削減基準

量子情報理論において、縮約基準とは、混合状態が分離可能であるために満たさなければならない必要条件である。言い換えれば、縮約基準は分離可能性基準である。これは[1]で初めて証明され 、1999年に独立に定式化された[2]。縮約基準の違反は、問題の状態の蒸留可能性と密接に関連している。 [1]

詳細

H 1とH 2 をそれぞれ有限次元nとmのヒルベルト空間とする。L ( H i )はH iに作用する線型作用素の空間を表す。状態空間がテンソル積である二部量子系を考える。

H = H 1 ⊗ H 2 . {\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}.}

（正規化されていない）混合状態ρは、 Hに作用する正の線形演算子（密度行列）です。

線型写像 Φ: L ( H 2 ) → L ( H 1 ) は、正の要素の錐を保存する場合、つまりAが正であればΦ ( A ) も正である場合には、正であるといわれます。

正写像とエンタングルメント証拠との間の1対1の対応から、状態ρがエンタングルメントされている場合、かつ、その場合 のみ、正写像Φが存在し、

( I ⊗ Φ ) ( ρ ) {\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )}

は正ではない。したがって、ρが分離可能であれば、すべての正の写像Φに対して、

( I ⊗ Φ ) ( ρ ) ≥ 0. {\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}

したがって、完全に正ではないが、すべての正写像Φは、このようにして分離可能性の必要条件を生じさせる。簡約基準は、この具体例である。

H 1 = H 2と仮定する。正写像 Φ: L ( H 2 ) → L ( H 1 ) を次のように 定義する。

Φ ( A ) = Tr ⁡ A − A . {\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {Tr} A-A.}

Φは正だが完全に正ではないことが知られている。したがって、混合状態ρが分離可能であるということは、

( I ⊗ Φ ) ( ρ ) ≥ 0. {\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}

直接計算すると、上記の式は次の式と同じであることがわかる。

I ⊗ ρ 1 − ρ ≥ 0 {\displaystyle I\otimes \rho _{1}-\rho \geq 0}

ここでρ 1はρの2番目の系に関する 偏微分である。双対関係

ρ 2 ⊗ I − ρ ≥ 0 {\displaystyle \rho _{2}\otimes I-\rho \geq 0}

同様の方法で得られる。縮約基準は上記の2つの不等式から構成される。

フレシェ境界との関連

上記の最後の 2 つの不等式は、 ρの下限値とともに、 量子フレシェ不等式、つまり分離可能な量子状態に成り立つ古典的なフレシェ確率的限界 の量子版と見ることができます。上限値は前述の、 であり、下限値は を伴う明らかな制約条件です。ここで、は適切な次元の単位行列です。下限値は[3]で得られています。: 定理 A.16 これらの限界値は分離可能な密度行列によって満たされますが、エンタングルメント状態はこれらの限界値 に違反する可能性があります。エンタングルメント状態は、最も強い古典的な依存性よりも強い確率的依存性を示し、実際にフレシェのような限界値に違反しています。また、これらの限界値のベイズ解釈が可能であることにも言及する価値があります。[3] I ⊗ ρ 1 ≥ ρ {\displaystyle I\otimes \rho _{1}\geq \rho } ρ 2 ⊗ I ≥ ρ {\displaystyle \rho _{2}\otimes I\geq \rho } ρ ≥ 0 {\displaystyle \rho \geq 0} ρ ≥ I ⊗ ρ 1 + ρ 2 ⊗ I − I {\displaystyle \rho \geq I\otimes \rho _{1}+\rho _{2}\otimes I-I} I {\displaystyle I}

参考文献

  1. ^ ab M. Horodecki and P. Horodecki (1999). 「蒸留プロトコルのクラスにおける分離可能性の縮減基準と限界」. Phys. Rev. A . 59 (6): 4206– 4216. arXiv : quant-ph/9708015 . Bibcode :1999PhRvA..59.4206H. doi :10.1103/PhysRevA.59.4206.
  2. ^ N. Cerf; et al. (1999). 「分離可能性の縮小基準」. Phys. Rev. A . 60 (2): 898– 909. arXiv : quant-ph/9710001 . Bibcode :1999PhRvA..60..898C. doi :10.1103/PhysRevA.60.898.
  3. ^ ab Benavoli, A.; Facchini, A.; Zaffalon, M. (2016年10月10日). 「量子力学：エルミート行列空間へのベイズ理論の一般化」. Physical Review A. 94 ( 4) 042106. arXiv : 1605.08177 . Bibcode :2016PhRvA..94d2106B. doi :10.1103/PhysRevA.94.042106. S2CID  19791149.
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