単語（群論）

群論において、ワードとは群の元とその逆元を記述した積のことである。例えば、x、y、zが群Gの元であるとすると、xy、z ⁻¹ xzz、y ⁻¹ zxx ⁻¹ yz ⁻¹は集合 { x、  y、  z } に含まれるワードである。2つの異なるワードがGにおいて同じ値に評価されることもある[ ^{1 ]}し、さらにはすべての群において同じ値に評価されることもある [ 2 ]。^{ワードは自由群}と表示の 理論において重要な役割を果たし、組合せ群論における中心的な研究対象である。

定義

Gを群とし、S をGの部分集合とする。Sに含まれる単語とは、以下の形式の 表現である。

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

ここで、 s ₁ ,..., s _nはSの元であり、生成元と呼ばれ、各ε _iは±1です。nは語の 長さとして知られています。

Sの各ワードはGの元、すなわち式の積を表す。慣例により、一意の^{[ 3 ]}単位元は空ワード（長さ0の一意のワード） で表すことができる。

表記

単語を書くときは、略語として指数表記法を使うのが一般的です。例えば、

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

次のように書くことができる。

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

この後者の表現は単語そのものではなく、単に元の表現を短縮したものにすぎません。

長い単語を扱う場合、 Sの元の逆元を表すために上線を使うと便利です。上線表記を用いると、上記の単語は次のように書きます。

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

単語数を減らす

生成子が自身の逆元（ xx ⁻¹またはx ⁻¹ x ）の隣に現れる単語は、冗長なペアを省略することで簡略化できます。

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

この操作は縮約と呼ばれ、単語で表される群の要素は変化しません。縮約は、群の公理から導かれる関係（以下で定義）と考えることができます。

簡約語とは、冗長なペアを含まない単語のことです。任意の単語は、一連の簡約を実行することで簡約語に簡略化できます。

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

結果は、削減が実行される順序に依存しません。

単語が循環的に縮小される のは、単語の すべての循環順列が縮小される場合のみです。

単語の操作

2つの単語の積は連結によって得られます。

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

2 つの単語が短縮されても、結果は短縮されない場合があります。

単語の逆は、各ジェネレータを反転し、要素の順序を逆にすることで得られ ます。

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

単語とその逆単語の積は、空の単語に簡約できます。

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

活用によってジェネレータを単語の先頭から末尾に移動することができます。

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

グループの生成集合

群Gの部分集合Sは、 Gのすべての要素がS内の単語で表せる場合、生成集合と呼ばれます。

S がGの生成集合でない場合、 S内の単語で表される元の集合はGの部分群であり、Sによって生成されるGの部分群と呼ばれ、通常は と表記される。これは、 Sの元を含むGの最小の部分群である。 ${\displaystyle \langle S\rangle }$

正規形

生成集合Sを持つ群Gの正規形は、 Gの各元に対してSの1つの簡約語を選択することである。例えば、

• 単語 1、i、j、ij は、 S = { i、   j }のクラインの 4 元群の正規形であり、1 は空の単語 (群の単位元) を表します。
• 単語 1、r、r ²、...、r ^n-1、s、sr、...、sr ^{n-1 は、上記のように}S = { s、   r } および 1を持つ二面体群Dih _nの正規形です。
• m,n  ∈  Zに対してx ^m y ⁿという形式の語の集合は、巡回群⟨ x ⟩と⟨ y ⟩（S = { x、   y }）の直積の正規形である。
• S内の簡約語の集合は、 S上の自由群の唯一の正規形です。

関係とプレゼンテーション

S が群Gの生成集合である場合、関係とはS内の単語のペアのうち、Gの同じ要素を表すもののことです。これらは通常、方程式として表されます。例えば、関係の 集合 は、 G内のすべての関係が群 の公理を用いてのそれらから論理的に導かれる場合、 Gを定義します。Gの表現はのペア です。ここで、SはGの生成集合であり、は関係の定義集合です。 ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

例えば、クラインの4群は次のように定義できる。

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

ここで、1 は単位元を表す空の単語を示します。

無料グループ

Sが任意の集合である場合、S上の自由群は、表示 を持つ群である。つまり、S上の自由群は、 Sの元によって生成される群であり、追加の関係はない。自由群のどの元も、 Sの被約語として一意に表すことができる。 ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$

参照

• 文章題（数学）
• グループ向けの文章題

注記

1. 例えば、正方対称群における_{f d} r ₁と r ₁ f _c
2. 例えば、 xyとxzz ⁻¹ y
3. 単位元と逆元の一意性

参考文献

• エプスタイン, デイビッド;キャノン, JW ; ホルト, DF; レヴィ, SVF;パターソン, MS ;サーストン, WP (1992). Word Processing in Groups . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0。。
• Novikov, P.S. (1955). 「群論における単語問題のアルゴリズム的不可能性について」Trudy Mat. Inst. Steklov (ロシア語). 44 : 1– 143.
• ロビンソン、デレク・ジョン・スコット (1996). 『群論講座』ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94461-3。
• ロットマン、ジョセフ・J. (1995).群論入門. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94285-8。
• ポール・Ｅ・シュップ;リンドン、ロジャー C. (2001)。組み合わせ群理論。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-41158-5。
• ソリター、ドナルド、マグナス、アブラハム (2004).組合せ群論：生成元と関係による群の表現. ニューヨーク：ドーバー. ISBN 0-486-43830-9。
• スティルウェル、ジョン（1993）『古典位相幾何学と組合せ群論』ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97970-0。