制限（数学）

定義域を持つ関数には逆関数は存在しない。非負の実数に限定すれば、逆関数が存在する。これは平方根として知られる。${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x.}$

数学において、関数の制限とは、元の関数に対してより小さな定義域を選択することによって表される、または得られる新しい関数である。 この関数は拡張されると言われる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert_{A}}$ ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert_{A}.}$

正式な定義

を集合から集合への関数とします。集合がのサブセットである場合、への の制限はに対して によって与えられる 関数^{[ 1 ]}です。非公式には、への の制限は と同じ関数ですが、 でのみ定義されます。 ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ ${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A}$

関数を直積上の関係として考えると、の制限はそのグラフで表すことができる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

ここで、ペアはグラフ内の順序付きペアを表す。${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle G.}$

拡張機能

関数は${\displaystyle F}$ 別の関数の拡張がのドメインにあるときはいつでもも のドメインにありつまり 、および${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)=F(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

あ線形拡張（それぞれ、関数の連続拡大など) は、線型写像(それぞれ、連続写像など) でもあるの拡大です${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

例

1. 非単射関数の領域への制限は単射である。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. 階乗関数は、ガンマ関数を正の整数に制限し、引数を1つシフトしたものです。${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

制限の特性

• 関数をそのドメイン全体に制限すると、元の関数が返されます。つまり、${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• 関数を2回制限することは、1回制限することと同じです。つまり、${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$ ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• 集合上の恒等関数のの部分集合への制限は、からへの包含写像に等しい^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• 連続関数の制約は連続的である。^{[ 3 ] [ 4 ]}

アプリケーション

逆関数

関数が逆関数を持つためには、1対1でなければなりません。関数が1対1でない場合は、定義域を制限することで部分逆関数を定義できる場合があります。例えば、 関数全体で定義された関数は、 任意のに対して であるため1対1ではありません。 しかし、定義域 に制限すると関数は1対1になり、その場合 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(代わりに定義域に制限すると、逆関数は の平方根の負になります) あるいは、逆関数を多値関数とすることができる場合は定義域を制限する必要はありません。 ${\displaystyle (-\infty ,0],}$ ${\displaystyle y.}$

選択演算子

リレーショナル代数では、選択( SQLの SELECT の使用との混同を避けるために制限と呼ばれることもあります) は次のように記述される 単項演算です。 ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$ 属性名であり、${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$ 集合内の二項演算である${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$ は値定数であり、
• ${\displaystyle R}$ は関係です。

選択により、と属性の間にあるのすべてのタプルが選択されます。 ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

選択は、属性と値の間にあるすべてのタプルを選択します。${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v.}$

したがって、選択演算子はデータベース全体のサブセットに制限されます。

貼り付けの補題

貼り付け補題は、関数の連続性と部分集合への制約の連続性を関連付ける 位相幾何学の結果です。

位相空間の2つの閉部分集合（または2つの開部分集合）で、 とが位相空間であるとする。が両方に制限されたときに連続であり、が連続であるとき、は連続である。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=X\cup Y,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

この結果により、位相空間の閉じた（または開いた）部分集合上で定義された 2 つの連続関数を取り、新しい関数を作成することができます。

シーブ

層は関数以外のオブジェクトへの制限を一般化する方法を提供します。

層理論では、位相空間の各開集合に圏の対象を割り当て、それらの対象が特定の条件を満たすことを要求します。最も重要な条件は、入れ子になった開集合に関連付けられたすべての対象ペア間に制限射が存在することです。つまり、 の場合、関数の制限を模倣するように設計された以下の性質を満たす 射が存在するということです。${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• 制限射の任意の開集合に対して、制限射は恒等射である。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U).}$
• 3つの開集合がある場合、合成集合は${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• （局所性）が開集合の開 被覆であり、被覆の各集合に対してとなるような場合、であり、${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s=t}$
• （接着）が開集合の開被覆であり、各被覆集合のペアごとに、 と の制約が重なり合うようにセクションが与えられているとき、各${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

そのようなオブジェクトすべての集合は束と呼ばれます。最初の2つの特性のみが満たされる場合、それはプレ束です。

左右の制限

より一般的には、との間の二項関係の制約（または定義域制約もしくは 左制約）は、定義域 の共域とグラフ を持つ関係として定義できます。 同様に、右制約または値域制約 を定義することもできます。実際、二項関係だけでなく、二項関係の直積のような関係として理解される部分集合にも制約を定義することができます。これらのケースは、層のスキームには当てはまりません。 ${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

反制限

関数または二項関係（定義域 および共定義域）の集合による定義域反制限（または定義域減算）は と定義される。定義域からのすべての要素を削除する。 これは ⩤ と表記されることもある。 ^{[ 5 ]} 同様に、関数または二項関係の集合による値域反制限（または値域減算）は と定義される。共定義域からのすべての要素を削除する。これは ⩥ と 表記されることもある。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B.}$

参照

• 制約 – 最適化問題の解が満たさなければならない条件
• 変形後退 – 位相空間から部分空間への連続的で位置保存的な写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ローカルプロパティ
• 関数（数学）§ 制限と拡張
• 二項関係 § 制限
• 関係代数 § 選択 (σ)

参考文献

1. ストール、ロバート (1974).集合、論理、公理理論（第2版）. サンフランシスコ: WHフリーマン・アンド・カンパニー. pp. [36]. ISBN 0-7167-0457-9。
2. ポール、ハルモス(1960)。素朴集合論。ニュージャージー州プリンストン: D. ヴァン・ノストランド。Springer-Verlag, New York, 1974年再版。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー・フェアラーク版）。2011年にMartino Fine Booksより再版。ISBN 978-1-61427-131-4（ペーパーバック版）。
3. マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）. アッパー・サドル・リバー: プレンティス・ホール. ISBN 0-13-181629-2。
4. アダムズ、コリン・コンラッド、フランゾサ、ロバート・デイビッド (2008). 『位相幾何学入門：純粋と応用』 ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-184869-6。
5. Dunne, S. および Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected... Computer Science and General Issues) . Springer (2006)