ランクインデックス法

配分理論において、順位指数法^{[1] ：第8節は}、除数法を一般化した配分法の集合である。これらは、エドワード・ヴァーミリー・ハンティントンの考えを一般化したものであるため、ハンティントン法^[2]とも呼ばれる。

入出力

すべての配分方法と同様に、ランクインデックス方式の入力は次のとおりです。

• 割り当てるアイテムの総数を表す正の整数。ハウスサイズとも呼ばれます。${\displaystyle h}$

• アイテムを割り当てるエージェントの数を表す正の整数。例えば、連邦国家や政党などがこれに該当します。${\displaystyle n}$
• 権利を表す、分数のベクトル-はエージェント の権利、つまり が権利を持つアイテムの割合 ( の合計のうち)を表します。${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$

その出力は の整数のベクトルで、の割り当てと呼ばれます。ここで、はエージェントiに割り当てられたアイテムの数です。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a_{i}}$

反復手順

あらゆるランクインデックス法は、ランクインデックス関数 によってパラメータ化されます。この関数は、権利 が増加し、現在の割り当て が減少するものです。配分は次のように反復的に計算されます。 ${\displaystyle r(t,a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$

• 最初はすべてのパーティに対して 0 に設定されます。${\displaystyle a_{i}}$
• 各反復で、 が最大となるエージェントに 1 つのアイテムを割り当てます(同点の場合は任意に決定します)。${\displaystyle r(t_{i},a_{i})}$
• 反復後に停止します。${\displaystyle h}$

除数法は、ランクインデックス法の特殊なケースです。つまり、除数関数を使用する除数法は、ランクインデックス関数を使用するランクインデックス法と同等です。 ${\displaystyle d(a)}$ ${\displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$

最小最大定式化

すべてのランクインデックス法は、最小最大不等式を使用して定義できます。aは、関数rを持つランクインデックス法の割り当てであり、次の場合に限ります。^{[1] ：Thm.8.1}

${\displaystyle \min _{i:a_{i}>0}r(t_{i},a_{i}-1)\geq \max _{i}r(t_{i},a_{i})}$ 。

プロパティ

ランクインデックス法はどれもハウス単調です。つまり、が増加すると、各エージェントの割り当ては弱く増加します。これは反復手順から直ちに導き出されます。 ${\displaystyle h}$

あらゆるランクインデックス法は一様です。つまり、エージェントのサブセットをいくつか取り、それらの組み合わせた割り当てに同じ方法を適用すると、結果はベクトルと全く同じになります。言い換えれば、公平な割り当てのあらゆる部分は公平であるということです。これは、最小最大不等式から直ちに導き出されます。 ${\displaystyle 1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

さらに：

• 均一で対称的かつ均衡のとれた配分方法はすべて順位指数方式でなければならない。^{[1] : Thm.8.3}
• 均一で、家全体が単調で、バランスのとれた配分方法は、すべて順位指数方式でなければならない。^[2]

割当量上限付き除数法

クォータキャップ付き除数法とは、まず各州に下限議席を割り当てる配分方法である。次に、議席当たりの得票数の平均が最も高い州に、議席を1つずつ追加していく。ただし、追加議席によって当該州の上限議席数を超えないことが条件となる。^[3]しかし、クォータキャップ付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反するため、政党がより多くの票を獲得した結果、議席を失う可能性がある。^{[4] : 表A7.2}

全てのクォータキャップ付き除数法はハウス単調性を満たす。さらに、クォータキャップ付き除数法はクォータ規則を満たす。^{[5] : Thm.7.1}

しかし、クォータ上限付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反しており、政党がより多くの票を獲得した結果として議席を失う可能性がある。^{[5] ：表A7.2}これは次の場合に発生する：

1. 政党iがより多くの票を獲得します。
2. 除数が大きいため、他の政党jの上限議席数が減少します。したがって、政党jは今回の繰り返しでは議席を獲得できず、代わりに第三者が議席を獲得します。
3. そして、次の反復では、政党jが再び議席を獲得する資格を得て、政党iに勝ちます。

さらに、他のアルゴリズムの割当上限付きバージョンは、誤差（例えば国勢調査の誤数）がある場合、真の割当量を頻繁に超える。ジェファーソン法は割当上限付きでも真の割当量を頻繁に超えるが、ウェブスター法とハンティントン・ヒル法は割当上限なしでも良好なパフォーマンスを示す。^[6]

参考文献

1. バリンスキー、ミシェル・L.、ヤング、H.ペイトン（1982年）『公正な代表：一人一票の理想の実現』ニューヘイブン：イェール大学出版局、ISBN 0-300-02724-9。
2. Balinski, ML; Young, HP (1977-12-01). 「ハンチントン配分法について」 . SIAM Journal on Applied Mathematics . 33 (4): 607– 618. doi :10.1137/0133043. ISSN  0036-1399.
3. Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). 「割当方式による配分」 .アメリカ数学月刊誌. 82 (7): 701– 730. doi :10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN  0002-9890.
4. バリンスキー、ミシェル・L.、ヤング、H.ペイトン（1982年）『公正な代表：一人一票の理想の実現』ニューヘイブン：イェール大学出版局、ISBN 0-300-02724-9。
5. Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). 『公正な代表制：一人一票の理想の実現』 ニューヘイブン：イェール大学出版局. ISBN 0-300-02724-9。
6. スペンサー、ブルース・D. (1985年12月). 「公平な配分の統計的側面」 .アメリカ統計学会誌. 80 (392): 815– 822. doi :10.1080/01621459.1985.10478188. ISSN  0162-1459.