合理的な結果関係

論理学において、合理的帰結関係とは、以下に挙げる特定の特性を満たす 非単調な 帰結関係のことである。

合理的帰結関係とは、従来の演繹的推論を洗練させ、現実世界のシナリオをより適切にモデル化する論理的枠組みです。この関係には、再帰性、左辺論理同値性、右辺弱化、慎重な単調性、左辺の論理和、右辺の論理積、合理的単調性といった規則が組み込まれています。これらの規則により、絶対的な含意ではなく通常の含意に基づいて結論を導き出す非単調な推論が可能になり、日常的な状況への対応がより効果的になります。このアプローチは、情報を追加することで結果が変化する可能性がある場合に特に有用であり、単調な帰結関係よりもニュアンスに富んだ理解を提供します。

プロパティ

合理的帰結関係は以下を満たします。 ${\displaystyle \vdash }$

参照

反射性 ${\displaystyle \theta \vdash \theta }$

そして、いわゆるギャベイ・マキンソンルール：^[要出典]

LLE

左論理同値${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \theta \equiv \phi }{\phi \vdash \psi }}}$

RWE

右手の弱化${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \phi \models \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

最高マーケティング責任者

慎重な単調性 ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \wedge \psi \vdash \phi }}}$

ディス

左側の論理和（すなわち論理和）${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \phi \vdash \psi }{\theta \vee \phi \vdash \psi }}}$

そして

論理的に右側にある${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \vdash \phi \wedge \psi }}}$

RMO

有理単調性^{[説明が必要]}${\displaystyle {\frac {\phi \not \vdash \neg \theta \quad \quad \phi \vdash \psi }{\phi \wedge \theta \vdash \psi }}}$

用途

合理的帰結関係は非単調であり、その関係は、θ が通常 phi を示唆する、あるいはphi が通常 theta から従う、という意味を持つことを意図しています。この意味で、合理的帰結関係は単調な帰結関係よりも日常的な状況をモデル化するのに有用です。なぜなら、後者の関係は事実をより厳密なブール形式でモデル化するからです。つまり、ある状況があらゆる状況で従うか、従わないかのどちらかです。 ${\displaystyle \theta \vdash \phi }$

例: ケーキ

「ケーキに砂糖が含まれていれば、ケーキは美味しい」という命題は、単調な帰結関係の下では「ケーキに砂糖と石鹸が含まれていれば、ケーキは美味しい」という命題を導きます。これは明らかに、私たちのケーキに対する理解とは一致しません。「ケーキに砂糖が含まれていれば、ケーキはたいてい美味しい」と主張すれば、合理的な帰結関係によって現実世界のより現実的なモデルが構築されますが、もちろん、この主張が「ケーキに砂糖と石鹸が含まれていれば、ケーキはたいてい美味しい」という結論を自動的に導くわけではありません。

「ケーキに砂糖が含まれている場合、通常はバターも含まれている」という情報も得られれば、 （CMOに基づき）「ケーキに砂糖とバターが含まれている場合、通常は美味しい」と法的に結論付けることができることに注意してください。同様に、「ケーキに砂糖が含まれている場合、通常は石鹸は含まれていない」という記述がない場合でも、RMOに基づき「ケーキに砂糖と石鹸が含まれている場合、通常は美味しい」と法的に結論付けることができます。

もし後者の結論が馬鹿げているように思えるなら、あなたは無意識のうちに、ケーキに関する自分の先入観に基づいて、その文の妥当性を評価している可能性があります。つまり、経験から、石鹸を含むケーキはまずい味がする可能性が高いことを知っているので、「砂糖を含むケーキには通常石鹸は含まれていない」といった、たとえこの知識がシステムに含まれていなくても、独自の知識をシステムに加えているのです。もしこの結論が馬鹿げているように思えるなら、「石鹸」という言葉を「卵」という言葉に置き換えてみて、あなたの気持ちが変わるかどうか試してみるといいかもしれません。

