有理差分方程式

有理差分方程式は、 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}の形式の非線形差分方程式である。

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{ni}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{ni}}}~,}$

ここで、初期条件は、どのnに対しても分母が決してゼロにならないというものです。 ${\displaystyle x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}}$

一次有理差分方程式

一次有理差分方程式は、次の形式の非線形差分方程式である。

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}$

と初期条件が実数のとき、この差分方程式はリカッチ差分方程式と呼ばれる。^{[ 3 ]}${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle w_{0}}$

このような方程式は、それ自体が線形に変化する別の変数の非線形変換として書き表すことで解くことができます。そして、標準的な手法を用いての線形差分方程式を解くことができます。 ${\displaystyle w_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

この形式の方程式は無限抵抗ラダー問題から生じる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

一次方程式を解く

最初のアプローチ

変換された変数 を展開する一つのアプローチ^{[ 7 ]}は、 の場合、次のように書くことである。 ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

どこ とどこ。 ${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ ${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$ ${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$

さらに書き 続けることで、 ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

2番目のアプローチ

このアプローチ^{[ 8 ]}は、が非負の 場合に、2階差分方程式ではなく 1階差分方程式を与える。 と 書き、 はで与えられ、 は で与えられる。すると、が に従って発展する ことが示される。${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle (d-a)^{2}+4bc}$ ${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$ ${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$ ${\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

3番目のアプローチ

方程式

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

より一般的な行列方程式の特別なケースとして扱うことでも解くことができる。

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

ここで、A、B、C、E、 Xはすべてn × n行列（この場合はn = 1）である。この解は^{[ 9 ]である。}

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$

応用

^{[ 10 ]}では、次のような形式の 動的行列リカッチ方程式が示された。

${\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}$

これは、一部の離散時間最適制御問題で発生する可能性がありますが、行列Cの行が列より 1 行だけ多い 場合は、上記の 2 番目のアプローチを使用して解決できます。

参考文献

1. スケラム, JG (1951). 「理論上の個体群におけるランダム分散」, Biometrika 38 196−–218, eqns (41,42)
2. Camouzis, Elias; Ladas, G. (2007年11月16日). 『未解決問題と予想を伴う三階有理差分方程式のダイナミクス』 CRC Press. ISBN 9781584887669– Google ブックス経由。
3. Kulenovic, Mustafa RS; Ladas, G. (2001年7月30日). 『2階有理差分方程式のダイナミクス：未解決問題と予想』 CRC Press. ISBN 9781420035384– Google ブックス経由。
4. ニュース、ジェラルド、「混沌とした始まりからの世界秩序」、数学ガゼット88、2004年3月、39-45は三角法のアプローチを示しています。
5. 「ラダー回路の等価抵抗」 . Stack Exchange . 2022年2月21日閲覧。
6. 「再帰的に考える：無限抵抗ラダーパズルを解く方法！」 YouTube 。2022年2月21日閲覧。
7. ブランド、ルイス、「差分方程式によって定義されるシーケンス」、アメリカ数学月刊誌62、1955年9月、489-492ページ。 オンライン
8. ミッチェル、ダグラス W.、「2 ターゲット離散時間制御の解析的リカッチ解」、 Journal of Economic Dynamics and Control 24、2000、615–622。
9. Martin, CF、Ammar, G.、「行列リカッティ方程式の幾何学および関連する固有値法」、Bittani、Laub、および Willems (編)、 The Riccati Equation、Springer-Verlag、1991 年。
10. Balvers, Ronald J.、およびMitchell, Douglas W.、「線形二次制御問題の次元削減」、 Journal of Economic Dynamics and Control 31、2007年、141-159。

さらに読む

• シモンズ、スチュアート、「非線形差分方程式」、Mathematical Gazette 93、2009年11月、500-504ページ。