ライデマイスターの動き
結び目図における同位体保存的局所変化の3つのタイプのうちの1つ
ライデマイスターの動き
タイプI タイプII タイプIII
修正ライデマイスター動作
タイプI'

数学の結び目理論の分野において、ライデマイスター移動とは、リンク図上の3つの局所移動のいずれかを指す。クルト・ライデマイスター （1927年）は、また独立にジェームズ・ワデル・アレクサンダーとガーランド・ベアード・ブリッグス（1926年）は、平面同位体を除いて、同じ結び目に属する2つの結び目図は、3つのライデマイスター移動の順序によって関連付けられることを実証した。 [1] [2]

それぞれの動きは図の小さな領域で行われ、3つのタイプのいずれかになります。[3]

  1. どちらの方向にもねじったり戻したりできます。
  2. 1 つのループを別のループの上に完全に移動します。
  3. 弦を交差点の上または下に完全に移動します。

図の他の部分は動きの描写には関係ありません。また、平面同位体によって描写が歪む可能性があります。動きの種類の番号は、関係するストランドの数に対応しています。例えば、タイプIIの動きは図の2つのストランドに作用します。

ライデマイスター移動が用いられる重要な文脈の一つは、結び目不変量の定義である。[4]結び目図において、ライデマイスター移動を適用しても変化しない性質を示すことで、不変量が定義される。ジョーンズ多項式を含む多くの重要な不変量は、この方法で定義することができる。

タイプIの手は、図のねじれに影響を与える唯一の手です。タイプIIIの手は、図の交差数を変えない唯一の手です。[5]

カービー計算のような応用では、結び目図の同値類が結び目ではなく枠で囲まれたリンクであることが求められるため、タイプIの動きを、反対向きのタイプIの動き2つからなる「修正タイプI」（タイプI'）の動きに置き換える必要がある。タイプI'の動きは、リンクの枠にも結び目図全体のねじれにも影響を与えない。[6]

Trace (1983) は、同じ結び目に対する 2 つの結び目図は、それらが同じwrithe 数とwine number を持つ場合のみ、タイプ II とタイプ III の動作のみを使用して関連付けられることを示した。[7]さらに、Östlund (2001)、Manturov (2004)、および Hagge (2006) の共同研究では、すべての結び目タイプに対して結び目図のペアが存在し、一方から他方へ向かう Reidemeister 動作のすべてのシーケンスでは、3 つのタイプの動作すべてを使用する必要があることがわかっている。[8] Alexander Coward は、等価なリンクを表すリンク図に対して、タイプ順に並べられた動作のシーケンスが存在することを実証した。最初にタイプ I の動作、次にタイプ II の動作、タイプ III、そしてタイプ II である。タイプ III の動作の前の動作は交差数を増やし、後の動作は交差数を減ら

Coward & Lackenby (2014) は、同じリンクの 2 つの図の間を通過するのに必要な Reidemeister 移動の数について、指数タワーの上限 (交差数に依存) が存在することを証明しました。[ 9]詳細には、を 2 つの図の交差数の合計とすると、上限は となり、 sのタワー(上部に1 つ) の高さは となります。 n {\displaystyle n} 2 2 2 。 。 n {\displaystyle 2^{2^{2^{.^{.^{n}}}}}} 2 {\displaystyle 2} n {\displaystyle n} 10 1 、 000 、 000 n {\displaystyle 10^{1,000,000n}}

Lackenby (2015) は、アンクノットの図式を標準アンクノットに変換するために必要なライデマイスター移動回数に、交差数に依存する多項式上限が存在することを証明した。具体的には、交差を含む任意の図式について、上限は である。[10] c {\displaystyle c} （ 236 c ） 11 {\displaystyle (236c)^{11}}

林（2005）は、交差数に応じてリンクを分割するために必要なライデマイスター移動回数にも上限があることを証明した。[11]

参考文献

ウィキメディア・コモンズには、ライデマイスターの動きに関連するメディアがあります。
  1. ^ ライデマイスター (1927)、24–25 ページ。
  2. ^ アレクサンダー＆ブリッグス（1926年）、562ページ。
  3. ^ ライデマイスター（1927年）、25ページ。
  4. ^ Östlund (2001)、1219ページ。
  5. ^ トレース（1983年）、723ページ。
  6. ^ アレクサンダー＆ブリッグス（1926年）、564ページ。
  7. ^ トレース（1983年）、722ページ。
  8. ^ オストルンド (2001)、1215–1227 ページ。
  9. ^ カワード＆ラッケンビー（2014年）、1024頁。
  10. ^ ラッケンビー（2015）、1ページ。
  11. ^ 林（2005）、1頁。

出典

  • アレクサンダー, ジェームズ W.; ブリッグス, ガーランド B. (1926)、「結び目のある曲線の種類について」、Annals of Mathematics、28 (1/4): 562– 586、doi :10.2307/1968399、JSTOR  1968399、MR  1502807
  • カワード、アレクサンダー；ラッケンビー、マーク（2014）「ライデマイスター移動の上限」、アメリカ数学誌、136（4）：1023–1066、arXiv：1104.1882、doi：10.1353/ajm.2014.0027、MR  3245186、S2CID  55882290
  • Galatolo、Stefano (1999)、「効果的な結び目理論の問題について」、Atti Accad。ナズ。リンセイ Cl.科学。 Fis.マット。自然。レンド。リンセイ (9) マット。応用、9 (4): 299–306、MR  1722788
  • Hagge, Tobias (2006)、「結び目の種類ごとにライデマイスター法の適用が必要である」、Proc. Amer. Math. Soc.、134 (1): 295– 301、doi : 10.1090/S0002-9939-05-07935-9、MR  2170571
  • ハス、ジョエル；ラガリアス、ジェフリー・C.（2001）「結び目の解くために必要なライデマイスター移動回数」アメリカ数学会誌、14（2）：399–428、arXiv：math/9807012、doi：10.1090/S0894-0347-01-00358-7、MR  1815217、S2CID  15654705
  • 林忠一郎 (2005)、「リンク分割におけるライデマイスター移動回数」、Mathematische Annalen、332 (2): 239– 252、doi :10.1007/s00208-004-0599-x、MR  2178061、S2CID  119728321
  • ラッケンビー、マーク(2015)、「ライデマイスター移動の多項式上界」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、182 (2): 491– 564、arXiv : 1302.0180、doi :10.4007/annals.2015.182.2.3、MR  3418524、S2CID  119662237
  • Manturov、Vassily Olegovich (2004)、結び目理論、ボカラトン、フロリダ州: Chapman & Hall/CRC、doi :10.1201/9780203402849、ISBN 0-415-31001-6、MR  2068425
  • Östlund, Olof-Petter (2001)、「結び目図の不変量とライデマイスター移動間の関係」、J. Knot Theory Ramifications、10 (8): 1215– 1227、arXiv : math/0005108、doi :10.1142/S0218216501001402、MR  1871226、S2CID  119177881
  • Reidemeister、Kurt (1927)、「Elementare Begründung der Knotentheorie」、Abh。数学。セム。大学ハンブルク、5 (1): 24–32、土井:10.1007/BF02952507、MR  3069462、S2CID  120149796
  • トレース、ブルース（1983）「古典結び目のライデマイスター運動について」アメリカ数学会誌、89（4）：722–724、doi：10.2307/2044613、JSTOR  2044613、MR  0719004
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