レイノルズ応力
流体力学の概念

流体力学において、レイノルズ応力は、流体の運動量の乱流変動を考慮するためにナビエ-ストークス方程式の平均化操作から得られる流体の全応力テンソルの成分です。

意味

流れの速度場はレイノルズ分解によって平均部分と変動部分に分割することができる。次のように書く。

あなた 私 ＝ あなた 私 ¯ + あなた 私 ′ 、 {\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}

は座標方向の成分を持つ流速ベクトル（ は座標ベクトルの成分を表す）。平均速度は、対象とする流れに応じて、時間平均、空間平均 、またはアンサンブル平均のいずれかによって決定される。さらに は、速度の変動（乱流）成分を表す。 あなた （ × 、 t ） {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)} あなた 私 {\displaystyle u_{i}} × 私 {\displaystyle x_{i}} × 私 {\displaystyle x_{i}} × {\displaystyle \mathbf {x} } あなた 私 ¯ {\displaystyle {\overline {u_{i}}}} あなた 私 ′ {\displaystyle u'_{i}}

密度 ρが一定である均質流体を考える。このような流体の場合、レイノルズ応力テンソルの 成分τ' ijは以下のように定義される。

τ 私 j ′ ≡ ρ あなた 私 ′ あなた j ′ ¯ 、 {\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}

一定密度の場合のレイノルズ応力成分の別の（よく使われる）定義は次のとおりです。

τ 私 j ″ ≡ あなた 私 ′ あなた j ′ ¯ 、 {\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}

これは、応力ではなく速度の 2 乗の次元を持ちます。

平均化とレイノルズ応力

説明のために、直交 座標系のベクトルインデックス表記法を使用します。簡単のため、非圧縮性流体を考えます。

流体速度を位置と時間の関数として与え、平均流体速度を、速度変動をと書きます。すると となります。 あなた 私 {\displaystyle u_{i}} あなた 私 ¯ {\displaystyle {\overline {u_{i}}}} あなた 私 ′ {\displaystyle u'_{i}} あなた 私 ＝ あなた 私 ¯ + あなた 私 ′ {\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}

平均化の従来のアンサンブルルールは、

1つの ¯ ¯ ＝ 1つの ¯ 、 1つの + b ¯ ＝ 1つの ¯ + b ¯ 、 1つの b ¯ ¯ ＝ 1つの ¯ b ¯ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}

オイラー方程式（流体力学）またはナビエ・ストークス方程式を平均部分と変動部分に分割します。流体方程式を平均化すると、右辺に という形の応力が現れます。これはレイノルズ応力であり、慣例的に と表記されます。 ρ あなた 私 ′ あなた j ′ ¯ {\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}} R 私 j {\displaystyle R_{ij}}

R 私 j   ≡   ρ あなた 私 ′ あなた j ′ ¯ {\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}

この応力の発散は、乱流変動による流体上の力の密度です。

ナビエ・ストークス方程式のレイノルズ平均

例えば、非圧縮性、粘性、ニュートン流体の場合、連続方程式と運動量方程式（非圧縮性ナビエ・ストークス方程式）は（非保存形式で）次のように表すことができます。

∂ あなた 私 ∂ × 私 ＝ 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}

そして

ρ D あなた 私 D t ＝ − ∂ p ∂ × 私 + μ （ ∂ 2 あなた 私 ∂ × j ∂ × j ） 、 {\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}

ここで、 はラグランジアン微分または実質的な微分であり、 D / D t {\displaystyle D/Dt}

D D t = ∂ ∂ t + u j ∂ ∂ x j . {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}

上記の流れ変数を時間平均成分と変動成分で定義すると、連続方程式と運動量方程式は次のようになる。

∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ x i = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}

そして

ρ [ ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ t + ( u j ¯ + u j ′ ) ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ x j ] = − ∂ ( p ¯ + p ′ ) ∂ x i + μ [ ∂ 2 ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ x j ∂ x j ] . {\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}

運動量方程式の左辺の項の一つを調べると、

( u j ¯ + u j ′ ) ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ x j = ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ( u j ¯ + u j ′ ) ∂ x j − ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ ( u j ¯ + u j ′ ) ∂ x j , {\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}

ここで、右辺の最後の項は連続方程式の結果として消える。したがって、運動量方程式は次のようになる。

ρ [ ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ t + ∂ ( u i ¯ + u i ′ ) ( u j ¯ + u j ′ ) ∂ x j ] = − ∂ ( p ¯ + p ′ ) ∂ x i + μ [ ∂ 2 ( u i ¯ + u i ′ ) ∂ x j ∂ x j ] . {\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}

ここで、連続方程式と運動量方程式を平均化します。平均化のアンサンブル則を適用する必要がありますが、変動量の積の平均は一般にはゼロにならないことを念頭に置いてください。平均化後、連続方程式と運動量方程式は次のようになります。

∂ u i ¯ ∂ x i = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}

そして

ρ [ ∂ u i ¯ ∂ t + ∂ u i ¯ u j ¯ ∂ x j + ∂ u i ′ u j ′ ¯ ∂ x j ] = − ∂ p ¯ ∂ x i + μ ∂ 2 u i ¯ ∂ x j ∂ x j . {\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}

