カウント
数字ブロックのセット。ブロック1、2、3が前面にあり、他の6つのブロックが背景に見えます。
数えたり数えたりするのに使える数字ブロック

計数とは、有限のオブジェクト集合の要素数、つまり集合の大きさを決定するプロセスです。伝統的な計数方法は、集合の各要素について、（心の中で、または口で）カウンターを一定の順序で1単位ずつ増やし続けながら、同じ要素を複数回訪れないように、それらの要素にマーク（または移動）を付け、マークされていない要素がなくなるまで続けます。最初のオブジェクトの後にカウンターを1に設定した場合、最後のオブジェクトを訪れた後の値は、目的の要素数となります。関連用語である列挙とは、有限（組み合わせ）集合または無限集合の各要素に番号を割り当てることで、 それらの要素を一意に識別することを指します。

数を数えるときには、1 以外の数字が関係することがあります。たとえば、お金を数えるとき、お釣りを数えるとき、「2 ずつ数える」(2、4、6、8、10、12、...)、または「5 ずつ数える」(5、10、15、20、25、...) ときなどです。

考古学的証拠によると、人類は少なくとも5万年前から数を数えてきたと考えられています。[ 1 ]古代文化において、数を数えることは主に、集団の構成員数、獲物となる動物の数、財産、負債（つまり会計）といった社会的・経済的データを記録することに用いられていました。南アフリカのボーダー洞窟では、刻み目のある骨も発見されており、紀元前4万4000年頃から人類は数を数えるという概念を知っていた可能性を示唆しています。[ 2 ]数を数えることの発達は、数学的記法、記数法、そして文字の発達につながりました。

数え方の形式

ハナカピアイビーチ警告！ / 確認せずに水に近づかないでください / 流れにより [82 人が死亡] しました。
ハナカピアイビーチでの集計マークを使ったカウント

言語による数え方では、進行状況を把握するために、連続した数字を声に出して言ったり、心の中で数えたりします。一般的に、このような数え方は10進法で行われます：「1、2、3、4」など。言語による数え方は、時間の経過とともに物事を数えるのではなく、現在存在している物体の数え方によく用いられます。なぜなら、中断された後、中断した数字を記録したり記憶したりする必要があるからです。

少数の物体を数える場合、特に時間をかけて数える場合は、タリーマークを使うと効率的に数えることができます。つまり、それぞれの数字に印を付け、数え終わったらすべての印を数えます。タリーマークは1進法で数えます。

指で数を数える方法は、小さな数を数えるのに便利で一般的です。子供たちは計算を容易にしたり、簡単な計算をしたりするために指を使って数を数えます。昔の指で数を数える方法では、4本の指と各指の3つの骨（指骨）を使って12まで数えました。[ 3 ]他の手振りシステムも使用されており、例えば中国のシステムでは、片手のジェスチャーだけで10まで数えることができます。指の2進数を使うと、10の2乗の3乗= 2の10乗− 1まで指で数を数えることができます。

集計カウンターやそろばんなど、さまざまな装置を使用して計算を容易にすることもできます。

包括的カウント

包含的数え方と排他的数え方は、異なる数え方です。排他的数え方では、単位区間は各区間の終わりで数えられます。包含的数え方では、単位区間は最初の区間の始まりから最後の区間の終わりまで数えられます。このため、同じ集合に対して、包含的数え方を用いた場合、排他的数え方を用いた場合と比較して、常に1だけ大きな数になります。数直線にゼロが導入されたことで、この問題は解決されたようですが、包含的数え方は依然としていくつかの用途で有用です。

オフ・バイ・ワン・エラーの一種であるフェンスポスト・エラーも参照してください。

包括的計算は、ローマ暦やロマンス諸語における時間を扱う際によく見られる。[ 4 ]古代ローマ暦では、ノネス（「9」を意味する）はイデスの8日前であった。より一般的には、日付は次の指定された日までの包括的に数えられた日数として指定される。[ 4 ]

