リーマン和

曲線の下の面積を近似する4つの方法。左法と右法は、それぞれ各小区間の左端と右端を用いて近似値を求めます。上法と下法は、それぞれ各小区間の最大値と最小値の端点を用いて近似値を求めます。小区間が左上から右下に向かって半分に減っていくにつれて、合計値は収束します。

数学において、リーマン和とは、有限和による積分の近似の一種です。19世紀のドイツの数学者ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられました。非常に一般的な応用の一つは数値積分、すなわちグラフ上の関数や直線の面積を近似することです。この分野では、リーマン和は長方形則とも呼ばれます。また、曲線の長さやその他の近似にも適用できます。

合計は、測定対象領域と相似な領域を形成する形状（長方形、台形、放物線、または立方体など、場合によっては無限小）に領域を分割し、それぞれの形状の面積を計算し、最後にこれらの小さな領域をすべて加算することによって計算されます。このアプローチは、微積分の基本定理によって閉形式の解を求めることが容易でない場合でも、定積分の数値近似値を求めるために使用できます。

小さな図形で囲まれた領域は通常、測定対象領域と全く同じ形状ではないため、リーマン和は測定対象領域の面積と異なります。この誤差は、領域をより細かく分割し、より小さな図形を用いることで軽減できます。図形が小さくなるにつれて、和はリーマン積分に近づきます。

意味

を実数 の閉区間上で定義された関数とし、の分割として、 つまり となる。上のの分割による リーマン和は、 およびとして定義される 。^{[ 1 ]} のどの を選択するかによって、異なるリーマン和が得られる可能性がある。結局のところ、関数がリーマン積分可能で、被加数の差または幅がゼロに近づく場合、これは問題にならない。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

リーマン和の種類

異なるタイプのリーマン和を与える 具体的な選択肢:${\displaystyle x_{i}^{*}}$

• すべてのiに対して、この方法は左則^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、左リーマン和を与える。${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$
• すべてのiに対して、この方法は正しい規則^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、正しいリーマン和を与える。${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$
• すべてのiに対して、この方法は中点則^{[ 2 ] [ 3 ]}であり、中位のリーマン和を与える。${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$
• （つまり、を超えるの上限）の場合、この方法は上則であり、上リーマン和または上ダルブー和を与えます。${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$
• （つまり、上のfの最小値）の場合、この方法は下側の規則であり、下側のリーマン和または下側のダルブー和を与えます。${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$

これらのリーマン和法はすべて、数値積分を行うための最も基本的な方法の一つです。大まかに言えば、関数がリーマン積分可能であるとは、分割が「どんどん細かくなる」につれてすべてのリーマン和が収束することを意味します。

リーマン和として導出されるわけではありませんが、左右のリーマン和の平均をとることは台形則であり、台形和を与えます。これは、加重平均を用いて積分を近似する非常に一般的な方法のうち、最も単純なものの一つです。複雑なものとしては、シンプソン則とニュートン・コーツの公式が挙げられます。

与えられた分割上の任意のリーマン和（つまり、との間の任意の選択に対して）は、下側のダルブー和と上側のダルブー和の間に含まれる。これはダルブー積分の基礎となり、これは最終的にリーマン積分と等価である。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

リーマン和法

4つのリーマン和法は、通常、等しい大きさの部分区間を用いるのが最も効果的である。したがって、区間[ a , b ]は、それぞれの長さが ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}$$

パーティション内のポイントは $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

左ルール

4つの部分区間を用いた[0, 2]上のx↦x3の左^リーマン和

左ルールでは、関数は部分区間の左端における値で近似されます。これにより、底辺Δ x、高さf ( a + i Δ x )の複数の長方形が得られます。これをi = 0, 1, ..., n − 1について行い、得られた面積を合計すると、次の式が得られます 。$${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

左リーマン和は、fがこの区間で単調減少する場合には過大評価となり、単調増加する場合には過小評価となる。この式の誤差は となる 。 ここでは区間における の絶対値の最大値である。$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

正しいルール

4つの部分区間を用いた[0, 2]上のx↦x3の右^リーマン和

右則の場合、関数は部分区間の右端における値で近似されます。これにより、底辺Δ x、高さf ( a + i Δ x )の長方形が複数生成されます。これをi = 1, ..., nについて行い、得られた面積を合計すると、 次の式が得られます。$${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

