実変数の関数

数学的解析、および幾何学、応用数学、工学、自然科学への応用において、実変数関数（じぶんぶんかん）とは、実数、または正の長さの区間を含むの部分集合を定義域とする関数のことである。考察・研究される実関数のほとんどは、ある区間で微分可能である。最も広く考えられているそのような関数は実関数であり、これは実変数の実数値関数、すなわち実数集合を余弦とする実変数の関数である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

実変数関数の余域は任意の集合とすることができる。しかし、実数上の-ベクトル空間構造を持つと仮定されることが多い。つまり、余域はユークリッド空間、座標ベクトル、与えられたサイズの実数行列の集合、あるいは複素数や四元数などの-代数のいずれかである。余域の - ベクトル空間構造は、関数上に - ベクトル空間構造を誘導する。余域が- 代数構造を持つ場合、関数についても同様である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

実変数関数の像は、その余域における曲線です。この文脈では、曲線を定義する関数は、曲線の 媒介変数方程式と呼ばれます。

実変数関数の終域が有限次元ベクトル空間である場合、その関数は実関数の列と見なすことができます。これは応用においてよく用いられます。

実関数

実関数のグラフ

実関数とは、の部分集合からへの関数である。ここで、 は通常通り実数全体の集合を表す。つまり、実関数の定義域はの部分集合であり、その余定義域は である。一般に、定義域には正の長さの区間が含まれると仮定される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

基本的な例

一般的に用いられる多くの実関数において、定義域は実数の集合全体であり、関数は定義域のどの点においても連続かつ微分可能である。これらの関数は定義済みであり、どこでも連続かつ微分可能であると言われる。これは以下の例に当てはまる。

• 定数関数と線形関数を含むすべての多項式関数
• 正弦関数と余弦関数
• 指数関数

いくつかの関数はどこでも定義されるが、ある点では連続ではない。例えば

• ヘヴィサイドのステップ関数はどこでも定義されますが、ゼロでは連続ではありません。

いくつかの関数は定義され、どこでも連続だが、どこでも微分可能ではない。例えば

• 絶対値は、あらゆる場所で定義され、連続しており、ゼロを除くあらゆる場所で微分可能です。
• 立方根は、あらゆる場所で定義され、連続しており、ゼロを除くあらゆる場所で微分可能です。

多くの一般的な関数はどこでも定義されているわけではありませんが、定義されている場所であればどこでも連続かつ微分可能です。例えば、

• 有理関数は 2 つの多項式関数の商であり、分母のゼロでは定義されません。
• kが任意の整数である場合、正接関数は定義されません。${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• 対数関数は変数の正の値に対してのみ定義されます。

いくつかの関数は、その定義域全体で連続でありながら、いくつかの点では微分不可能です。これは以下の例に当てはまります。

• 平方根は変数の非負の値に対してのみ定義され、0 では微分できません (変数のすべての正の値に対しては微分可能です)。

一般的な定義

実変数の実数値関数とは、実数（一般的に変数xで表される）を入力として受け取り、別の実数（関数の値、一般的にf ( x ) で表される）を生成する関数です。簡潔にするため、この記事では実変数の実数値関数を単に関数と呼びます。曖昧さを避けるため、他の種類の関数についても明示的に指定します。

いくつかの関数は変数のすべての実数値に対して定義される（どこでも定義されていると言われる）が、他のいくつかの関数は変数の値が関数の定義域である の部分集合 X に含まれる場合にのみ定義される。この定義域は常に正の長さの区間を含むと想定される。言い換えれば、実変数の実数値関数とは、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

その定義域Xは、正の長さの区間を含む のサブセットです。${\displaystyle \mathbb {R} }$

1 つの変数内の関数の簡単な例は次のようになります。

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

これはxの平方根です。

画像

関数の像とは、変数x がfの定義域全体を通っているときのfのすべての値の集合である。連続（定義は下記参照）実数値関数で定義域が連結な場合、像は区間か単一の値のいずれかとなる。後者の場合、関数は定数関数である。 ${\displaystyle f(x)}$

与えられた実数yの逆像は、方程式y = f ( x )の解の集合です。

ドメイン

複数の実変数を持つ関数の定義域は、明示的に定義されることもある の部分集合である。実際、関数fの定義域X をY ⊂ Xの部分集合に制限すると、形式的には別の関数、すなわちfをYに制限した関数が得られ、これはf _{| Y}と表記される。実際には、 fとf _{| Y}を同一視し、添え字_{| Y}を省略しても問題ない場合が多い。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

