微分演算子

環状空間上で定義された調和関数。調和関数は、重要な微分演算子であるラプラス演算子の核に含まれる関数です。

数学において、微分演算子（かくりつひき演算子）とは、微分演算子の関数として定義される演算子です。まず表記法の観点から、微分を、関数を引数として別の関数を返す（コンピュータサイエンスにおける高階関数のような）抽象的な演算として考えると分かりやすいでしょう。

この記事では、最も一般的な線形微分作用素を主に扱います。ただし、シュワルツ微分のような非線形微分作用素も存在します。

意味

非負整数mが与えられたとき、位数線形微分演算子は関数空間から別の関数空間への写像であり、次のように表すことができます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ ここで、 は非負整数、 、の多重添字であり、各 に対して、はn次元空間内の開領域上の関数である。この演算子は次のように解釈される。 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle D^{\alpha}}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

したがって関数の場合： ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}}$$

この表記法は、 2 次導関数の対称性により正当化されます (つまり、微分順序に依存しません) 。 ${\displaystyle D^{\alpha}}$

Pの部分多項式を変数に置き換えて得られる多項式pはPの全体記号と呼ばれる。つまり、上記の Pの全体記号は次のようになる。 ここで、記号の最も高い同次成分、すなわち ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle \xi_{i}}$ $${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

はPの主記号と呼ばれる。^{[ 1 ]}全体記号は本質的に定義されていないが、主記号は本質的に定義されている（つまり、余接束上の関数である）。^{[ 2 ]}

より一般的には、EとFを多様体X上のベクトル束とする。このとき、線型作用素

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

は、X上の局所座標において、次式が成り立つ とき、位数の微分作用素である。${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{低次の項}}}$

ここで、各マルチインデックスα に対して、はインデックス α に関して対称な バンドル マップです。${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Pのk次の係数は^対称テンソルとして変換される

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

の領域はXの余接束とEのk^次対称冪のテンソル積であり、その余領域はFである。この対称テンソルはPの主記号（または単に記号）として知られる。

座標系x ^{i は、ファイバー座標 ξ} _iを決定する座標微分 d x ⁱによって、余接束の局所的自明化を可能にする。EとFのフレームe _μ、f _νの基底に関して、微分作用素P は、以下の成分に分解される 。

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

Eの各セクションu上のP _νμは次のように定義されるスカラー微分演算子である 。

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

この単純化により、主記号は次のように書けるようになる。

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }。$

Xの固定点x上の余接空間において、記号は内の値を持つ内のk次同次多項式を定義します。 ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

フーリエ解釈

微分作用素Pとその記号は、フーリエ変換との関連で次のように自然に現れる。ƒをシュワルツ関数とする。逆フーリエ変換により、

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

これはPをフーリエ乗数として示している。この積分が適切に動作するξにおける多項式増加条件を最大で満たす関数p ( x ,ξ)のより一般的なクラスは、擬微分演算子である。

例

• 微分作用素が楕円型であるとは、その記号が可逆な場合、すなわち、すべての非零に対して束写像が可逆な場合である。コンパクト多様体上では、楕円型理論から、 Pはフレドホルム作用素であることが示され、有限次元核と余核を持つ。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$ ${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• 双曲型偏微分方程式と放物型偏微分方程式の研究では、主記号の零点は偏微分方程式の特性に対応します。
• 物理科学への応用では、ラプラス演算子などの演算子は偏微分方程式の設定と解法において重要な役割を果たします。
• 微分位相幾何学では、外微分演算子とリー微分演算子は固有の意味を持ちます。
• 抽象代数学において、微分の概念は微積分を必要としない微分作用素の一般化を可能にする。このような一般化は代数幾何学や可換代数において頻繁に用いられる。Jet (数学)も参照のこと。
• 複素変数z = x + i yの正則関数の展開において、複素関数は2つの実変数xとyの関数として扱われることがあります。偏微分演算子であるヴィルティンガー導関数が用いられます。このアプローチは、複数の複素変数の関数やモーター変数の関数の研究にも用いられます。$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
• 微分演算子del は、ナブラとも呼ばれ、重要なベクトル微分演算子です。物理学では、マクスウェル方程式の微分形式など、頻繁に登場します。3次元直交座標では、 del は次のように定義されます。

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del は勾配を定義し、さまざまなオブジェクトの回転、発散、およびラプラシアン を計算するために使用されます。

• カイラル微分演算子。今のところは[1]を参照。

歴史

微分演算子を独立したものとして記述するという概念的なステップは、1800年にルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストによって考案されたとされています。 ^{[ 3 ]}