例：薬物

次の文を考えてみましょう。

• 若者はたいてい幸せだ
• 薬物乱用者は通常、幸せではない
• 薬物乱用者は通常若者である

次のように結論付けるの妥当だと考えられる。

• 若い薬物乱用者はたいてい幸せではない

これは単調な演繹システム（もちろん「通常」という言葉は除く）では妥当な結論ではない。なぜなら、3番目の文は最初の2つの文と矛盾するからである。対照的に、ギャベイ＝マキンソン規則を用いると、結論は直ちに導かれる。つまり、最後の2つの文にCMO規則を適用すると、結果が導かれる。

結果

上記の規則から次のような結果が導き出されます。

国会議員

モーダス・ポネンス ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}{\theta \vdash \psi }}}$

MP は AND と RWE の規則によって証明されます。

反対

条件付け${\displaystyle {\frac {\theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}}}$

CC

慎重なカット${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

慎重なカットの概念は、条件付けとそれに続くMPの操作を単純に要約したものです。この意味では冗長に思えるかもしれませんが、証明では頻繁に使用されるため、ショートカットとして機能するように名前を付けておくと便利です。

SCL

超階級性${\displaystyle {\frac {\theta \models \phi }{\theta \vdash \phi }}}$

SCL は REF と RWE によって簡単に証明されます。

原子選好による合理的帰結関係

を有限言語とする。アトムとは、（ および）の形式の式である。任意のアトムを真とする唯一の値が存在することに注目する（逆に、各値は正確に1つのアトムを満たす）。したがって、アトムは、真であるべきであると私たちが信じるものについての選好を表すために使用できる。 ${\displaystyle L=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$ ${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{\epsilon }}$ ${\displaystyle p^{1}=p}$ ${\displaystyle p^{-1}=\neg p}$

を L 内のすべての原子の集合とします。SL の場合、を定義します。 ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \theta \in }$ ${\displaystyle S_{\theta }=\{\alpha \in At^{L}|\alpha \models ^{SC}\theta \}}$

を のサブセットの列とします。SLにおいて、次のいずれかが成り立つ場合、 関係が であるとします。${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$ ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle \theta \vdash _{\vec {s}}\phi }$

1. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}=\emptyset }$ それぞれ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$
2. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\neq \emptyset }$ いくつかの場合、そして最小のそのような i の場合、。${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\subseteq S_{\phi }}$

すると、この関係は 有理的帰結関係となる。これは、GM条件を満たすことを直接確認することで容易に検証できる。 ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$

アトム セットの順序の背後にある考え方は、前のセットが「若者は通常法律を遵守している」などの最も可能性の高い状況を説明するのに対し、後のセットが「若い無謀運転者は通常法律を遵守していない」などの可能性の低い状況を説明するというものです。

注記

1. 関係 の定義により、 を、を... 、をに置き換えても関係は変わりません。このようにして、それぞれを互いに素にします。逆に、先行する のいずれかから後続の原子に を加えても、合理的帰結関係に変化はありません。${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\setminus s_{1}}$ ${\displaystyle s_{3}}$ ${\displaystyle s_{3}\setminus s_{2}\setminus s_{1}}$ ${\displaystyle s_{m}}$ ${\displaystyle s_{m}\setminus \bigcup _{i=1}^{m-1}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

表現定理

有限言語上の任意の合理的帰結関係は、上記の原子選好の列によって表現可能であることが証明できる。つまり、任意のそのような合理的帰結関係に対して、関連する合理的帰結関係が同じ関係となるようなの部分集合の列が存在する。${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$ ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vdash _{\vec {s}}}={\vdash }}$

注記

1. の上記の性質により、合理的帰結関係の表現は一意である必要はありません。つまり、が互いに素でない場合は、合理的帰結関係を変えずに 2 つの ...${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle s_{i}}$

参考文献

• Hill, Lee CE (2002). 「最大エントロピーと条件付き知識ベースの合理的閉包との新たな関係」マンチェスター大学. 2022年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• D. Makinson (1994年3月). 「非単調推論における一般パターン」. DM Gabbay, CJ Hogger, JA Robinson (編). 演繹方法論. 人工知能と論理プログラミングにおける論理ハンドブック. 第2巻. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. pp.  35– 110. ISBN 978-0-19-853746-5。