キリスト教の典礼暦において、クインクアゲシマ（50）はイースターの日曜日の49日前です。「含めて数える」場合、日曜日（開始日）が1日目となり、次の日曜日が8日目となります。例えば、「二週間」はフランス語でquinzaine （15日）であり、ギリシャ語（δεκαπενθήμερο, dekapenthímero）、スペイン語（ quincena ）、ポルトガル語（ quinzena ）にも同様の語句があります。

対照的に、英語の「fortnight」自体は「a fourteen-night」に由来し、古語の「sennight」も「a seven-night」に由来する。これらの英語の単語は包含的な数え方の例ではない。英語のような除外的な数え方をする言語では、「日曜日から」8日を数える場合、月曜日が1日目、火曜日が2日目、そして翌月曜日が8日目となる。長年にわたり、英国法では「from a date」という表現を「その日の翌日から始まる」という意味で用いるのが標準的な慣習であったが、この慣習は誤解を招く危険性が高いため、現在では推奨されていない。[ 5 ]

東アジアの年齢計算でも同様の数え方が行われており、新生児は出生時に 1 歳とみなされます。

音楽用語では、標準音階の音程も包括的に数えます。つまり、1 音上がると 2 音程、2 音上がると 3 音程などとなり、7 音上がると 1オクターブとなります。

教育と開発

世界のほとんどの文化において、数を数えることを学ぶことは、教育と発達における重要な節目です。数を数えることを学ぶことは、子供にとって数学への最初の一歩であり、数学の最も基本的な概念を構成します。しかし、アマゾンやオーストラリアのアウトバックの一部の文化では、数を数える習慣がなく[ 6 ] [ 7 ]、それらの言語には数を表す言葉がありません。

わずか 2 歳の子供の多くは、数え上げリストを暗唱するスキルをある程度持っています (つまり、「1、2、3、…」と言うことです)。また、小さな数の順序性に関する質問、たとえば「3 の次は何が来るの?」にも答えることができます。セット内の各オブジェクトを指して、単語を 1 つずつ暗唱することさえ得意です。このことから、多くの親や教育者は、子供がセットのサイズを決定するために数を数える方法を知っているという結論に達します。[ 8 ]研究によると、子供がこれらのスキルを習得してから約 1 年経って初めて、それらの意味と手順が実行される理由を理解します。[ 9 ] [ 10 ]その間に、子供たちは瞬時に認識できる基数の名前を挙げる方法を学びます。

数学における数え方

数学において、集合を数えて結果nを求めることの本質は、対象集合と正の整数の部分集合 {1, 2, ..., n } との間に一対一対応（すなわち全単射）を確立することです。数学的帰納法によって証明できる基本的な事実は、 n = mでない限り、{1, 2, ..., n } と {1, 2, ..., m }の間には全単射は存在し得ないということです。この事実（2つの全単射を合成して別の全単射を生成できるという事実と合わせて）は、同じ集合を異なる方法で数えても、（誤りがない限り）異なる数値が得られることはないことを保証します。これは、数えることの目的となる基本的な数学定理です。（有限）集合をどのように数えても、答えは同じです。より広い文脈では、この定理は（有限）組合せ論という数学分野における定理の一例であり、そのため（有限）組合せ論は「数える数学」と呼ばれることもあります。

数学において生じる多くの集合は、任意の自然数nに対して {1, 2, ..., n }と一対一の関係が成立しない。これらは無限集合と呼ばれ、一方、（あるnに対して）一対一の関係が成立する集合は有限集合と呼ばれる。無限集合は通常の意味で数えることはできない。その理由の一つは、有限集合の通常の意味での数学定理が、無限集合においては誤りだからである。さらに、これらの定理を述べる概念の異なる定義は、有限集合においては等価であるが、無限集合においては等価ではない。