右リーマン和は、fが単調減少 の場合は過小評価となり、単調増加の場合は過大評価となります。この式の誤差は となります。 ここでは区間 における の絶対値の最大値です。$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

中点ルール

4つの部分区間を用いた[0, 2]上の^x↦x3の中リーマン和

中点則では、関数は部分区間の中点における値で近似されます。最初の部分区間ではf ( a + Δ x /2) 、次の部分区間ではf ( a + 3Δ x /2)となり、これをf ( b − Δ x /2)まで繰り返します。得られた面積を合計すると、 $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

この式の誤差は、 区間における の絶対値の 最大値です。この誤差は台形和の誤差の半分です。したがって、中位リーマン和はリーマン和への最も正確なアプローチです。$${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

一般化された中点ルール

一般化された中点則の式は、拡張中点積分とも呼ばれ、次のように与えられます。 ここで、 は区間の数であり、導関数を表します。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{k=1}^{n}{\sum _{m=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2n\right)^{2m+1}}\left({2m+1}\right)!}}f^{(2m)}\left({\frac {k-1/2}{n}}\right)}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f^{(2m)}}$

区間 上で定義された関数の積分はとなる。 したがって、 と仮定することで、この一般化された中点積分公式を適用することができる。この公式は、被積分関数が高度に振動する関数である 場合の数値積分に特に有効である。${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.}$$ ${\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

台形則

4つの部分区間を用いた[0, 2]上のx↦x3の台形^和

台形則の場合、関数は部分区間の左右の端点における値の平均で近似されます。平行辺b ₁とb ₂、高さhの台形の面積公式を用い、得られた面積を合計すると、 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$ $${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

この式の誤差は、 の絶対値の最大値で あるとなります。 $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f''(x)}$

関数の台形和で得られる近似値は、その関数の左側の和と右側の和の平均と同じです。

統合による接続

領域 上の1次元リーマン和において、部分区間の最大サイズがゼロに近づく（つまり、部分区間のノルムの極限がゼロに近づく）と、一部の関数ではすべてのリーマン和が同じ値に収束する。この極限値が存在する場合、それは関数の領域上の定リーマン積分として定義される。 ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

有限サイズの領域において、部分区間の最大サイズがゼロに縮小すると、部分区間の数は無限大になります。有限分割の場合、リーマン和は常に極限値の近似値となり、この近似値は分割が細かくなるほど向上します。以下のアニメーションは、部分区間の数を増やす（最大部分区間サイズを小さくする）ことで、曲線の下の「面積」をより良く近似できることを示しています。

• 
  左リーマン和
• 
  右リーマン和
• 
  中位リーマン和

ここでの赤い関数は滑らかな関数であると想定されているため、部分区間の数が無限大になると、3 つのリーマン和はすべて同じ値に収束します。

例

右リーマン和とx ↦ x ²の積分との比較。${\textstyle [0,2]}$

曲線y = x ²の下の面積を[0, 2]にわたって視覚的に表したもの。原始微分を用いると、この面積は となる。${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$

右リーマン和を用いて、曲線y = x ²の [0, 2] における面積を近似します。関数は単調増加であるため、右リーマン和は常に和の各項が寄与する面積を過大評価します（そして最大限に過大評価します）。

x ↦ x ²の右リーマン和の値を で割った値。長方形の数が増えるにつれて、 の正確な面積に近づきます。${\textstyle [0,2]}$ ${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$

たとえば、曲線y = x ²上の [0, 2] の下の面積は、リーマン法を使用して手順的に計算できます。

まず、区間[0, 2]をn個の部分区間に分割し、それぞれの部分区間の幅を とする。これらはリーマン長方形（以下、「ボックス」）の幅である。正しいリーマン和を用いるため、ボックスのx座標の順序は となる。したがって、ボックスの高さの順序は となる。重要な事実として、 、 、 である。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$ ${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}=2}$

各ボックスの面積は、したがってn番目の右リーマン和は次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

n → ∞の極限を考えると、ボックスの数が増えるにつれて、近似値は曲線の下の面積の実際の値に近づくことがわかります。したがって、 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

