}^{2}(0)+d_{m,+}^{2}(0)+2d_{m,-}(0)d_{m,+}(0)\cos(2\Omega t).}$

の値はシステムの 初期条件によって異なります。${\displaystyle d_{m,\pm }(0)}$

振動磁場中のスピン1/2系の厳密解は、ラビ（1937）によって解かれました。彼らの研究から、ラビ振動周波数は振動磁場の強度に比例することが明らかです。

量子場理論アプローチ

ブロッホのアプローチでは、場は量子化されておらず、結果として生じるコヒーレンスも共鳴も十分に説明されていません。

QFTアプローチ、主にJaynes-Cummingsモデルについては作業^[明確化]が必要です。

参照

• ラビサイクル
• ラビ周波数
• 真空ラビ振動

参考文献

• Allen, L; Eberly, JH (1987).光共鳴と二準位原子. ニューヨーク: ドーバー. ISBN 978-0-486-65533-8. OCLC  17233252。

• Rabi, II (1937-04-15). 「回転磁場における空間量子化」. Physical Review . 51 (8). アメリカ物理学会 (APS): 652– 654. Bibcode :1937PhRv...51..652R. doi :10.1103/physrev.51.652. ISSN  0031-899X.