平均絶対差

平均絶対差（単変量）は、確率分布から抽出された2つの独立した値の平均絶対差に等しい統計的散布度の尺度です。関連する統計量として相対平均絶対差があります。これは平均絶対差を算術平均で割ったもので、ジニ係数の2倍に等しくなります。平均絶対差は、絶対平均差（平均符号差の絶対値と混同しないように注意）やジニ平均差（GMD）とも呼ばれます。[ 1 ] 平均絶対差は、ΔまたはMDと表記されることもあります。

意味

平均絶対差は、独立して同一に分布する2 つのランダム変数XとY (以降、同じ (未知の) 分布Qと呼びます) の絶対差の「平均」または「平均値」、正式には期待値として定義されます。

MD:=E[|X−はい|]。{\displaystyle \mathrm {MD} :=E[|XY|].}

計算

具体的には、離散的なケースでは、

  • Qに従って均一に分布する母集団からn個のランダムサンプルを抽出した場合、全期待値の法則により、サンプル値y i（i = 1 ～n）のシーケンスの（経験的）平均絶対差は、すべての可能な差の絶対値の算術平均として計算できます。
MD＝E[|X−はい|]＝EX[Eはい|X[|X−はい|]]＝1n2∑私＝1n∑j＝1n|×私−yj|。{\displaystyle \mathrm {MD} =E[|XY|]=E_{X}[E_{Y|X}[|XY|]]={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}
  • Qが離散確率関数f ( y )を持つ場合、y i（i = 1～n）は非ゼロの確率を持つ値です。
MD＝∑私＝1n∑j＝1nf（y私）f（yj）|y私−yj|。{\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|.}

連続の場合、

MD＝∫−∞∞∫−∞∞f（×）f（y）|×−y|d×dy。{\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,f(y)\,|xy|\,dx\,dy.}

この式の別の形式は次のようになります。

MD＝∫0∞∫−∞∞2f（×）f（×+δ）δd×dδ。{\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2\,f(x)\,f(x+\delta )\,\delta \,dx\,d\delta .}
  • が累積分布関数を持ち、分位関数がである場合、および であるので、次の式が成り立ちます。質問{\displaystyle Q}F（×）{\displaystyle F(x)}質問（F）{\displaystyle Q(F)}f（×）＝dF（×）/d×{\textstyle f(x)=dF(x)/dx}質問（F（×））＝×{\displaystyle Q(F(x))=x}
MD＝∫01∫01|質問（F1）−質問（F2）|dF1dF2。{\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}

相対平均絶対差

確率分布が有限かつ非ゼロの算術平均AMを持つ場合、相対平均絶対差（ΔまたはRMDと表記されることもある）は次のように定義される。

RMD＝MDあM。{\displaystyle \mathrm {RMD} ={\frac {\mathrm {MD} }{\mathrm {AM} }}.}

相対平均絶対差は、平均の大きさと比較して平均絶対差を定量化する無次元量です。相対平均絶対差は、ローレンツ曲線で定義されるジニ係数の2倍に等しくなります。この関係は、相対平均絶対差とジニ係数の両方に相補的な視点を与え、それらの値を計算する代替方法も提供します。

プロパティ

平均絶対差は並進や反転に対して不変であり、正のスケーリングに比例して変化する。つまり、Xが確率変数でcが定数の場合、次の式が成り立つ。

  • MD（X+c）＝MD（X）{\displaystyle \mathrm {MD(X+c)=MD(X)} }、
  • MD（−X）＝MD（X）{\displaystyle \mathrm {MD(-X)=MD(X)} }、 そして
  • MD（cX）＝|c|MD（X）{\displaystyle \mathrm {MD(cX)=|c|MD(X)} }。

相対平均絶対差は正のスケーリングに対して不変であり、負のスケーリングと可換であり、平行移動によって元の算術平均と平行移動後の算術平均の比に比例して変化する。つまり、Xが確率変数でcが定数の場合、以下の式が成り立つ。

  • RMD（X+c）＝RMD（X）⋅メートルe1つのn（X）メートルe1つのn（X）+c＝RMD（X）1+cメートルe1つのn（X）のために c≠−メートルe1つのn（X）{\displaystyle \mathrm {RMD} (X+c)=\mathrm {RMD} (X)\cdot {\frac {\mathrm {平均} (X)}{\mathrm {平均} (X)+c}}={\frac {\mathrm {RMD} (X)}{1+{\frac {c}{\mathrm {平均} (X)}}}}\quad {\text{for }}c\neq -\mathrm {平均} (X)}、
  • RMD（−X）＝−RMD（X）{\displaystyle \mathrm {RMD} (-X)=-\mathrm {RMD} (X)}、 そして
  • RMD（cX）＝RMD（X）のために c>0{\displaystyle \mathrm {RMD} (cX)=\mathrm {RMD} (X)\quad {\text{c>0の場合}。

確率変数の平均値が正の場合、その相対平均絶対差は常に0以上になります。さらに、確率変数が0以上の値しか取れない場合、その相対平均絶対差は2未満になります。

標準偏差と比較

平均絶対差はLスケールの2倍（第2Lモーメント）であり、標準偏差は平均を中心とした分散の平方根（第2従来型中心モーメント）です。Lモーメントと従来型モーメントの違いは、平均絶対差と標準偏差を比較することで初めて分かります（第1Lモーメントと第1従来型モーメントはどちらも平均です）。