この方法は、より機械的な方法で計算された定積分と一致します。 $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

関数は区間全体で連続かつ単調増加であるため、右リーマン和は積分を最も過大評価します（一方、左リーマン和は積分を最も過小評価します）。この事実は図から直感的に明らかであり、関数の性質が積分の推定精度をどのように決定するかを示しています。右リーマン和と左リーマン和は単純ですが、台形則やシンプソンの定理といったより高度な積分推定手法に比べて精度が低い場合が多くあります。

例の関数には簡単に見つけられる原始導関数があるため、リーマン和による積分の推定は主に学術的な演習です。ただし、すべての関数に原始導関数があるわけではないため、和による積分の推定が実用上重要であることを覚えておく必要があります。

高次元

リーマン和の基本的な考え方は、領域を分割によって複数の部分に「分割」し、各部分の「大きさ」にその部分における関数の取る値を乗じ、それらの積をすべて合計することです。これを一般化することで、2次元以上の領域上の関数に対してもリーマン和を求めることができます。

直感的には、領域を分割するプロセスは簡単に理解できますが、領域をどのように分割するかという技術的な詳細は、1次元の場合よりもはるかに複雑になり、領域の幾何学的形状の側面が関係します。^{[ 4 ]}

2次元

2次元では、領域はとなるような複数の2次元セルに分割される。各セルは で表される「面積」を持つと解釈できる。^{[ 5 ]} 2次元リーマン 和は となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle \Delta A_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}$

三次元

3次元では、領域はとなるように複数の3次元セルに分割されます。各セルは で表される「体積」を持つと解釈できます。3次元リーマン和は^{[ 6 ]} で、 となります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}$

任意の次元数

高次元リーマン和も同様のパターンに従います。n次元リーマン和は であり、つまりn次元セル内のn次元体積 を持つ点です。 $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$

一般化

高い一般性において、リーマン和は、 が集合に含まれる任意の点を表し、 が基礎集合上の測度を表す、 と書き表すことができます。大まかに言えば、測度とは集合の「大きさ」、この場合は集合 の大きさを与える関数です。これは、1次元では長さ、2次元では面積、3次元では体積など、多くの場合に解釈されます。 $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{i}}$

参照

• 反微分
• オイラー法と中点法、微分方程式を解くための関連法
• ルベーグ積分
• リーマン積分、分割が無限に細かくなるにつれてリーマン和が極限に達する
• シンプソンの定理は、基本的なリーマン和や台形定理よりも強力な数値計算法である。
• 台形則、左右のリーマン和の平均に基づく数値計算法

参考文献

1. ヒューズ・ハレット, デボラ; マッカラム, ウィリアム・G.; 他 (2005).微積分学（第4版）. Wiley. p. 252.(定義には多くの同等のバリエーションがありますが、この参照はここで示されているものと非常によく似ています。)
2. Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (4th ed.). Wiley. p. 340.これまでに、リーマン和を使用して積分を推定する方法が3つあります。1.左ルールでは、各サブ区間の左端点を使用します。2.右ルールでは、各サブ区間の右端点を使用します。3.中点ルールでは、各サブ区間の中点を使用します。
3. Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002).図形、数値、記号の観点から見た微積分学（第2版）. p. M-33.左則、右則、中点則による近似和はすべてこの定義に適合する。
4. スウォコウスキー, アール・W. (1979).微積分学と解析幾何学（第2版）. ボストン, MA: プリンドル, ウェーバー & シュミット. pp.  821– 822. ISBN 0-87150-268-2。
5. Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002).図形・数値・記号論的観点からの微積分（第2版）. p. M-34.平面領域Rを、おそらく大きさや形が異なるm個の小領域R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _mに分割する。部分領域R _iの「大きさ」は、その面積Δ A _iと表される。
6. スウォコウスキー, アール・W. (1979).微積分学と解析幾何学（第2版）. ボストン, MA: プリンドル, ウェーバー&シュミット. pp.  857– 858. ISBN 0-87150-268-2。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W. 「リーマン・サム」。マスワールド。
• リーマン和の収束を示すシミュレーション