リッチ分解

リーマン幾何学および擬リーマン幾何学の数学分野において、リッチ分解（Ricci decomposition）は、リーマン多様体または擬リーマン多様体のリーマン曲率テンソルを、特別な代数的性質を持つ断片に分解する方法である。この分解は、リーマン幾何学および擬リーマン幾何学において根本的な重要性を持つ。

分解の定義

( M , g ) をリーマン多様体または擬リーマン多様体とする。そのリーマン曲率を(0,4)-テンソル体として考える。本稿では符号規約に従う。

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

複数行で書かれたものが慣例である

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

この規則に従うと、リッチテンソルはR _jk = g ^il R _ijklで定義される(0,2)-テンソル場となり、スカラー曲率はR = g ^jk R _jkで定義されます。（これはリッチテンソルの符号規則としてはあまり一般的ではありません。より標準的な定義としては、1番目と3番目、または2番目と4番目の添字を縮約して定義し、逆の符号を持つリッチテンソルを生成します。このより一般的な定義に従うと、以下の式においてリッチテンソルとスカラーの符号を変更する必要があります。）トレースレスリッチテンソルを定義する

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

そして、3つの(0,4)-テンソル場S、E、Wを次のように 定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

「リッチ分解」とは、

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

前述の通り、これはWの定義を単に再構成しただけなので、意味がありません。この分解の重要性は、3つの新しいテンソルS、E、Wの性質にあります。

用語に関する注意。テンソルWはワイルテンソルと呼ばれます。数学文献ではWという表記が標準ですが、物理学文献ではC の方が一般的です。R という表記は数学と物理学の両方で標準ですが、 S、Z、Eについては標準化された表記法はありません。

基本的なプロパティ

ピースの特性

S、E、Wの各テンソルは、リーマンテンソルと同じ代数的対称性を持ちます。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl}=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

と共に

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

ワイルテンソルには、完全にトレースゼロであるという追加の対称性があります。

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

ヘルマン・ワイルは、次元が少なくとも 4 の場合、W にはリーマン多様体または擬リーマン多様体の局所的共形平坦性からの偏差を測定するという注目すべき特性があることを示しました。この特性がゼロの場合、M は、チャートごとに定義された 関数fに対してg _ij =e ^f δ _ijという形式をとるチャートによってカバーできます。

(3 次元未満では、すべての多様体は局所的に共形的に平坦ですが、3 次元ではコットン テンソルが局所的な共形的平坦性からの偏差を測定します。)

分解の特性

リッチ分解が次の意味で直交していることを確認できる。

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

一般的な定義を思い出すと、これは直接証明できる結果となる。 ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

この直交性は、インデックスなしで次のように表すことができます。

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

と共に

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

関連する数式

「ノルム式」を計算することができる

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

そして「トレース式」

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

数学的な説明

数学的には、リッチ分解とは、リーマンテンソルの対称性を持つすべてのテンソルの空間を、直交群の作用に対する既約表現に分解することです（Besse 1987、第1章、§G）。Vをn次元ベクトル空間とし、計量テンソル（混合シグネチャの場合もある）を備えるものとします。ここで、Vは点における余接空間上にモデル化されており、曲率テンソルR （すべてのインデックスを下げたもの）はテンソル積V ⊗ V ⊗ V ⊗ Vの元となります。曲率テンソルは、最初と最後の2つの要素において歪対称です。

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

交換対称性に従う

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

すべてのx , y , z , w  ∈  V ^∗に対して成り立つ。結果として、Rは部分空間 の元、つまりVの第二外冪の第二対称冪となる。曲率テンソルはビアンキ恒等式も満たさなければならない。つまり、曲率テンソルは次式で与えられる 線型写像の核に含まれる。${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$ ${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

S ² Λ ² Vにおける空間R V  = ker bは代数曲率テンソルの空間である。リッチ分解とは、この空間を既約因子に分解することである。リッチ縮約写像は、

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

これは代数曲率テンソルに対称2次元形式を関連付ける。逆に、対称2次元形式のペアhとkが与えられたとき、hとkのクルカルニ・ノミズ積は

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

代数曲率テンソルを生成します。

n ≥ 4の場合、（唯一の）既約部分空間への直交分解が存在する。

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V

どこ

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$ 、実スカラー空間は${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$ 、ここでS²
₀Vはトレースフリー対称2次元形式の空間である

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

与えられたリーマンテンソルRのリッチ分解の部分S、E、C は、これらの不変因子へのRの直交射影であり、それぞれリッチスカラー、トレース除去リッチテンソル、リーマン曲率テンソルのワイルテンソルに対応する。特に、

${\displaystyle R=S+E+C}$

は、次のような意味で直交分解である。

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

この分解は、リーマン対称性を持つテンソルの空間を、それぞれスカラー部分加群、リッチ部分加群、およびワイル部分加群の直和として表現する。これらの加群はそれぞれ直交群の既約表現である（Singer & Thorpe 1969）。したがって、リッチ分解は半単純リー群の加群をその既約因子に分割する特殊なケースである。次元4では、ワイル加群はさらに特殊直交群の既約因子のペア、すなわち自己双対部分W ⁺と反自己双対部分W ⁻に分解される。

物理的な解釈

リッチ分解はアインシュタインの一般相対性理論において物理的に解釈することができ、ゲニオー・デベバー分解と呼ばれることもある。この理論では、アインシュタイン場の方程式は

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

ここで、はすべての物質の量と運動、およびすべての非重力場のエネルギーと運動量を記述する応力エネルギーテンソルであり、リッチテンソル（または同等のアインシュタインテンソル）は、非重力場のエネルギーと運動量が直接存在する重力場の部分を表すことを述べています。ワイルテンソルは、物質や非重力場が存在しない領域を重力波として伝播できる重力場の部分を表します。ワイルテンソルがゼロになる時空領域には重力放射が含まれず、共形平坦でもあります。 ${\displaystyle T_{ab}}$

参照

• リーマンテンソルのベル分解
• 共形幾何学
• ペトロフ分類
• プレバンスキーテンソル
• リッチ計算
• スハウテンテンソル
• トレースフリーリッチテンソル

参考文献

• Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8。
• Sharpe、RW (1997)、Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program、Springer-Verlag、ニューヨーク、ISBN 0-387-94732-96.1節では分解について議論する。分解のいくつかのバリエーションは、第7章と第8章の共形幾何学と射影幾何学の議論にも登場する。
• シンガー, IM ; ソープ, JA (1969)「4次元アインシュタイン空間の曲率」,グローバル解析（小平健二名誉論文集） , 東京大学出版会, pp.  355– 365。