1 22 多面体

1 22	修正された1 22	複直線化 1 22
[説明が必要] 三重整流化 1 22	切り捨て 1 22
2 21	修正2 21
E 6 コクセター平面における直交投影

6次元幾何学において、1 ₂₂多面体は、 E ₆群から構成される一様多面体である。これは、1912年にエル・エルテが半正則多面体の一覧表に初めて掲載され、72個の頂点を持つことから V ₇₂と名付けられた。^[1]

コクセター記号は1 ₂₂で、分岐コクセター・ディンキン図を表し、1ノード列の端に単一の環を持ちます。1 _{22には、 1 22}の元上の位置点によって構成される2つの平行化があります。平行化された 1 ₂₂は、 1 ₂₂の中辺上の点によって構成されます。双平行化された 1 ₂₂は、 1 ₂₂の三角形の面心上の点によって構成されます。

これらの多面体は、 6 次元の39 個の凸均一多面体の族に属し、均一多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図の環のすべての順列によって定義されます。。

1₂₂多面体

1 22多面体
種類	一様6次元多面体
家族	1k2多面体
シュレーフリ記号	{3,3 ^2,2 }
コクセター記号	1 22
コクセター・ディンキン図	または
5面体	54: 27 1 21 27 1 21
4面	702: 270 1 11 432 1 20
細胞	2160: 1080 1 10 1080 {3,3}
面	2160 {3}
エッジ	720
頂点	72
頂点図形	双平行化5単体: 0 22
ペトリー多角形	12角形
コクセター群	E 6 , [[3,3 ^2,2 ]], 位数 103680
性質	凸、同位体

1⁻²⁻多面体は72個の頂点と54個の5-2立方面を含みます。双平行化された5-単体頂点図形を持ちます。その72個_の頂点は単純リー群E⁻²のルートベクトルを表します

別名

• ペンタコンタテトラペトン（略称：mo） - 54面体ポリペトン（ジョナサン・バウワーズ）^[2]

画像

コクセター平面 正投影図法

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1,2)	(1,3)	(1,9,12)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [[5]] = [10]	A3 / D3 [4]
(1,2)	(2,3,6)	(1,2)	(1,6,8,12)

構成

これは、6次元空間における 6つの超平面鏡の集合上にウィトフ構成によって作成されます

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

長さ2の枝のいずれかの節点を削除すると、5デミキューブ、1 ₂₁が残ります.

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、双平行化5単体、0 ₂₂、.

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[3]

E 6		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5		k の数字	ノート
A 5		（）	f 0	72	20	90	60	60	15	15	30	6	6	r{3,3,3}	E 6 / A 5 = 72*6!/6! = 72
A 2 A 2 A 1		{ }	f 1	2	720	9	9	9	3	3	9	3	3	{3}×{3}	E 6 /A 2 A 2 A 1 = 72*6!/3!/3!/2 = 720
A 2 A 1 A 1		{3}	f 2	3	3	2160	2	2	1	1	4	2	2	s{2,4}	E 6 /A 2 A 1 A 1 = 72*6!/3!/2/2 = 2160
A 3 A 1		{3,3}	f 3	4	6	4	1080	*	1	0	2	2	1	{ }∨( )	E 6 /A 3 A 1 = 72*6!/4!/2 = 1080
				4	6	4	*	1080	0	1	2	1	2
A 4 A 1		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	0	216	*	*	2	0	{ }	E 6 /A 4 A 1 = 72*6!/5!/2 = 216
				5	10	10	0	5	*	216	*	0	2
D 4		h{4,3,3}		8	24	32	8	8	*	*	270	1	1		E 6 / D 4 = 72*6!/8/4! = 270
D 5		h{4,3,3,3}	f 5	16	80	160	80	40	16	0	10	27	*	（）	E 6 / D 5 = 72*6!/16/5! = 27
				16	80	160	40	80	0	16	10	*	27

関連する複素多面体

複素多面体（3⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻）の18角形対称性を持つAut(E6)コクセター平面への正射影。72_個の頂点、216個の3辺、54個の3⁻⁻⁻面を持ちます

正複素多面体 ₃ {3} ₃ {4} ₂、は、4次元空間における1 ₂₂多面体として実表現される。72個の頂点、216個の3次元辺、54個の3{3}3面を持つ。その複素鏡映群は₃ [3] ₃ [4] ₂ 、位数1296である。半対称な準正則構成は、${\displaystyle \mathbb {C}^{2}}$ ヘッセ多面体の修正として、[ ^4]

