残差（複素解析）

数学、より具体的には複素解析において、関数の定義域の点における留数は、有理型関数の特異点の 1 つを囲む経路に沿った路面積分に比例する複素数です。(より一般的には、離散点(本質的特異点を含む可能性がある)を除いて正則な任意の関数の留数を計算できます。 ) 通常、留数は簡単に計算でき、いったんわかっていれば、留数定理によって一般的な路面積分を決定できます。 ${\displaystyle f:\mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k}}$

意味

有理型関数の孤立特異点における留数は、しばしば⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記され、 ⁠ ⁠ が穴あき円板⁠ ⁠において解析的原始微分を持つような唯一の値⁠ ⁠です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} (f,a)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$

あるいは、ローラン級数展開を求めることによって留数を計算することもでき、留数をローラン級数の係数として定義することもできます${\displaystyle a_{-1}}$ 。

この概念は、留数定理で扱われる特定の路面積分問題における路面積分値を与えるために用いることができる。留数定理によれば、有理型関数⁠ ⁠に対して、点${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠${\displaystyle a_{k}}$ における留数は以下のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

ここで、は⁠ ⁠の周りの正の向きの単純閉曲線であり、曲線上または曲線内の他の特異点は含まれません。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$

留数の定義は任意のリーマン面に一般化できます。⁠ ⁠ が${\displaystyle \omega }$ リーマン面上の1-形式であると仮定します。 ⁠ ⁠がある点 ⁠ ⁠において有理型であるとし、 ⁠ ⁠ を局所座標で⁠ ⁠と表記できるようにします。すると、 ⁠ ⁠における⁠ ⁠の留数は、 ⁠ ⁠に対応する点における⁠ ⁠の留数と定義されます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(z)\,dz}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle x}$

輪郭積分

単項式の輪郭積分

単項式の剰余を計算する

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

留数計算のほとんどを簡単に行うことができます。経路積分はホモトピー不変なので、反時計回りに半径が動く円を とします。すると、座標変換を用いて次の式が得られます 。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

したがって、この積分は次のように表される。

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

したがって、 ⁠ ⁠${\displaystyle z^{k}}$ の剰余は、整数⁠ ⁠の場合⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ であり、それ以外の場合は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle 0}$

ローラン級数への一般化

関数が⁠ ⁠の周りのローラン級数展開として次のように表される場合：⁠ ⁠における留数は、点⁠ ⁠の周りの反時計回りの同心円積分の単項式の同心円積分の結果を使用して、次のように計算されます。したがって、⁠ ⁠の周りで関数のローラン級数表現が存在する場合、 ⁠ ⁠の周りの留数は項⁠ ⁠の係数によってわかります。 ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

留数定理への応用

正の向きの単純閉曲線内に特異点の有限集合を持ち、その特異点を通らない有理型関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$ の場合、路積分の値は留数定理に従って次のように与えられます。ここで、 ⁠ ⁠、つまり巻き数は、⁠ ⁠が⁠ ⁠の内部にある場合は⁠ ⁠であり、そうでない場合は ⁠ ⁠ となり、次のように簡略化されます。ここで、⁠ ⁠はすべて路⁠ ⁠内にある孤立した特異点です。 ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$ ${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$

残留物の計算

複素平面上の穴あき円板⁠ ⁠が与えられ、 ${\displaystyle D=\{z:0<\vert z-c\vert <R\}}$ ⁠ ⁠ は${\displaystyle f}$ （少なくとも）⁠ ⁠上で定義された正則関数であるとします。 ⁠ ⁠ における ⁠ ⁠の留数は、⁠ ⁠ の周りの ⁠ ⁠のローラン級数展開における ⁠ ⁠の係数⁠ ⁠です。この値を計算する方法は様々であり、どの方法を使用するかは、問題となる関数と特異点の性質によって異なります。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

留数定理によれば、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

ここで、⁠ ⁠は${\displaystyle \gamma }$ ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ の周りを反時計回りに円を描き、他の特異点を通過したり、他の特異点を内部に含んだりしません。経路⁠ ⁠ を${\displaystyle \gamma }$ ⁠ ⁠の周りの半径⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon }$ の円に選択することができます。⁠ ⁠ は必要なだけ小さくすることができるため、孤立した特異点の性質により、 ⁠ ⁠の特異点のみを含むようにすることができます。これは、積分を直接計算できる場合に使用できますが、通常は積分の計算を簡略化するために留数が使用され、その逆は使用されません。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle c}$

除去可能な特異点

関数⁠ ⁠が円板${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠全体上の正則関数に接続できる場合、⁠ ⁠となります。逆は一般には成り立ちません。 ${\displaystyle \vert y-c\vert <R}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=0}$

シンプルなポール

⁠ ⁠が${\displaystyle c}$ ⁠ ⁠の単極である場合、 ⁠ ⁠の留数は次のように与えられます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

その極限が存在しない場合、⁠ ⁠は${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ において本質的特異点を持ちます。極限が⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ である場合、⁠ ⁠は${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ において解析的であるか、そこに除去可能な特異点を持ちます。極限が無限大に等しい場合、極の位数は⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ よりも高くなります。

関数⁠ ⁠は、2つの関数${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠${\displaystyle f(z)={g(z)}/{h(z)}}$ の商として表すことができます。ここで、⁠ ⁠${\displaystyle g}$ と⁠ ⁠は${\displaystyle h}$ ⁠ ⁠の近傍における正則関数であり、⁠ ⁠と ⁠ ⁠です。このような場合、ロピタルの定理を用いて上記の式を次のように簡略化できます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h(c)=0}$ ${\displaystyle h'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