標準偏差と平均絶対差はどちらも、分散、つまり母集団の値や分布の確率がどれだけ広がっているかを表します。平均絶対差は特定の中心傾向の尺度で定義されるのではなく、標準偏差は算術平均からの偏差で定義されます。標準偏差は差を二乗するため、平均絶対差と比較して、大きな差に重み付けされ、小さな差には重み付けされない傾向があります。算術平均が有限の場合、標準偏差が無限大であっても、平均絶対差も有限になります。具体的な比較については 例を参照してください。

最近導入された距離標準偏差は、平均絶対差と同様の役割を果たしますが、距離標準偏差は中心距離で機能します。E統計量も参照してください。

サンプル推定値

ランダム変数XからのランダムサンプルSはn個の値y iから成り、統計量は

MD（S）＝∑私＝1n∑j＝1n|y私−yj|n（n−1）{\displaystyle \mathrm {MD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}

はMD( X )の一貫性があり、かつ偏りのない推定値である。統計量：

RMD（S）＝∑私＝1n∑j＝1n|y私−yj|（n−1）∑私＝1ny私{\displaystyle \mathrm {RMD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}

はRMD( X )の一貫した推定値ですが、一般には偏りのない推定値ではありません。

RMD( X )の信頼区間はブートストラップサンプリング手法を使用して計算できます。

一般に、RMD( X )の不偏推定量は存在しない。これは、平均値の逆数を乗じた不偏推定値を求めるのが難しいことに一因がある。例えば、サンプルが未知のpに対するランダム変数X ( p )から採取されたことが分かっており、X ( p )−1がベルヌーイ分布に従う場合、Pr( X ( p )=1)=1−  pかつPr( X ( p )=2)= pとなる。

RMD( X ( p )) = 2p ( 1−  p )/(1+  p )です。

しかし、 RMD( X ( p ))の任意の推定値R ( S )の期待値は次の形式になります。

E⁡（R（S））＝∑私＝0np私（1−p）n−私r私、{\displaystyle \operatorname {E} (R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{ni}r_{i},}

ここで、r iは定数です。したがって、pが0から1の間の すべての場合において、E( R ( S ))はRMD( X ( p ))と等しくなることはありません。

例

平均絶対差と相対平均絶対差の例
分布パラメータ平均標準偏差平均絶対差相対平均絶対差
連続均一1つの＝0;b＝1{\displaystyle a=0;b=1}1/2＝0.5{\displaystyle 1/2=0.5}112≈0.2887{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\approx 0.2887}13≈0.3333{\displaystyle {\frac {1}{3}}\approx 0.3333}23≈0.6667{\displaystyle {\frac {2}{3}}\approx 0.6667}
普通μ＝0{\displaystyle \mu =0};σ＝1{\displaystyle \sigma =1}0{\displaystyle 0}1{\displaystyle 1}2π≈1.1284{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.1284}未定義
指数関数λ＝1{\displaystyle \lambda =1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}
パレートk>1{\displaystyle k>1};xm=1{\displaystyle x_{m}=1}kk−1{\displaystyle {\frac {k}{k-1}}}1k−1kk−2 for k>2{\displaystyle {\frac {1}{k-1}}\,{\sqrt {\frac {k}{k-2}}}{\text{ for }}k>2}2k(k−1)(2k−1){\displaystyle {\frac {2k}{(k-1)(2k-1)}}\,}22k−1{\displaystyle {\frac {2}{2k-1}}\,}
ガンマk{\displaystyle k};θ{\displaystyle \theta }kθ{\displaystyle k\theta }kθ{\displaystyle {\sqrt {k}}\,\theta }2θB(0.5,k){\displaystyle {\frac {2\theta }{\mathrm {B} (0.5,k)}}\,}†2kB(0.5,k){\displaystyle {\frac {2}{k\mathrm {B} (0.5,k)}}\,}†
ガンマk=1{\displaystyle k=1};θ=1{\displaystyle \theta =1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}
ガンマk=2{\displaystyle k=2};θ=1{\displaystyle \theta =1}2{\displaystyle 2}2≈1.4142{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}3/2=1.5{\displaystyle 3/2=1.5}3/4=0.75{\displaystyle 3/4=0.75}
ガンマk=3{\displaystyle k=3};θ=1{\displaystyle \theta =1}3{\displaystyle 3}3≈1.7321{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.7321}15/8=1.875{\displaystyle 15/8=1.875}5/8=0.625{\displaystyle 5/8=0.625}
ガンマk=4{\displaystyle k=4};θ=1{\displaystyle \theta =1}4{\displaystyle 4}2{\displaystyle 2}35/16=2.1875{\displaystyle 35/16=2.1875}35/64=0.546875{\displaystyle 35/64=0.546875}
ベルヌーイ0≤p≤1{\displaystyle 0\leq p\leq 1}p{\displaystyle p}p(1−p){\displaystyle {\sqrt {p(1-p)}}}2p(1−p){\displaystyle 2p(1-p)}2(1−p) for p>0{\displaystyle 2(1-p){\text{ for }}p>0}
スチューデントのt、2自由度ν=2{\displaystyle \nu =2}0{\displaystyle 0}∞{\displaystyle \infty }⁠ ⁠π2≈2.2214{\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\approx 2.2214}未定義
†はベータ関数であるB(x,y){\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}

参照

参考文献

  1. ^ Yitzhaki, Shlomo (2003). 「ジニ平均差：非正規分布における変動性の優れた尺度」（PDF） . Springer Verlag ( FTP ). pp.  285– 316.（ドキュメントを表示するには、ヘルプ:FTPを参照してください）

出典

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