関連する多面体とハニカム

半正多面体2 ≒ ₂₁とともに、これは6次元の39個の凸一様多面体の族の1つであり、一様多面体の面と頂点図形で構成され、このコクセター・ディンキン図の環のすべての順列によって定義されます。

n次元の1k2図形
空間	有限						ユークリッド	双曲的
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター 群	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	東7	東8	E 9 = = E 8 ^+${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ^++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称性 （順序）	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[[3 ^2,2,1 ]]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
グラフ							-	-
名前	1 −1,2	1 02	1 12	122	1 32	1 42	1 52	1 62

幾何学的折り畳み

1 ₂₂は、コクセター・ディンキン図の幾何学的折り畳みE6 → F4によって24胞体と関連しています。E6 は6次元の1 ₂₂に、F4 は4次元の 24 胞体に対応します。これはコクセター平面射影で確認できます。24胞体の24頂点は、 1 ₂₂に見られるのと同じ2つの環に投影されます

E6/F4 コクセタープレーン
1 22	24セル
D4/B4 コクセタープレーン
1 22	24セル

テッセレーション

この多面体は6次元空間2 ₂₂の一様モザイクの頂点図形である。。

修正1₂₂多面体

修正された1 22
種類	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	2r{3,3,3 ^2,1 } r{3,3 ^2,2 }
コクセター記号	0 221
コクセター・ディンキン図	または
5面体	126
4面	1566
細胞	6480
面	6480
エッジ	6480
頂点	720
頂点図形	3-3 デュオプリズム
ペトリー多角形	12角形
コクセター群	E 6 , [[3,3 ^2,2 ]], 位数 103680
性質	凸状

平行化された1 _≒2≒多面体（0≒ _2≒1とも呼ばれる）は、 E6ハニカム格子（E6格子の双対）のボロノイセルとして6次元空間をモザイク状に分割することができます。^[5]

別名

• 双平行化2_・21多面体
• 平行化五面体四面体（頭字語：ram） - 平行化54面体多面体（ジョナサン・バウアーズ）^[6]

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされています

コクセター平面 正投影図法

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

構成

その構築はE6_群に基づいており、この多面体を表す環状コクセター・ディンキン図から情報を抽出できます。

短枝の環を除去すると、双直化5単体が残る。。

2長枝のいずれかの環を除去すると、5-オルソプレックスの交互構造が残る：t ₂ (2 ₁₁ )、。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接する環を環状にすることで決定される。これにより、3-3 双プリズム prism、{3}×{3}×{}、となる。。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^{[3] [6]}

E 6		k面	f k	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4					f 5			k の数字	ノート
A 2 A 2 A 1		（）	f 0	720	18	18	18	9	6	18	9	6	9	6	3	6	9	3	2	3	3	{3}×{3}×{ }	E 6 /A 2 A 2 A 1 = 72*6!/3!/3!/2 = 720
A 1 A 1 A 1		{ }	f 1	2	6480	2	2	1	1	4	2	1	2	2	1	2	4	1	1	2	2	{ }∨{ }∨( )	E 6 /A 1 A 1 A 1 = 72*6!/2/2/2 = 6480
A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	4320	*	*	1	2	1	0	0	2	1	1	2	0	1	2	1	蝶形骨	E 6 /A 2 A 1 = 72*6!/3!/2 = 4320
				3	3	*	4320	*	0	2	0	1	1	1	0	2	2	1	1	1	2
A 2 A 1 A 1				3	3	*	*	2160	0	0	2	0	2	0	1	0	4	1	0	2	2	{ }∨{ }	E 6 /A 2 A 1 A 1 = 72*6!/3!/2/2 = 2160
A 2 A 1		{3,3}	f 3	4	6	4	0	0	1080	*	*	*	*	2	1	0	0	0	1	2	0	{ }∨( )	E 6 /A 2 A 1 = 72*6!/3!/2 = 1080
A 3		r{3,3}		6	12	4	4	0	*	2160	*	*	*	1	0	1	1	0	1	1	1	{3}	E 6 / A 3 = 72*6!/4! = 2160
A 3 A 1				6	12	4	0	4	*	*	1080	*	*	0	1	0	2	0	0	2	1	{ }∨( )	E 6 /A 3 A 1 = 72*6!/4!/2 = 1080
		{3,3}		4	6	0	4	0	*	*	*	1080	*	0	0	2	0	1	1	0	2
		r{3,3}		6	12	0	4	4	*	*	*	*	1080	0	0	0	2	1	0	1	2
A 4		r{3,3,3}	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	432	*	*	*	*	1	1	0	{ }	E 6 / A 4 = 72*6!/5! = 432
A 4 A 1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	216	*	*	*	0	2	0		E 6 /A 4 A 1 = 72*6!/5!/2 = 216
A 4				10	30	10	20	0	0	5	0	5	0	*	*	432	*	*	1	0	1		E 6 / A 4 = 72*6!/5! = 432
D 4		{3,4,3}		24	96	32	32	32	0	8	8	0	8	*	*	*	270	*	0	1	1		E 6 / D 4 = 72*6!/8/4! = 270
A 4 A 1		r{3,3,3}		10	30	0	20	10	0	0	0	5	5	*	*	*	*	216	0	0	2		E 6 /A 4 A 1 = 72*6!/5!/2 = 216
A 5		2r{3,3,3,3}	f 5	20	90	60	60	0	15	30	0	15	0	6	0	6	0	0	72	*	*	（）	E 6 / A 5 = 72*6!/6! = 72
D 5		2r{4,3,3,3}		80	480	320	160	160	80	80	80	0	40	16	16	0	10	0	*	27	*		E 6 / D 5 = 72*6!/16/5! = 27
				80	480	160	320	160	0	80	40	80	80	0	0	16	10	16	*	*	27

