定期的な延長

代数学の一分野である体論において、体拡大が 正則であるとは、kがLにおいて代数的に閉じている場合 （つまり、はLの元のk上の代数的集合）であり、Lがk上で可分である場合、または同値として、が の代数的閉包である場合（つまり、 はk上で線型的に互いに素である場合）に、体拡大が正則であるという。^{[1] [2]}${\displaystyle L/k}$ ${\displaystyle k={\hat {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle L\otimes _{k}{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L,{\overline {k}}}$

プロパティ

• 正則性は推移的である。F / EとE / Kが正則であれば、 F / Kも正則である。^[3]
• F / Kが正則であれば、 FとKの間の任意のEに対してE / Kも正則となる。^[3]
• 拡大L / kが正則となるのは、 k上有限生成のLのすべての部分体がk上正則となる場合のみである。^[2]
• 代数的に閉じた体の任意の拡大は正則である。^{[3] [4]}
• 拡張が正則となるのは、それが分離可能かつ主である場合に限ります。^[5]
• 体の純粋に超越的な拡張は正則です。

自己正規拡張

同様の概念として、体拡大はが整域であるとき自己正則であると言われる。自己正則拡大はkにおいて相対代数的に閉じている。^[6] しかし、自己正則拡大は必ずしも正則ではない。^[要出典]${\displaystyle L/k}$ ${\displaystyle L\otimes _{k}L}$

参考文献

1. フリード＆ジャーデン（2008）p.38
2. Cohn (2003) p.425
3. Fried & Jarden (2008) p.39
4. コーン（2003）p.426
5. フリード＆ジャーデン（2008）p.44
6. コーン（2003）p.427

• フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11 (第 3 改訂版)。スプリンガー・フェルラーグ。38 ～ 41ページ 。ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001。
• 永田正之 (1985). 可換体論：新版, 松花堂. (日本語) [1]
• コーン、PM (2003). 『基礎代数学：群、環、体』シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 1-85233-587-4. Zbl  1003.00001.
• A. ヴェイユ『代数幾何学の基礎』