左辺の項の1つに 積の法則を適用すると、次の式が得られる。

∂ u i ¯ u j ¯ ∂ x j = u j ¯ ∂ u i ¯ ∂ x j + u i ¯ ∂ u j ¯ ∂ x j , {\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}

ここで、右辺の最後の項は平均連続方程式の結果として消えます。平均運動量方程式は、整理すると次のようになります。

ρ [ ∂ u i ¯ ∂ t + u j ¯ ∂ u i ¯ ∂ x j ] = − ∂ p ¯ ∂ x i + ∂ ∂ x j ( μ ∂ u i ¯ ∂ x j − ρ u i ′ u j ′ ¯ ) , {\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}

ここで、レイノルズ応力 は、粘性法線応力項およびせん断応力項とともに収集されます。 ρ u i ′ u j ′ ¯ {\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}} μ ∂ u i ¯ ∂ x j {\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}

議論

レイノルズ応力の時間発展方程式は、周培源の論文[1]で式 (1.6) として初めて示されました。 この方程式の現代的な形は、 動粘性、最後の項は乱流散逸率です。この方程式は非常に複雑です。をトレースすると、乱流運動エネルギーが得られます。圧力スクランブリング項と呼ばれるのは、この項 (圧力ひずみ共分散とも呼ばれる) が非圧縮性の仮定の下でトレースレスであるためです。つまり、乱流運動エネルギーを生成または破壊することはできず、速度の 3 つの成分間でそれを混合することしかできません。アプリケーションによっては、この方程式に浮力生成項 (重力加速度 に比例) やコリオリ生成項 (地球の自転速度に比例) を含めることもできます。これらは、たとえば大気のアプリケーションで使用されます。 ∂ u i ′ u j ′ ¯ ∂ t ⏟ s t o r a g e + u ¯ k ∂ u i ′ u j ′ ¯ ∂ x k ⏟ m e a n   a d v e c t i o n = −   u i ′ u k ′ ¯ ∂ u ¯ j ∂ x k − u j ′ u k ′ ¯ ∂ u ¯ i ∂ x k ⏟ s h e a r   p r o d u c t i o n + p ′ ρ ( ∂ u i ′ ∂ x j + ∂ u j ′ ∂ x i ) ¯ ⏟ p r e s s u r e − s c r a m b l i n g − ∂ ∂ x k ( u i ′ u j ′ u k ′ ¯ + p ′ u i ′ ¯ ρ δ j k + p ′ u j ′ ¯ ρ δ i k − ν ∂ u i ′ u j ′ ¯ ∂ x k ) ⏟ t r a n s p o r t   t e r m s − 2 ν ∂ u i ′ ∂ x k ∂ u j ′ ∂ x k ¯ , {\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},} ν {\displaystyle \nu } ν ∂ u i ′ ∂ x k ∂ u j ′ ∂ x k ¯ {\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}} u i ′ u j ′ ¯ {\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}} g {\displaystyle g}

では、レイノルズ応力の値はいくらになるのか、という疑問が生じます。これは、約1世紀にわたり、熱心にモデリングと関心を集めてきたテーマです。この問題は、 BBGKY階層における閉包問題に類似した閉包問題として認識されています。レイノルズ応力の輸送方程式は、変動速度に関する流体方程式の外積をとることで求められます。

レイノルズ応力の輸送方程式には、高次の相関（具体的には三重相関）を持つ項と、圧力変動（すなわち音波によって運ばれる運動量）を持つ項が含まれていることがわかります。一般的な解決策は、これらの項を単純なアドホックな方法 でモデル化することです。 v i ′ v j ′ v k ′ ¯ {\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}

レイノルズ応力の理論は気体の運動論と非常に類似しており、実際、流体のある点における応力テンソルは、流体中の特定の点における分子の熱速度に起因する応力のアンサンブル平均と見なすことができます。したがって、類推により、レイノルズ応力は、乱流圧力と呼ばれる等方圧力部分と、有効乱流粘性と考えられる非対角部分から構成されると考えられることがあります。

実際、流体中のレイノルズ応力の優れたモデルの開発には多大な努力が費やされてきたものの、実用面では、数値流体力学を用いて流体方程式を解く際には、最も単純な乱流モデルが最も効果的であることがしばしば証明されています。乱流粘性の概念と密接に関連するモデルの一つに、乱流エネルギー密度（乱流圧力、すなわちレイノルズ応力の軌跡に類似）と乱流散逸率の結合輸送方程式に基づくk-ε乱流モデルがあります。 k {\displaystyle k} ϵ {\displaystyle \epsilon }

通常、平均は統計的アンサンブル理論と同様に、アンサンブル平均として正式に定義されます。しかし、実用的には、平均はある長さスケールにおける空間平均、あるいは時間平均と考えることもできます。これらの平均間の関係は、平衡統計力学においてエルゴード定理によって正式に正当化されているものの、流体乱流の統計力学は現時点では十分に理解されていないことに注意してください。実際、乱流流体中の任意の点におけるレイノルズ応力は、平均をどのように定義するかによって、ある程度解釈が分かれます。

参考文献

  1. ^ PY Chou (1945). 「速度相関と乱流変動方程式の解について」. Quart. Appl. Math . 3 : 38–54 . doi : 10.1090/qam/11999 .
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