通常の測定

数学において、位相空間上の正則測度とは、あらゆる測定可能集合を上からは開測定可能集合で近似し、下からはコンパクト測定可能集合で近似できる 測度である。

意味

( X ,  T ) を位相空間とし、 Σ を X 上の σ-代数とする。μを( X , Σ )上の測度とする。Xの可測部分集合Aが内部正則であるとは、

μ（あ）＝すする{μ（F）∣F⊆あ、F コンパクトで測定可能}{\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ コンパクトかつ測定可能}}\}}

この性質は、言葉では「コンパクト集合による内部からの近似」と呼ばれることもあります。一部の著者[ 1 ] [ 2 ]は、タイトという用語を内部正則の同義語として使用しています。この用語の使用は、測度の族のタイト性と密接に関連しています。なぜなら、有限測度 μ が内部正則であるための必要十分条件は、すべてのε > 0に対して、 μ ( X \ K ) <  εを満たす Xのコンパクト部分集合Kが存在することです。これは、まさに測度のシングルトン集合 { μ } がタイトであるための条件です。

外正則であるとは、

μ（あ）＝無限大{μ（G）∣G⊇あ、G オープンで測定可能}{\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ 開いていて測定可能}}\}}

例

定期的な対策

外側は正規ではない内側は正規の尺度

  • 通常の位相が外部正則でない実数直線上の測度の例としては、任意の他の集合 に対して、、 となる測度が挙げられます。μ{\displaystyle \mu}μ（∅）＝0{\displaystyle \mu (\emptyset )=0}μ（{1}）＝0{\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}μ（あ）＝∞{\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}あ{\displaystyle A}
  • 任意のボレル集合の水平断面の（1次元）測度の和をその平面上のボレル測度に割り当てるものは、内部正則ではあるが外部正則ではない。これは、空でない開集合はすべて無限測度を持つためである。この例のバリエーションとして、ルベーグ測度を持つ実数直線の無数個のコピーの互いに素な和がある。
  • 内部正則、σ 有限、局所有限だが外部正則ではない局所コンパクト ハウスドルフ空間上のボレル測度の例は、 Bourbaki (2004、第 4 章、セクション 1 の演習 5) によって次のように与えられている。位相空間は、y軸で与えられる実平面の部分集合と、正の整数m、nを持つ点 (1/ n、m / n 2 ) を基礎集合として持つ。位相は次のように与えられる。単一の点 (1/ n、m / n 2 ) はすべて開集合である。点 (0、 y )の近傍の基底は、正の整数nに対して | v  −  y | ≤ | u | ≤ 1/ nとなる形式 ( u、v )のX内のすべての点からなるくさびで与えられる。この空間Xは局所コンパクトである。測度 μ は、y軸の測度を 0 とし、点 (1/ n , m / n 2 ) の測度を 1/ n 3とすることで与えられます。この測度は内部正則かつ局所有限ですが、 y軸を含む任意の開集合は測度無限大となるため、外部正則ではありません。μ{\displaystyle \mu}X{\displaystyle X}{0}×R{\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }

内部規則ではない外部規則尺度

  • μが前例の内部正則測度であり、 M がM ( S ) = inf U ⊇ S  μ ( U )で与えられる測度（ inf はボレル集合Sを含むすべての開集合にわたって取られる）である場合、Mは、強い意味での内部正則ではない局所コンパクト ハウスドルフ空間上の外部正則局所有限ボレル測度である。ただし、すべての開集合は内部正則であるため、これは弱い意味での内部正則である。測度Mとμは、すべての開集合、すべてのコンパクト集合、およびM が有限測度を持つすべての集合で一致する。y軸は無限のM測度を持つが、そのすべてのコンパクト部分集合は測度 0 を持つ。
  • 離散位相を持つ可測基数は、すべてのコンパクト部分集合が測度0となるようなボレル確率測度を持つため、この測度は外正則だが内正則ではない。可測基数の存在はZF集合論では証明できないが、（2013年現在）ZF集合論と整合していると考えられている。

内部正規でも外部正規でもない尺度

  • 開区間によって生成される位相を持つ、最初の非可算順序数Ωに最大で等しいすべての順序数の空間は、コンパクト・ハウスドルフ空間である。可算順序数の非有界閉部分集合を含むボレル集合に測度1を割り当て、その他のボレル集合に測度0を割り当てる測度は、内部正則でも外部正則でもないボレル確率測度である。

参照

参考文献

  1. ^ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005).計量空間と確率測度空間における勾配フロー. バーゼル：ETHチューリッヒ、ビルクハウザー出版. ISBN 3-7643-2428-7。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
  2. ^ Parthasarathy, KR (2005).計量空間における確率測度. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X。MR  2169627

参考文献

  • ビリングスリー、パトリック（1999年）『確率測度の収束』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 0-471-19745-9。
  • ブルバキ、ニコラス (2004)。統合 I .スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-41129-1。
  • Parthasarathy, KR (2005).計量空間における確率測度. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X。MR  2169627（第2章参照）
  • ダドリー、RM（1989）『実解析と確率』チャップマン＆ホール
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