ホップ代数の表現論

抽象代数において、ホップ代数の表現は、その基礎となる結合代数の表現である。^{[ 1 ] [ 2 ]}つまり、体K上のホップ代数Hの表現は、通常並置で表される作用H × V → Vを持つKベクトル空間Vである（つまり、( h , v )の像はhv と表記される）。ベクトル空間VはH加群と呼ばれる。

プロパティ

ホップ代数Hの表現の加群構造とは、単に基礎となる結合代数の加群としての構造である。ホップ代数の付加構造を考慮する主な用途は、すべてのH加群をカテゴリとして考える場合である。この付加構造は、H加​​群Vの不変元を定義するためにも用いられる。 Vの元vがHの下で不変であるとは、Hのすべてのhに対してhv = ε ( h ) vが成り立つことを指す。ここでεはHの余単位である。 Vのすべての不変元の部分集合は、Vのサブ加群を形成する 。

ホップ代数の動機としての表現のカテゴリー

結合的代数Hに対して、 2つのH加群V ₁とV ₂のテンソル積V ₁ ⊗ V ₂はベクトル空間となるが、必ずしもH加群となるとは限らない。テンソル積がH加群上の関数積演算となるためには、 V ₁ ⊗ V ₂の任意の v と H の任意の h に対して、以下の式が 成り立つような線型二項演算Δ : H → H ⊗ Hが存在する必要がある。

${\displaystyle hv=\Delta h(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)}v_{(2)},}$

そして、 V ₁ ⊗ V ₂の任意のvとHの任意のaとbに対して、

${\displaystyle \Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=(ab)v=a[b[v]]=\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})。}$

和のないスウィードラー記法を用いると、これはアインシュタインの和の規則の添字なし形式に似ている。これは、 H内の 任意のa , bに対してΔ( ab ) = Δ( a )Δ( b )となるような Δ が存在する場合に満たされる。

H加群のカテゴリが⊗ に関してモノイドカテゴリになるためには、が同値でなければならず、また、 ε _H ⊗ V、V 、およびV ⊗ ε _Hが同値であるような、自明加群と呼ばれる単位オブジェクトε _Hが存在しなければなりません。 ${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})}$ ${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

これは、任意のvに対して

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

Hのhについては、

${\displaystyle ((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

これは、Δが次式を満たす任意の3つのHモジュール に対して成り立つ。

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.}$

自明な加群は1次元でなければならないので、ε _Hの任意のvに対してhv = ε ( h ) vとなるような代数準同型ε  : H → Fが定義される。自明な加群はFと同一視され、1 は任意のvに対して1 ⊗ v = v = v ⊗ 1となるような元である。したがって、任意のH加群Vの任意のv、ε _Hの任意のc 、およびHの任意の hに対して、

${\displaystyle (\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)})cv=h_{(1)}c\otimes h_{(2)}v=h(c\otimes v)=h(cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.}$

を満たす 代数準同型εの存在

${\displaystyle \varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}=h=h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)})}$

は、自明なモジュールの存在の十分な条件です。

したがって、 H加群の圏がテンソル積に関してモノイド圏となるためには、H がこれらの条件を満たす写像 Δ とεを持つだけで十分である。これが双代数の定義の動機であり、Δ は余乗法、εは余単位元と呼ばれる。

各H加群Vが、基礎ベクトル空間が双対で、演算*がH加群のモノイド圏に関数的であるような双対表現Vを持つためには、 Hの任意のh 、Vの任意のx、Vの任意のy * に対して、次の式を満たす線型写像S  : H → Hが存在する必要がある。

${\displaystyle \langle y,S(h)x\rangle =\langle hy,x\rangle .}$

ここで、は双対ベクトル空間の通常のペアリングである。このペアリングによって誘導される写像がH準同型となる場合、 Hの任意のh、Vの任意のx、V * の任意のyに対して、${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \varphi :V\otimes V^{*}\rightarrow \varepsilon _{H}}$

${\displaystyle \varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),}$

これは、

${\displaystyle S(h_{(1)})h_{(2)}=\varepsilon (h)=h_{(1)}S(h_{(2)})}$

H内のすべてのhについて。

そのような写像Sが存在する場合、それは対掌体と呼ばれ、Hはホップ代数である。したがって、関数テンソル積と双対表現を持つ加群のモノイド圏への欲求は、ホップ代数の概念の動機の一つである。

代数上の表現

ホップ代数には追加の構造を持つ表現もあり、それらは代数です。

H をホップ代数とする。Aが積演算μ  : A ⊗ A → A を持つ代数であり、ρ  : H ⊗ A → AがA上のHの表現であるとき、μがH -同変であるとき、 ρは代数上のHの表現であるという。特別な場合として、リー代数、リー超代数、および群も代数上の表現を持つことができる。

参照

• 丹中・クライン再構築定理

参考文献

1. 「ホップ代数と表現入門」（PDF） AALTO 2025年12月2日閲覧。
2. ロッゲンカンプ, クラウス・W.; ステファネスク, ミレラ (2001-08-31).代数 - 表現論. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-0-7923-7113-7. 2025年12月2日閲覧。