幾何学において、ロビンスの五角形は、辺の長さと面積がすべて有理数である円 五角形です。
歴史
ロビンズ五角形は、円周五角形の面積を辺の長さの関数として表す公式を以前に提示していたデイビッド・P・ロビンズ[1]にちなんで、ブッフホルツとマクドゥーガルによって命名されました。 [2]ブッフホルツとマクドゥーガルは、三角形の面積を辺の長さの関数として表すヘロンの公式を発見したアレクサンドリアのヘロンにちなんでヘロン三角形を命名したことから、この名前を選びました。[1]
面積と周囲
すべてのロビンズの五角形は、辺と面積が整数になるように拡大縮小できます。さらに強力なことに、ブッフホルツとマクドゥーガルは、辺の長さがすべて整数で面積が有理数であれば、面積も必然的に整数になり、周囲は必然的に偶数になることを示しました。[1]
対角線
ブッフホルツとマクドゥーガルはまた、すべてのロビンズ五角形において、5つの内対角線すべてが有理数であるか、どれも有理数でないかのいずれかであることを示しました。[1] 5つの対角線が有理数である場合（サストリーはこれをブラフマグプタ五角形と呼びました） [3] 、その外接円の半径も有理数でなければならず、五角形は任意の2つの交差しない対角線に沿って切断することで3つのヘロン三角形に分割するか、円の中心から頂点までの5つの半径に沿って切断することで5つのヘロン三角形に分割することができます。[1]
ブッフホルツとマクドゥーガルは、無理対角線を持つロビンズ五角形を計算機で探索したが、発見できなかった。この否定的な結果に基づき、彼らは無理対角線を持つロビンズ五角形は存在しない可能性があると示唆した。[1]
注釈
- ^ abcdef Buchholz & MacDougall 2008.
- ^ Robbins 1994; Robbins 1995
- ^ サストリー 2005.
参考文献
- Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008)、「有理的な辺と面積を持つ巡回多角形」、Journal of Number Theory、128 (1): 17– 48、doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005、MR 2382768、2018年11月12日にオリジナルからアーカイブ、 2012年2月14日取得。
- ロビンズ、デイビッド・P.（1994）「円に内接する多角形の面積」、離散幾何学と計算幾何学、12（2）：223-236、doi：10.1007/BF02574377、MR 1283889
- ロビンズ、デイビッド・P.（1995）「円に内接する多角形の面積」アメリカ数学月刊誌、102（6）：523-530、doi：10.2307/2974766、JSTOR 2974766、MR 1336638。
- Sastry, KRS (2005)、「Brahmagupta n-gonsの構築」(PDF)、Forum Geometricorum、5 : 119– 126、MR 2195739、2024年4月16日にオリジナルからアーカイブ、 2025年10月16日取得
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