表記

最も一般的な微分演算子は、導関数を取ることです。変数xに関する1次導関数を取るための一般的な表記法には、以下のものがあります。

${\displaystyle {d \over dx}}$ 、、そして。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{x},}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

n次以上の高次導関数を取る場合、演算子は次のように記述されます。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$ 、、、 または。${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

引数xの関数fの導関数は、次のいずれかとして与えられることがあります。

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

D記法の使用と創造は、次のような形式の微分演算子を考えたオリバー・ヘヴィサイドによるものである 。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

微分方程式の研究において。

最も頻繁に見られる微分演算子の1つはラプラシアン演算子であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

もう一つの微分演算子はΘ演算子またはシータ演算子であり、 ^{[ 4 ]}で定義される。

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

これは、その固有関数がzの単項式であるため、同次演算子と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

n変数の場合、同次演算子は次のように与えられる。 $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

1変数の場合と同様に、 Θの固有空間は同次関数の空間です。（オイラーの同次関数定理）

数学の慣例に従い、微分演算子の引数は通常、演算子自体の右側に置かれます。ただし、別の表記法が用いられる場合もあります。演算子の左側の関数と右側の関数に演算子を適用した結果、および両側の関数に微分演算子を適用した際の差は、以下のように矢印で表されます。

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

このような双方向矢印表記は、量子力学の 確率流を記述するために頻繁に使用されます。

演算子の随伴

線型微分作用素が与えられたとき、この作用素の随伴 作用素は、スカラー積または内積を 表す記法が 用いられる作用素として定義される。したがって、この定義はスカラー積（または内積）の定義に依存する。 ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$ ${\displaystyle T^{*}}$ $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

1変数の形式的随伴関数

実区間（a、b）上の二乗可積分関数の関数空間において、スカラー積は次のように定義される。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

ここで、 f ( x )上の直線はf ( x )の複素共役を表す。さらに、 fまたはgが0かつとなるという条件を加えると、 Tの随伴項を次の ように定義できる。${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle x\to b}$ $${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

この式はスカラー積の定義に明示的に依存しません。そのため、随伴演算子の定義として選択されることがあります。この式に従って が定義されている場合、それはTの形式的随伴演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle T^{*}}$

(形式的に)自己随伴演算子は、それ自身の (形式的に) 随伴演算子と等しい演算子です。

いくつかの変数

Ω がR ⁿの領域で、P がΩ 上の微分作用素である場合、Pの随伴作用素はL ² (Ω)において同様に双対性によって定義されます。

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

すべての滑らかなL ²関数f、gに対して。滑らかな関数はL ^{2で稠密なので、これは}L ²の稠密部分集合上の随伴関数を定義します。P ^*は稠密に定義された演算子です。

例

シュトゥルム・リウヴィル作用素は形式的自己随伴作用素のよく知られた例である。この2階の線型微分作用素Lは次のように書ける。

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

この性質は上記の正式な随伴定義を用いて証明することができる。^{[ 5 ]}

この演算子は、この演算子の固有関数（固有ベクトルの類似物）が考慮される Sturm – Liouville理論の中心です。

プロパティ

微分は線形であり、すなわち

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

ここで、fとgは関数、aは定数です。

Dの任意の多項式で関数係数を持つものも微分作用素である。また、微分作用素は、以下の規則によって 合成することもできる。

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

ここで注意が必要です。まず、演算子D _{2の任意の関数係数は、} D ₁の適用に必要な回数だけ微分可能でなければなりません。このような演算子の環を得るには、使用する係数のすべての階数の導関数を仮定する必要があります。次に、この環は可換ではありません。つまり、演算子gD は一般にDgと同じではありません。例えば、量子力学における基本的な関係があります。

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

対照的に、 Dの定数係数多項式である作用素の全体からなる部分環は可換である。これは別の方法で特徴付けることができる。すなわち、並進不変な作用素からなる。

微分演算子もシフト定理に従います。

多項式微分作用素の環

一変数多項式微分作用素環

Rが環であるとき、変数DとXについてR上の非可換多項式環を とし、DX − XD − 1によって生成される両側イデアルをI とする。このとき、 R上の一変数多項式微分作用素環は商環である。これは非可換単純環である。すべての元は、 の形の単項式のR線型結合として一意に表すことができる。これは、多項式のユークリッド除算に類似している。 ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

上の微分加群（標準微分の場合）は、上の加群と同一視できます。 ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

