リースプロジェクター

数学、より具体的にはスペクトル理論において、リース射影（リースしげん）とは、作用素の特定の固有値に対応する固有空間への射影（より一般的には、スペクトルの孤立した部分に対応する不変部分空間への射影）である。これは1912年にフリジェシュ・リースによって導入された。^{[1] [2]}

意味

バナッハ空間 における閉線型作用素を仮定する。を単純または合成の可換路 とし、これはある領域を囲み、作用素 のレゾルベント集合( )内に完全に含まれるものとする。この可換路が領域 に対して正の向きを持つと仮定すると、 に対応するリース射影は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ ${\displaystyle \rho (A)}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \rho (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle P_{\Gamma }=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,\mathrm {d} z;}$

ここでは の恒等演算子を示します。 ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$

がにおけるのスペクトルの唯一の点である場合、 はで表されます。 ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

プロパティ

演算子はと可換な射影子であり、したがって分解において ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\Gamma }\oplus {\mathfrak {N}}_{\Gamma }\qquad {\mathfrak {L}}_{\Gamma }=P_{\Gamma }{\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {N}}_{\Gamma }=(I_{\mathfrak {B}}-P_{\Gamma }){\mathfrak {B}},}$

と の両項は演算子 の不変部分空間である。さらに、 ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\Gamma }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\Gamma }}$ ${\displaystyle A}$

1. の部分空間への制限のスペクトルは領域に含まれます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\Gamma }}$ ${\displaystyle G_{\Gamma }}$
2. の部分空間への制限のスペクトルは、の閉包の外側にあります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\Gamma }}$ ${\displaystyle G_{\Gamma }}$

とが上記の性質を持つ2つの異なる輪郭であり 、領域 とに共通点がない場合、それらに対応する射影は互いに直交します。 ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle G_{\Gamma _{1}}}$ ${\displaystyle G_{\Gamma _{2}}}$

${\displaystyle P_{\Gamma _{1}}P_{\Gamma _{2}}=P_{\Gamma _{2}}P_{\Gamma _{1}}=0.}$

参照

• スペクトル（機能解析）
• スペクトルの分解（関数解析）
• 演算子のスペクトル
• 解決形式主義
• 作用素理論

参考文献

1. Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1956). 関数解析. Blackie & Son Limited.
2. Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1969). 線形非自己随伴作用素の理論入門. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド