相対論的オイラー方程式

流体力学と天体物理学において、相対論的オイラー方程式は、一般相対性理論の影響を考慮したオイラー方程式の一般化である。高エネルギー天体物理学や数値相対論に応用されており、ガンマ線バースト、降着現象、中性子星などの現象を記述するために広く用いられ、磁場が加わることが多い。^{[ 1 ]}注：文献との整合性を保つため、本稿では自然単位、すなわち光速とアインシュタインの総和規約を用いている。${\displaystyle c=1}$

モチベーション

地球上で観測可能なほとんどの流体については、ニュートン力学に基づく従来の流体力学で十分です。しかし、流体の速度が光速に近づいたり、強い重力場を通過したり、圧力がエネルギー密度（）に近づいたりすると、これらの方程式はもはや有効ではなくなります。^{[ 2 ]}このような状況は、天体物理学の応用において頻繁に発生します。例えば、ガンマ線バーストは光速未満であることが多く、^{[ 3 ]}また、中性子星は地球の何倍もの重力場を特徴としています。^{[ 4 ]}このような極端な状況では、流体の相対論的な扱いのみが適切です。 ${\displaystyle P\sim \rho }$ ${\displaystyle 0.01\%}$ ${\displaystyle 10^{11}}$

導入

運動方程式は、応力-エネルギーテンソルの連続方程式に含まれています。 ${\displaystyle T^{\mu \nu}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,}$$

ここでは共変微分である。^{[ 5 ]}完全流体の場合、 ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

$${\displaystyle T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.}$$

ここでは流体の全質量エネルギー密度（静止質量と内部エネルギー密度の両方を含む）、は流体圧力、は流体の4元速度、 は計量テンソルである。^{[ 2 ]}上記の式には通常、重粒子数の保存則が付け加えられる。が重粒子の数密度である場合、これは次のように表現される 。${\displaystyle e}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\mu}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.}$$

これらの方程式は、流体の三元速度が光速よりはるかに小さく、圧力がエネルギー密度よりはるかに小さく、エネルギー密度が静止質量密度によって支配されている場合、古典的なオイラー方程式に帰着する。この系を閉じるために、理想気体やフェルミ気体などの状態方程式も追加される。^{[ 1 ]}

平面空間における運動方程式

平坦空間の場合、つまりの計量シグネチャを用いると、運動方程式は、^{[ 6 ]}${\displaystyle \nabla _{\mu }=\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle (-,+,+,+)}$ $${\displaystyle \left(e+p\right)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }pu^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p}$$

ここで、 はシステムのエネルギー密度、 は圧力、 はシステムの 4 元速度です。${\displaystyle e=\rho (c^{2}+\epsilon )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\mu }=\gamma (1,\mathbf {v} /{c})}$

和と方程式を展開すると、（物質導関数として） ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ $${\displaystyle \left(e+p\right){\frac {\gamma}{c}}{\frac {du^{\mu}}{dt}}=-\partial^{\mu}p-{\frac {\gamma}{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu}}$$

次に、速度そのものの挙動を観察すると、運動方程式は次のようになることがわかります。 ${\displaystyle u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}}$ $${\displaystyle \left(e+p\right){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}{\left(\gamma v_{i}\right)}=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}}$$

非相対論的極限をとると、 となることに注意してください。これは、流体のエネルギーが静止エネルギーによって支配されていることを示しています。 ${\textstyle {\frac {1}{c^{2}}}\left(e+p\right)=\rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \varepsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho }$

この極限では、およびとなり、 のオイラー方程式を返すことがわかります。 ${\displaystyle \gamma \to 1}$ ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle \rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p}$

導出

運動方程式を決定するために、次の空間投影テンソル条件を利用します。 $${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$$

これを証明するために、 を見て、各辺に を掛けます。これを実行し、であることに留意すると、 となります。添え字を と書き直すと、2つの が完全に打ち消し合うことがわかります。この打ち消し合いは、時間テンソルと空間テンソルを縮約することで期待される結果です。 ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$ ${\displaystyle u_{\nu}}$ ${\displaystyle u^{\mu }u_{\mu }=-1}$ ${\displaystyle u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \nu}$

さて、次のことに注意すると $${\displaystyle T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}$$

ここで、 を暗黙的に定義しているので、 を計算することができる。 ${\displaystyle w\equiv e+p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=\left(\partial _{\mu }w\right)u^{\mu }u^{\nu }+w\left(\partial _{\mu }u^{\mu }\right)u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\[1ex]\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=\left(\partial _{\mu }w\right)u^{\mu }u^{\alpha }+w\left(\partial _{\mu }u^{\mu }\right)u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}}$$

そしてこうして $${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p}$$

次に、とという事実に注目しましょう。2番目の恒等式は1番目の恒等式から従うことに注意してください。これらの簡略化により、 ${\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}$ ${\displaystyle u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0}$ $${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$$

そして、 により、${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$ $${\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}$$

キャンセルが2件あり、 $${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$$

参照

• 相対論的熱伝導
• 状態方程式（宇宙論）

参考文献

1. Rezzolla、L. (ルチアーノ) (2018 年 6 月 14 日)。相対論的流体力学。オリンドのザノッティ。オックスフォード。ISBN 978-0-19-880759-9. OCLC  1044938862 .
2. キップ・S・ソーン、ロジャー・D・ブランドフォード（2017年）『現代古典物理学』プリンストン大学出版局、  719～ 720頁。ISBN 9780691159027。
3. Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (2001年7月). 「ガンマ線バーストにおけるローレンツ因子の下限値」. The Astrophysical Journal . 555 (1): 540– 545. arXiv : astro-ph/0011508 . Bibcode : 2001ApJ...555..540L . doi : 10.1086/321455 . S2CID 228707 . 
4. 『太陽と星への入門』 グリーン, SF, ジョーンズ, マーク H. (マーク・ヘンリー), バーネル, S. ジョセリン (共著). ケンブリッジ: オープン大学. 2004. ISBN 0-521-83737-5. OCLC  54663723 .
5. シュッツ、バーナード（2009年）『一般相対性理論入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521887052。
6. リフシッツ、LD;ランダウ、EM (1987)。流体力学(第 2 版)。エルゼビア。 p. 508.ISBN​ 0-7506-2767-0。