逆に、与えられた関数の定義域を、例えば連続性や解析接続などによって自然に拡張できる場合もあります。これは、実変数関数の定義域を明示的に定義する価値がないことを意味します。

代数構造

算術演算は次のように関数に適用できます。

• あらゆる実数rに対して、定数関数 がどこでも定義されます。${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• すべての実数rとすべての関数fに対して、関数はfと同じ定義域を持ちます（またはr = 0 の場合はどこでも定義されます）。${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• fとg がそれぞれXとYの領域を持つ 2 つの関数であり、X ∩ Y がの開集合を含む場合、およびはX ∩ Yを含む領域を持つ関数です。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

したがって、どこでも定義されているn変数の関数と、特定の点の近傍で定義されているn変数の関数は、どちらも実数 ( -代数) 上の可換代数を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

同様に、 fの定義域における点( x )の集合でf ( x ) ≠ 0 となるものが の開集合を含む場合にのみ、 が関数であると定義できる。この制約は、上記の2つの代数が体ではないことを意味する。 ${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

連続性と限界

実変数の実関数の極限。

19世紀後半まで、数学者は連続関数のみを考察していました。当時、位相空間と位相空間間の連続写像が正式に定義されるずっと以前から、1つまたは複数の実変数の関数について連続性の概念が精緻化されていました。実変数の連続関数は数学において広く用いられているため、位相空間間の連続写像という一般的な概念とは関係なく、この概念を定義することは価値があります。

連続性を定義するには、 2つの実変数のどこでも定義された関数である の 距離関数を考慮すると便利です。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$

関数f がその定義域の内部にある点で連続であるとは、任意の正の実数εに対して、任意の正の実数δが存在し、 となるようなすべてに対して となるときである。言い換えれば、δ は、を中心とする半径δの区間のfによる像が、を中心とする長さ2 εの区間に含まれるように十分小さく選択できる。関数が連続するのは、その定義域のどの点でも連続する場合である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

実変数の実数値関数の極限は次の通りである。[ 1 ^]関数fの定義域Xの位相閉包内の点をaとする。関数fは、 x がaに向かうときに極限Lを持ち、これは次のように表される。

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

次の条件が満たされる場合：すべての正の実数ε > 0に対して、正の実数δ > 0が存在し、

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

定義域内の すべてのxに対して、

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

極限が存在する場合、それは一意である。aが定義域の内部にある場合、極限が存在するのは、関数がaで連続である場合に限る。この場合、

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

a がfの定義域の境界内にあり、f がaで極限を持つ場合、後者の式によりfの定義域をaまで「連続的に拡張」することができます。

微積分

実変数の関数を複数集めることができる。例えば、

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

xでパラメータ化されたベクトルに変換します。

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

ベクトルyの微分は、 i = 1, 2, ..., nに対するf _i ( x )のベクトル微分です。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y}}{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

位置ベクトルr = r ( x ) を持つxでパラメータ化された空間曲線に沿って、変数xについて積分することにより線積分を実行することもできます。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

ここで、· はドット積、x = aおよびx = bは曲線の始点と終点です。

定理

積分と微分の定義により、微積分の基本定理、部分積分、テイラーの定理など、重要な定理を定式化することができます。積分と微分が混在する式の評価は、積分記号 のもとでの定理微分を用いて行うことができます。

暗黙的な関数

実変数の実数値暗黙関数は「y = f ( x ) 」という形では書かれません。その代わりに、空間^{2から の}零元（通常の零点 0 ） への写像が用いられます。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

そして

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

は変数に関する方程式です。暗黙関数は、関数を表現するより一般的な方法です。なぜなら、

${\displaystyle y=f(x)}$

すると、常に次のように定義できます。

${\displaystyle \phi (x,y)=yf(x)=0}$

しかし、その逆は常に可能であるとは限らず、つまり、すべての暗黙関数がこの方程式の形をとるわけではありません。

ⁿ次元の1次元空間曲線${\displaystyle \mathbb {R} }$

3次元空間曲線。位置ベクトルrはスカラーtによってパラメータ化されます。r = aにおいて、赤い線は曲線の接線であり、青い平面は曲線に垂直です。

処方

共通変数tを持つ関数r ₁ = r ₁ ( t )、r ₂ = r ₂ ( t )、 ...、r _n = r _n ( t )が与えられているので、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

または一緒にすると：

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

次にパラメータ化されたn組、

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

1次元の空間曲線を記述します。

曲線の接線

ある定数t = cに対して点r ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n )において、その点における曲線の 1 次元接線の方程式は、r ₁ ( t )、r ₂ ( t )、 ...、r _n ( t )、およびrのtに関する常微分で与えられます。

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

法線平面から曲線へ

r = aにおける接線に垂直なn次元超平面の方程式は次のようになります。

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

またはドット積の観点から見ると：

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

ここで、p = ( p ₁、p ₂、 ...、p _n )は空間曲線上ではなく、 平面上の点です。

運動学との関係

古典粒子の運動量: 質量m、位置r、速度v、加速度a。

d r ( t )/ dtの物理的および幾何学的な解釈は、r を時間tでパラメータ化された空間位置ベクトル座標として扱い、経路r ( t )に沿って移動する点状粒子の「速度」であり、瞬間的な運動方向におけるすべてのtについて空間曲線の接線ベクトルである。 t = cにおいて、空間曲線は接線ベクトルd r ( t )/ dt | _{t = c}を持ち、 t = cにおける空間曲線に垂直な超平面は、t = cにおける接線にも垂直である。この平面 ( p − a )上の任意のベクトルは、d r ( t )/ dt | _{t = c}に垂直でなければならない。

同様に、d ² r ( t )/ dt ²は粒子の「加速度」であり、曲率半径に沿った曲線に垂直なベクトルです。

行列値関数

行列は単一の変数の関数になることもあります。例えば、 2次元の回転行列は次のようになります。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

は、原点を中心とした回転角の行列値関数です。同様に、特殊相対論では、純粋なブースト（回転なし）の ローレンツ変換行列は次のようになります。

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

はブーストパラメータβ = v / cの関数であり、ここでvは参照フレーム間の相対速度（連続変数）であり、 cは光速（定数） です。

バナッハ空間とヒルベルト空間と量子力学

前節を一般化すると、実変数関数の出力はバナッハ空間またはヒルベルト空間にも存在する可能性がある。これらの空間では、除算、乗算、極限がすべて定義されているため、微分や積分といった概念は依然として適用可能である。これは特に量子力学において、ケットまたは演算子の微分をとる場合によく見られる。例えば、一般的な時間依存シュレーディンガー方程式において、この現象が現れる。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

ここで、波動関数の微分をとりますが、これはいくつかの異なるヒルベルト空間の要素になることができます。

実変数の複素数値関数

実変数の複素数値関数は、実数値関数の定義において、実数へのコドメインの制限を緩和し、複素数値を許可することによって定義できます。

f ( x )がそのような複素数値関数である場合、それは次のように分解される。

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x )、

ここで、gとhは実数値関数です。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に容易に帰着します。

実変数関数の集合の濃度

実変数 の実数値関数の集合の基数はであり、これは連続体（すなわち、実数全体の集合） の基数よりも確実に大きい。この事実は基数算術によって簡単に検証できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

さらに、が となる集合である場合、集合の濃度も となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

しかし、連続関数 の集合の濃度は、連続体の濃度 という厳密に小さい値を持つ。これは、連続関数がその関数の定義域（この場合は ）に稠密な部分集合上の値によって完全に決定されるという事実から導かれる。^{[ 2 ]} したがって、実数上の連続実数値関数の集合の濃度は、有理数上の実数値関数の集合の濃度よりも大きくない。基数算術により： ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

一方、 と の間には明確な一対一性があるため、の部分集合を形成する定数関数の集合も成立する。したがって、 となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$ ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

参照

• 実分析
• 複数の実変数の関数
• 複素解析
• 複数の複素変数の関数

参考文献

1. R. Courant (1988年2月23日).微分積分学. 第2巻. Wiley Classics Library. pp.  46– 47. ISBN 0-471-60840-8。
2. Rudin, W. (1976). 『数学解析の原理』ニューヨーク: McGraw-Hill. pp.  98– 99. ISBN 0-07-054235X。

• F. エアーズ、E. メンデルソン (2009).微積分学. シャウムのアウトラインシリーズ（第5版）. マグロウヒル. ISBN 978-0-07-150861-2。
• R. Wrede, MR Spiegel (2010).上級微積分学. Schaum's outline series (第3版). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7。
• N. ブルバキ (2004). 『実変数関数：初等理論』 シュプリンガー. ISBN 354-065-340-6。

外部リンク

• 多変数微積分
• LA Talman (2007)多変数関数の微分可能性