リップマシン

幾何群論において、リップスマシンはR木上の群の作用を研究する手法である。これは1991年頃、 エリヤフ・リップスの未発表研究で導入された。

R木は、すべての弧が何らかの実区間に等長である、一意に弧状連結な 計量空間である。Ripsは、 R木に自由に作用する任意の有限生成群は自由アーベル群と自由曲面群の自由積であるというMorganとShalenの予想[1]を証明した。 [2]

R木上の表面群の作用

バス＝セール理論によれば、単体木に自由に作用する群は自由群である。しかし、 R木ではもはやこの法則は成り立たない。モーガンとシャレンは、オイラー標数が−1未満の曲面の基本群もR木に自由に作用することを示したからである。[1] 彼らは、連結閉曲面Sの基本群がR木に自由に作用する場合、Sがオイラー標数が−1以上の3つの非向き付け曲面のいずれでもないことが証明された。

アプリケーション

Ripsマシンは、有限生成群Gの安定等長作用に、単体木へのGの安定作用によるその作用の特定の「正規形」近似、すなわちバス・セール理論の意味でのGの分割を割り当てる。実木への群作用は、幾何学的位相幾何学のいくつかの文脈で自然に生じる。例えば、タイヒミュラー空間の境界点[3]（タイヒミュラー空間のサーストン境界内の各点は、曲面上の測地線ラミネーションによって表される。このラミネーションは曲面の普遍被覆まで持ち上げられ、その持ち上げに対する自然な双対対象は、曲面の基本群の等長作用を備えた-木である）、適切に再スケールされたクライン群作用のグロモフ・ハウスドルフ極限[4] [5]などである。-木の使用は、サーストンのハーケン 3 次元多様体に対する双曲化定理の現代的な証明において、大幅な近道を提供する。[5] [6]同様に、 -木は、カラー・フォークトマンの外部空間[7] [8]の研究だけでなく、幾何学的群論の他の分野でも重要な役割を果たしている。たとえば、群の漸近錐はしばしば木のような構造を持ち、実数の木に対する群作用を生じる。[9] [10] -木の使用は、バス・セール理論とともに、セラによる (捩れのない)語双曲群の同型性の問題の解決、セラによる JSJ 分解理論、および自由群のタルスキ予想と極限群の理論に関するセラの研究において重要なツールである。[11] [12] R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} }

参考文献

  1. ^ ab Morgan, John W.; Shalen, Peter B. (1991)、「R木上の面群の自由作用」、Topology、30 (2): 143– 154、doi : 10.1016/0040-9383(91)90002-L、ISSN  0040-9383、MR  1098910
  2. ^ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1995)、「実木上の群の安定作用」、Inventiones Mathematicae、121 (2): 287– 321、doi : 10.1007/BF01884300、ISSN  0020-9910、MR  1346208、S2CID  122048815
  3. ^ スコラ、リチャード（1990）「曲面の分割」アメリカ数学会報、新シリーズ、23（1）：85-90、doi：10.1090/S0273-0979-1990-15907-5
  4. ^ ベストヴィナ、ムラデン（1988）「双曲空間の退化」デューク数学ジャーナル、56（1）：143-161、doi：10.1215 / S0012-7094-88-05607-4
  5. ^ ab Kapovich, Michael (2001),双曲多様体と離散群, Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser, Boston, MA, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 0-8176-3904-7
  6. ^ Otal, Jean-Pierre (2001), 「ファイバー付き3次元多様体の双曲化定理」、SMF/AMS Texts and Monographs、第7巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州およびSociété Mathématique de France、パリ、ISBN 0-8218-2153-9
  7. ^ コーエン、マーシャル; ルスティグ、マーティン (1995)、「-木とデーンツイスト自己同型に対する非常に小さな群作用」、トポロジー、34 (3): 575– 617、doi : 10.1016/0040-9383(94)00038-M R {\displaystyle \mathbb {R} }
  8. ^ レビット、ギルバート; Lustig、Martin (2003)、「F nの既約自己同型は、コンパクト化された宇宙空間で南北ダイナミクスを持っています」、Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu、2 (1): 59–72、doi :10.1017/S1474748003000033、S2CID  120675231
  9. ^ Druţu, Cornelia ; Sapir, Mark (2005)、「Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups (With an appendix by Denis Osin and Mark Sapir.)」、Topology、44 (5): 959– 1058、arXiv : math/0405030、doi : 10.1016/j.top.2005.03.003
  10. ^ Druţu, Cornelia ; Sapir, Mark (2008)、「tree-graded spaces に作用する群と相対双曲群の分割」、Advances in Mathematics、217 (3): 1313– 1367、doi : 10.1016/j.aim.2007.08.012
  11. ^ Sela, Zlil (2002)、「群上のディオファントス幾何学と自由群および双曲群の基本理論」、国際数学者会議紀要、第2巻、北京：高等教育出版社、北京、pp.  87– 92、ISBN 7-04-008690-5
  12. ^ Sela, Zlil (2001)、「群に対するディオファントス幾何学。I. マカニン-ラズボロフ図」、Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques、93 : 31–105、doi : 10.1007/s10240-001-8188-y

さらに読む

  • Gaboriau, D.; Levitt, G.; Paulin, F. (1994)、「 Rの等長写像の擬群とR木上の自由作用に関するRipsの定理」、Israel Journal of Mathematics、87 (1): 403– 428、doi : 10.1007/BF02773004、ISSN  0021-2172、MR  1286836、S2CID  122353183
  • カポビッチ、マイケル (2009) [2001]、「双曲的多様体と離散群」、モダン・バークハウザー・クラシックス、ボストン、マサチューセッツ州：バークハウザー・ボストン、doi :10.1007/978-0-8176-4913-5、ISBN 978-0-8176-4912-8、MR  1792613
  • シャレン、ピーター・B. (1987)、「群の樹状学：入門」、ゲルステン、SM（編）、群論エッセイ、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、第8巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  265– 319、ISBN 978-0-387-96618-2、MR  0919830
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rips_machine&oldid=1247486992」より取得