計数の概念は、よく理解されている集合との全単射性（の存在）を確立するという意味において、これらの集合にも拡張することができる。例えば、ある集合が自然数全体の集合と全単射性を持つ場合、その集合は「可算無限」と呼ばれる。この種の計数は、有限集合の計数とは根本的に異なる。それは、集合に新しい要素を追加しても、元の集合との全単射性の可能性が排除されないため、必ずしも集合のサイズが大きくなるわけではないという点である。例えば、すべての整数（負の数を含む）の集合は自然数全体の集合と全単射性を持つことができ、また、すべての有理数有限列の集合のように一見はるかに大きい集合でさえも、依然として（あくまでも）可算無限である。しかしながら、実数全体の集合のように、自然数との全単射性を持つには「大きすぎる」ことが示される集合もあり、このような集合は「可算でない」集合と呼ばれる。互いに一対一である集合は、同じ濃度を持つと言われ、最も一般的な意味では、集合を数えることは、その濃度を決定することを意味すると解釈できる。それぞれの自然数によって与えられる濃度の他に、無限の濃度の階層が存在するが、そのような濃度は通常の数学（つまり、可能な濃度を明示的に研究する集合論の外側）ではごくわずかしか現れない。

有限集合を数えることは、主に有限集合を対象にしていますが、数学においてさまざまな用途があります。重要な原理の 1 つは、2 つの集合XとY が同じ有限個の要素を持ち、関数f : X → Yが単射であることがわかっている場合、これはまた射影的であり、逆もまた成り立つということです。関連する事実は鳩の巣原理として知られており、2 つの集合XとYが有限個の要素nとmを持ち、 n > mである場合、任意の写像f : X → Yは単射ではない(したがって、 fがYの同じ要素に送るXの 2 つの異なる要素が存在する) と述べています。これは前の原理から導かれます。なぜなら、 fが単射であれば、m個の要素を持つXの厳密な部分集合Sへの制限も単射になるため、この制限は射影的になり、 Sの外部のX内のxに対してf ( x ) は制限の像にあってはならないという事実と矛盾するからです。同様の数え上げの議論により、明示的に例を挙げなくても特定のオブジェクトの存在を証明できます。無限集合の場合、例を挙げることが不可能な状況でもこれは適用できます。

列挙的組合せ論の領域は、有限集合の要素の数を、実際に数えることなく計算することを扱います。後者は通常不可能です。なぜなら、任意の自然数nに対する{1, 2, ..., n }の順列の集合など、有限集合の無限族が一度に考慮されるからです。

参照

参考文献

  1. ^数学史入門（第6版）ハワード・イヴス著（1990年）p.9
  2. ^ 「初期の人類の計数道具」 . Math Timeline . 2018年4月26日閲覧。
  3. ^メイシー、サミュエル・L. (1989). 『進歩のダイナミクス：時間、方法、そして尺度』 アトランタ、ジョージア州: ジョージア大学出版局. p. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8。
  4. ^ a bエヴァンス、ジェームズ (1998). 「4」 . 『古代天文学の歴史と実践』 . オックスフォード大学出版局. p. 164. ISBN 019987445X。
  5. ^ 「議会向け法案の起草」 gov.uk議会顧問室。2020年6月18日。見出し8を参照してください。
  6. ^ Butterworth, B. , Reeve, R. , Reynolds, F. , & Lloyd, D. (2008). 言葉の有無にかかわらず数的思考：オーストラリア先住民の子どもの証拠. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(35), 13179–13184.
  7. ^ Gordon, P. (2004). 「言葉を使わない数的認知：アマゾニアからの証拠」Science, 306, 496–499.
  8. ^ Fuson, KC (1988). 「子どもの数え方と数の概念」ニューヨーク：Springer–Verlag.
  9. ^ Le Corre, M., & Carey, S. (2007). 「1、2、3、4、それ以上はなし：言語的計数原理の概念的源泉の探究」認知研究, 105, 395–438.
  10. ^ Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, EM, Carey, S. (2006). 計数原理の獲得における能力／遂行能力論争の再考. 認知心理学, 52(2), 130–169.
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Counting&oldid=1336241810」より取得