平均線分の長さ

幾何学において、平均線分長とは、与えられた図形内で一様にランダムに選ばれた2点を結ぶ線分の平均長さです。言い換えれば、図形内の各点が等確率で選ばれる場合の、ランダムに選ばれた2点間の期待 ユークリッド距離です。

正方形や三角形のような単純な図形であっても、その平均線分長の正確な値を求めるのは困難な場合があります。なぜなら、それらの閉じた形の式は非常に複雑になることがあるからです。例えば、次の問題を考えてみましょう。

辺の長さが 1 の正方形内のランダムに選ばれた 2 点間の平均距離はどれくらいでしょうか?

質問は単純に思えるかもしれませんが、答えはかなり複雑です。正確な値は です。 ${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}}$

正式な定義

n次元形状Sの平均線分長は、ランダムな2点xとyの間の期待 ユークリッド距離||⋅||として正式に定義される。[ ^1]

${\displaystyle \mathbb {E} [\|x-y\|]={\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\int _{S}\int _{S}\|x-y\|\,d\lambda (x)\,d\lambda (y)}$

ここでλはn次元ルベーグ測度である。

2次元の場合、これは2点（x ₁、y ₁）と（x ₂、y ₂） の距離の公式を使用して定義されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\iint _{S}\iint _{S}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}.}$

近似法

単位正方形の平均線分長さを近似するモンテカルロ法。

平均線分の長さを計算するには多次元積分の計算が必要なので、数値積分のさまざまな方法を使用して、任意の形状に対してこの値を近似することができます。

そのような方法の一つにモンテカルロ法があります。与えられた図形の平均線分長を近似するには、図形内部の2点をランダムに選び、その距離を測定します。この手順を数回繰り返すと、これらの距離の平均は最終的に真の値に収束します。

これらの方法は近似値しか提供できず、正確な値を決定するために使用することはできません。

数式

線分

長さdの線分の場合、2点間の平均距離は⁠1/3⁠ d . ^[1]

三角形

辺の長さがa、b、cの三角形の場合、その内部の2点間の平均距離は式^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}\left[{\frac {1}{a^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{a}}}\right)+{\frac {1}{b^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{b}}}\right)+{\frac {1}{c^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{c}}}\right)\right]+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(b-c)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(a-c)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(a-b)^{2}}{30c^{2}}},}$

ここでは半周長、 はを表します。 ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s-i}$

辺の長さがaの正三角形の場合、これは次の式に等しい。

${\displaystyle \left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\approx 0.364791843\ldots a.}$

正方形と長方形

辺の長さがsの正方形内の2点間の平均距離は^[3]である。

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\approx 0.521405433\ldots s.}$

より一般的には、辺の長さがlとwである長方形の平均線分長さは^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{15}}\left[{\frac {l^{3}}{w^{2}}}+{\frac {w^{3}}{l^{2}}}+d\left(3-{\frac {l^{2}}{w^{2}}}-{\frac {w^{2}}{l^{2}}}\right)+{\frac {5}{2}}\left({\frac {w^{2}}{l}}\ln \left({\frac {l+d}{w}}\right)+{\frac {l^{2}}{w}}\ln \left({\frac {w+d}{l}}\right)\right)\right]}$

長方形の対角線の長さは どこですか？${\displaystyle d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}}$

2点を正方形の異なる辺に配置する場合、平均距離は^{[3] [4]で与えられる。}

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\approx 0.869009\ldots s.}$

立方体と超立方体

n次元単位超立方体内の点間の平均距離はΔ( n )と表され、^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle \Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}}$

最初の2つの値Δ(1)とΔ(2)は、それぞれ単位線分と単位正方形を表します。

3次元の場合、単位立方体の平均線分長さは、デビッド・P・ロビンズにちなんでロビンズ定数とも呼ばれます。この定数は閉じた形を持ち、^[6]

${\displaystyle \Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}$

その数値はおよそ0.661707182...（OEISの配列A073012） である。

アンダーソンら（1976）はΔ( n )が境界を満たすことを示した^[7]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\tfrac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left[1+2\left(1-{\frac {3}{5n}}\right)^{1/2}\right]}}.}$

単位立方体の2つの異なる面から点を選択すると、次のような閉じた形の結果も得られます。^[4]

${\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.}$

円と球

半径rの円周上の点間の平均弦長は^[8]である。

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}r\approx 1.273239544\ldots r}$

そして、半径rの球面上の点を選ぶことは^[9]である。

${\displaystyle {\frac {4}{3}}r}$

ディスク

半径rの円板内の点間の平均距離は^[10]である。

${\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}r\approx 0.905414787\ldots r.}$

ハーフディスクとクォーターディスクの値も知られています。^[11]

半径1の半円の場合:

${\displaystyle {\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\approx 0.706053409\ldots }$

半径1の1/4円板の場合:

${\displaystyle {\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\approx 0.473877262\ldots }$

ボール

3次元のボールの場合、これは

${\displaystyle {\frac {36}{35}}r\approx 1.028571428\ldots r.}$

より一般的には、 n球の平均線分長さは^[1]

${\displaystyle {\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r}$

ここでβ _{n は}nの偶奇性に依存し、

${\displaystyle \beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}}$

一般的な境界

BurgstallerとPillichshammer（2008）は、直径1のn次元ユークリッド空間のコンパクト部分集合の平均線分長さLが^[1]を満たすことを示した。

${\displaystyle L\leq {\sqrt {\frac {2n}{n+1}}}{\frac {2^{n-2}\Gamma (n/2)^{2}}{\Gamma (n-1/2){\sqrt {\pi }}}}}$

ここでΓはガンマ関数を表す。n = 2の場合、より強い境界が存在する。

${\displaystyle L\leq {\frac {229}{800}}+{\frac {44}{75}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {19}{480}}{\sqrt {5}}=0.678442\ldots }$

参考文献

1. Burgstaller, Bernhard; Pillichshammer, Friedrich (2009). 「2点間の平均距離」.オーストラリア数学会報. 80 (3): 353– 359. doi : 10.1017/S0004972709000707 .
2. Weisstein, Eric W.「三角形の線の選択」。MathWorld。
3. Weisstein, Eric W.「Square Line Picking」. MathWorld .
4. Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Kapoor, Vishaal; Weisstein, Eric W. (2006). 「実験数学における10の問題」 .アメリカ数学月刊誌. 113 (6): 481– 509. doi :10.2307/27641975. hdl : 1959.13/928097 . ISSN  0002-9890. JSTOR  27641975.
5. Weisstein, Eric W.「ハイパーキューブラインピッキング」。MathWorld。
6. Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978)、「箱の中の2点間の平均距離（基本問題E2629の解）」、American Mathematical Monthly、85 (4): 277– 278、doi :10.2307/2321177、JSTOR  2321177。
7. Anderssen, RS; Brent, RP; Daley, DJ; Moran, PAP (1976). 「∫ 0 1 ⋯ ∫ 0 1 ( x 1 2 + ⋯ + x k 2 ) 1 / 2 d x 1 ⋯ d x k {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})^{1/2}dx_{1}\cdots dx_{k}} とテイラー級数法について」(PDF) . SIAM Journal on Applied Mathematics . 30 (1): 22– 30. doi :10.1137/0130003.
8. Weisstein, Eric W.「Circle Line Picking」. MathWorld .
9. Weisstein, Eric W.「球面直線選択」。MathWorld。
10. Weisstein, Eric W.「ディスクラインピッキング」。MathWorld。
11. Weisstein, Eric W.「円セクターラインピッキング」。MathWorld。

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「平均線分長さ」。MathWorld。