制限商品

数学において、制限積は位相群の理論における構成です。

を指数集合（の有限部分集合）とする。が各 に対して局所コンパクト群であり、 が各 に対して開コンパクト部分群であるとき、制限積 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle K_{i}\subset G_{i}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus S}$

${\displaystyle \prod _{i}\nolimits 'G_{i}\,}$

は、有限個を除くすべての に対して となるすべての要素からなるの積の部分集合です。 ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle (g_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle g_{i}\in K_{i}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus S}$

この群には、開集合の基底が次の形式のものとなる 位相が与えられる。

${\displaystyle \prod _{i}A_{i}\,,}$

ここで、 は有限個を除くすべての および に対して開いています。 ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}=K_{i}}$ ${\displaystyle i}$

制限積自体が局所コンパクト群であることは容易に証明できる。この構成の最もよく知られた例は、大域体のアデール環とイデール群である。

参照

• 直和

参考文献

• Fröhlich, A.; Cassels, JW (1967), Algebraic number theory , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-163251-9
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8。MR  1697859。Zbl  0956.11021。