高次極の極限公式

より一般的には、⁠ ⁠が${\displaystyle c}$ ⁠ ⁠の位数の極である場合、 ⁠ ⁠の周りの⁠ ⁠の留数は、次の式で求められます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=c}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).}$

この式は、低次の極の留数を求めるのに非常に役立ちます。高次の極の場合、計算が手に負えなくなることがあり、通常は級数展開の方が容易です。本質的特異点の場合、このような単純な式は存在せず、通常は級数展開から直接留数を求めなければなりません。

無限大残差

一般に、無限大における剰余は次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-{\operatorname {Res} }\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

次の条件が満たされる場合:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

無限大における剰余は次の式を使って計算できます。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }zf(z).}$

代わりに

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

すると無限遠における剰余は

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}f'(z).}$

有限個の特異点を持つ複素平面全体で有理型な関数の場合、（必然的に）孤立した特異点の留数と無限遠の留数の合計は 0 となり、次の式が得られます。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

シリーズ法

関数の一部または全部がテイラー級数またはローラン級数に展開できる場合（関数の一部または全体が標準的な級数展開を持つ場合など）、留数の計算は他の方法よりもはるかに簡単になります。関数の留数は、関数のローラン級数展開 における⁠ ⁠の係数によって単純に与えられます。${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

例

級数展開からの剰余

例1

例として、輪郭積分を考えてみましょう。

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

ここで、 ⁠ ⁠は${\displaystyle C}$ ⁠ ⁠に関する単純な閉曲線です。 ${\displaystyle 0}$

この積分を級数による積分の標準的な収束結果を用いて評価してみましょう。⁠ ⁠ のテイラー級数を被積分関数に代入すると、積分は次のようになります 。${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

⁠ ⁠${\displaystyle 1/z^{5}}$ の項を級数に導入してみましょう。級数の周回積分は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

級数は積分経路の台で一様収束するので、積分と和を交換できます。すると、経路積分の級数は、前の計算により、はるかに単純な形に収束します。つまり、⁠ ⁠の形にない他のすべての項の⁠ ⁠${\displaystyle C}$ の周りの積分はゼロとなり、積分は次のように簡約されます。 ${\displaystyle cz^{-1}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\,z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

1/4!という値は⁠ ⁠の⁠ ⁠における剰余であり、 ${\displaystyle e^{z}/z^{5}}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

例2

2 番目の例として、特定の輪郭積分の計算に使用できる関数の特異点における留数を計算することを考えてみましょう。この関数は⁠ ⁠に特異点があるように見えますが、分母を因数分解して関数を ⁠ ⁠ と書くと、⁠ ⁠における特異点は除去可能な特異点であることが明らかであり、したがって⁠ ⁠における留数は⁠ ⁠です。唯一の他の特異点は⁠ ⁠にあります。 ⁠ ⁠に関する関数⁠ ⁠のテイラー級数の式を思い出してください。したがって、⁠ ⁠および⁠ ⁠については次の式が得られ、 ⁠ ⁠および⁠ ⁠については次の式が得られます。これら 2 つの級数を掛けて⁠ ⁠を導入すると次の式が得られます。したがって、 ⁠ ⁠における⁠ ⁠の留数は⁠ ⁠です。 $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$ ${\displaystyle z=0}$ $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z=a}$ $${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$ ${\displaystyle g(z)=\sin z}$ ${\displaystyle a=1}$ $${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle g(z)=1/z}$ ${\displaystyle a=1}$ $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle 1/(z-1)}$ $${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle \sin 1}$

例3

次の例は、級数展開によって留数を計算するときに、ラグランジュの逆定理が重要な役割を果たすことを示しています。を整関数とし、収束半径が正で、とします。したがって、はで局所逆関数 を持ち、0で有理型です。すると、次が成り立ちます。実際、最初の級数は 0 の周りの任意の小円で一様に収束するためです。 ラグランジュの逆定理と を使用すると、上記の式が得られます。 たとえば、かつ の場合、および最初の項は留数に寄与し、2番目の項はに漸近するため に寄与します。 $${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$ $${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$ ${\displaystyle v_{1}\neq 0}$ ${\displaystyle v(z)}$ ${\displaystyle V(z)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle u(1/V(z))}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$ ${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$ $${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$ $${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

⁠ ⁠${\displaystyle u(z)}$ および⁠ ⁠${\displaystyle v(z)}$ に対する対応するより強い対称仮定により、 ⁠ ⁠ が⁠ ⁠における ⁠ ⁠の局所逆であることもわかります。 $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$ ${\displaystyle U(z)}$ ${\displaystyle u(z)}$ ${\displaystyle 0}$

参照

• 留数定理
• コーシーの積分公式
• コーシーの積分定理
• ミッタク・レフラーの定理
• 輪郭積分法
• モレラの定理
• 複素解析における部分分数

参考文献

• アルフォース、ラース(1979). 『複素解析』 マグロウヒル.
• マースデン, ジェロルド・E.; ホフマン, マイケル・J. (1998). 『複素解析の基礎』（第3版）. WHフリーマン. ISBN 978-0-7167-2877-1。

外部リンク

• 「解析関数の留数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「複素残余」。MathWorld 。