切頂1₂₂多面体

切り捨て 1 22
種類	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	t{3,3 ^2,2 }
コクセター記号	t(1 2 2 )
コクセター・ディンキン図	または
5面体	72+27+27
4面	32+216+432+270+216
細胞	1080+2160+1080+1080+1080
面	4320+4320+2160
エッジ	6480+720
頂点	1440
頂点図形	( )v{3}x{3}
ペトリー多角形	12角形
コクセター群	E 6 , [[3,3 ^2,2 ]], 位数 103680
性質	凸状

別名

• 切頂_1/22多面体（頭字語：tim）^[7]

構成

その構築はE6_群に基づいており、この多面体を表す環状コクセター・ディンキン図から情報を抽出できます。

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされています

コクセター平面 正投影図法

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

複直線化1₂₂多面体

双平行化1 22多面体
種類	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	2r{3,3 ^2,2 }
コクセター記号	2r(1 22 )
コクセター・ディンキン図	または
5面体	126
4面	2286
細胞	10800
面	19440
エッジ	12960
頂点	2160
頂点図形
コクセター群	E 6 , [[3,3 ^2,2 ]], 位数 103680
性質	凸状

別名

• 双面体 2 ₂₁
• 二重ペンタコンタテトラペトン（バーム）（ジョナサン・バウアーズ）^[8]

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされています

コクセター平面 正投影図法

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

三次元化1₂₂多面体

三次元化1 22多面体
種類	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	3r{3,3 ^2,2 }
コクセター記号	3r(1 22 )
コクセター・ディンキン図	または
5面体	558
4面	4608
細胞	8640
面	6480
エッジ	2160
頂点	270
頂点図形
コクセター群	E 6 , [[3,3 ^2,2 ]], 位数 103680
性質	凸状

別名

• トリカンテレーション 2 ₂₁
• 三整流化ペンタコンタテトラペトン（頭字語：トリム、旧称：カカム、トラム、マク）（ジョナサン・バウアーズ）^[9]

参照

• E6多面体のリスト

注釈

1. Elte, 1912
2. クリッツィング、(o3o3o3o3o *c3x - mo)
3. Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gosset figures in six, seven, and eight dimensions, pp. 202–203
4. Coxeter, HSM, Regular Complex Polytopes , 第2版, Cambridge University Press, (1991). p.30 and p.47
5. E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin
6. クリッツィング、(o3o3x3o3o *c3o - ラム)
7. クリッツィング、(o3o3x3o3o *c3x - tim)
8. クリッツィング、(o3x3o3x3o *c3o - barm)
9. クリッツィング、(x3o3o3o3x *c3o - トリム)

参考文献

• エルテ、EL（1912）『超空間の半正則多面体』フローニンゲン：フローニンゲン大学
• HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文24）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45], p. 334 (図3.6a) Peter mcMullen著：（12角形ノード-エッジグラフ、1 ₂₂）
• Klitzing, Richard. 「頭字語付き 6D 均一多面体 (ポリペタ)」o3o3o3o3o *c3x - mo、o3o3x3o3o *c3o - ram、o3o3x3o3o *c3x - tim、o3x3o3x3o *c3o - barm、x3o3o3o3x *c3o - トリム

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	A n	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	正方形	p角形	六角形	五角形
一様多面体	四面体	八面体•立方体	正十二面体		正二十面体
均一多面体	ペンタコロン	16細胞・四次元体	二次元体	24細胞	120細胞・600細胞
均一な5次元多面体	5-単体	5-正方体・5-立方体	5-半立体
一様6次元多面体	6次元単体	6次元正多面体・6次元立方体	6次元半立方体	122 • 2 21
一様7次元多面体	7-単体	7-正複合体・7-立方体	7-半立体	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8次元単体	8次元正多面体・8次元立方体	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9次元単体	9次元正多面体・9次元立方体	9次元半立方体
一様10次元多面体	10次元単体	10次元正多面体・10次元立方体	10デミキューブ
一様n多面体	n単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算