表現リング

数学、特に代数学の表現論として知られる分野において、群の表現環（JA GreenにちなんでGreen環とも呼ばれる）とは、群のすべての有限次元線型表現（の同型類）から構成される環である。表現環の元は仮想表現と呼ばれることもある。[1]与えられた群に対して、環は表現の基底体に依存する。複素係数の場合が最も発展しているが、シローp部分群が巡回する特性pの代数的閉体の場合も理論的にアプローチ可能である。

正式な定義

群Gと体Fが与えられたとき、その表現環 R F ( G )の元は、 Gの有限次元F表現の同型類の形式的差分である。環構造において、加法は表現の直和で、乗法はF上のテンソル積で与えられる。 R ( G )のように表記からFを省略した場合、Fは暗黙的に複素数体とみなされる。

Gの表現環は、 Gの有限次元表現のカテゴリのグロタンディーク環です。

例

  • n位巡回群の複素表現に対して、表現環R C ( C n ) はZ [ X ]/( X n  − 1 )と 同型であり、ここでX は群の生成元を原始n乗根に送る複素表現に対応する。
  • より一般的には、有限 アーベル群の複素表現環は、特性群の群環と同一視されることがある。
  • 位数3の巡回群の有理表現に対して、表現環R Q (C 3 )はZ [ X ]/( X 2  −  X  − 2 )と同型である。ここで、Xは次元2の既約有理表現に対応する。
  • 標数3の体F上の位数3の巡回群のモジュラー表現に対して、表現環R F ( C 3 )はZ [ X , Y ]/( X  2  −  Y  − 1, XY  − 2 Y , Y  2  − 3 Y )と同型である。
  • 円群の連続表現環R (S 1 ) はZ [ X , X  −1 ]と同型である。実表現環は、R ( G )上の反転X ↦ X  −1によって固定された元の部分環である。
  • 3次対称群の環R C ( S 3 )はZ [ X , Y ]/( XY  −  Y , X  2  − 1, Y  2  −  X  −  Y  − 1 )と同型である。ここで、XはS 3の1次元交代表現であり、Yは2次元既約表現である。

キャラクター

群Gの任意の有限次元複素表現 ρ は、式 χ( g ) = tr(ρ( g )) により関数 χ: G →を定義する。このような関数はいわゆる類関数であり、 Gの各共役類に対して定数であることを意味する。複素数値類関数の環をC ( G ) で表記する。表現の同型類をその指標に写す写像は準同型R ( G ) → C ( G ) を与え、 Gが有限のときこれは単射であるため、R ( G ) はC ( G )の部分環と同一視できる。 C {\displaystyle \mathbb {C} }

有限群の場合、この環準同型R ( G ) → C ( G ) は代数同型 R ( G ) → C ( G ) に拡張される。有限群の既約表現の同型類はR ( G )の基底を形成し、共役類の特性関数はC ( G )の基底を形成するため、有限群には共役類と同じ数の既約表現の同型類が存在することがわかる。[2] C ⊗ Z {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }} C ⊗ Z {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }}

コンパクト 連結 リー群に対して、R ( G ) はR ( T )の部分環（ Tは最大トーラス）と同型であり、この部分環はワイル群の作用に対して不変な類関数から構成される（Atiyah and Hirzebruch, 1961）。一般のコンパクトリー群については、Segal (1968) を参照のこと。

λリングとアダムス操作

Gの表現と自然数 nが与えられたとき、その表現のn乗外積を形成でき、これもまたGの表現となる。これにより、 λ n  : R ( G ) → R ( G )という演算が誘導される。これらの演算により、R ( G ) はλ 環となる。

表現環R ( G )上のアダムス演算は、キャラクタ χ への影響によって特徴付けられる 写像 Ψ kである。

Ψ け χ （ グラム ） ＝ χ （ グラム け ）   。 {\displaystyle \Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .}

Ψ kの演算はR ( G )のそれ自身への環準同型であり、次元dの表現ρ上の

Ψ け （ ρ ） ＝ 北 け （ Λ 1 ρ 、 Λ 2 ρ 、 … 、 Λ d ρ ）   {\displaystyle \Psi^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda^{1}\rho ,\Lambda^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda^{d}\rho )\ }

ここで、Λ i ρはρの外乗であり、N kはd変数のd基本対称関数の関数として表されるk番目の乗の和です。

参考文献

  1. ^ https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf、20ページ
  2. ^ セール、ジャン＝ピエール（1977年）『有限群の線型表現』ニューヨーク、ニューヨーク州：シュプリンガー・ニューヨーク、ISBN 978-1-4684-9458-7. OCLC  853264255。
  • アティヤ, マイケル F. ; ヒルツェブルッフ, フリードリヒ (1961)、「ベクトル束と同質空間」、純粋数学シンポジウム紀要、純粋数学シンポジウム紀要、III、アメリカ数学会: 7– 38、doi :10.1090/pspum/003/0139181、ISBN 9780821814031、MR  0139181、Zbl  0108.17705 {{citation}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）。
  • ブロッカー、テオドール。 Tom Dieck、Tammo (1985)、コンパクト リー群の表現、数学の大学院テキスト、vol. 98、ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク、東京: Springer-Verlag、ISBN 0-387-13678-9、MR  1410059、OCLC  11210736、Zbl  0581.22009
  • シーガル、グレアム (1968)、「コンパクト・リー群の表現環」、Publ. Math. IHÉS、34 : 113– 128、doi :10.1007/BF02684592、MR  0248277、S2CID  55847918、Zbl  0209.06203。
  • Snaith, VP (1994), Explicit Brauer Induction: With Applications to Algebra and Number Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 40, Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8、Zbl  0991.20005
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