多変数多項式微分作用素環

Rが環であるとき、変数R上の非可換多項式環をIとし、元によって生成される両側イデアルを Iとする。${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$ ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

クロネッカーのデルタであるすべての に対して となる。このとき、 R上の多変数多項式微分作用素環は商環 となる。${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

これは非可換単純環である。各元は、 の形の単項式のR線型結合として一意に表すことができる。${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

座標非依存記述

微分幾何学および代数幾何学において、2つのベクトル束間の微分作用素を座標に依存しない形で記述することがしばしば便利である。EとFを微分可能多様体M上の2つのベクトル束とする。R線型写像P  :Γ( E )→Γ( F )は、ジェット束Jk ( E )を介して因数分解できる場合、k次線型微分作用素と呼ばれる。言い換えれば、ベクトル束の線型写像が存在する ^。

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

そういう

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

ここで、j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E ))は、 Eの任意のセクションにそのkジェットを関連付ける延長です。

これは、 Eの与えられた断面sに対して、点x  ∈  MにおけるP ( s )の値は、xにおけるsのk次の無限小的振る舞いによって完全に決定される、ということを意味する。特に、これはP ( s )( x ) がxにおけるsの芽によって決定されることを意味し、これは微分作用素が局所的であるという表現で表現される。基本的な結果は、逆もまた真であることを示すペートルの定理である。すなわち、任意の（線型）局所作用素は微分的である。

可換代数との関係

線型微分作用素の等価だが純粋に代数的な記述は次のようになる。R線型写像Pはk次の線型微分作用素であり、任意 のk  + 1個の滑らかな関数に対して${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

ここで括弧は交換子として定義される ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

線形微分演算子のこの特徴付けは、線形微分演算子が可換代数上のモジュール間の特定のマッピングであることを示しており、この概念を可換代数の一部として見ることができるようになります。

変種

無限階微分演算子

無限次微分演算子とは、（大まかに言えば）全体の記号が多項式ではなく べき級数である微分演算子です。

不変微分演算子

不変微分演算子は、不変演算子でもある微分演算子です (たとえば、グループ作用と交換可能)。

双微分演算子

二つの関数に作用する微分作用素は双微分作用素と呼ばれる。この概念は、例えばポアソン代数の変形量子化上の結合代数構造に現れる。^{[ 6 ]}${\displaystyle D(g,f)}$

微分演算子

ミクロ微分作用素は、多様体の開集合ではなく、余接束の開集合上の作用素の一種である。これは、微分作用素の概念を余接束に拡張することによって得られる。^{[ 7 ]}

参照

• 差分演算子
• デルタ演算子
• 楕円演算子
• カール（数学）
• 分数計算
• 可換代数上の微分積分
• ラグランジアン系
• スペクトル理論
• エネルギー事業者
• 運動量演算子
• 擬微分演算子
• 根本的な解決策
• アティヤ・シンガーの指数定理（演算子の記号に関するセクション）
• マルグランジュ・エーレンプライスの定理
• 準楕円演算子

注記

1. ヘルマンダー 1983、151ページ。
2. シャピラ 1985 , 1.1.7
3. James Gasser（編）、 A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole（2000）、p. 169; Google Books。
4. EW ワイスタイン。「シータオペレーター」。2009 年 6 月 12 日に取得。

5. ${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

6. 大森秀樹; 前田雄志; 吉岡明生 (1992). 「ポアソン代数の変形量子化」 .日本学士院紀要, シリーズA, 数学科学. 68 (5). doi : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID 119540529 . 
7. シャピラ 1985、§ 1.2。 §1.3。

参考文献

• フリード、ダニエル・S.（1987）、ディラック演算子の幾何学、p.8、CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Hörmander、L. (1983)、線形偏微分演算子 I の分析、Grundl。数学。 Wissenschaft.、vol. 256、スプリンガー、土井: 10.1007/978-3-642-96750-4、ISBN 3-540-12104-8、MR  0717035。
• シャピラ、ピエール (1985)。複雑な領域の微小差動システム。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 269. スプリンガー。土井：10.1007/978-3-642-61665-5。ISBN 978-3-642-64904-2。
• ウェルズ、RO（1973）、複素多様体上の微分解析、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90419-0。

さらに読む

• フェドソフ, ボリス; シュルツェ, ベルト＝ヴォルフガング; タルハノフ, ニコライ (2002). 「楕円コーナー演算子の解析的指数式」 . Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899– 982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310 .
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの微分作用素に関するメディア
• 「微分演算子」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]