ローゼンブロックシステムマトリックス

応用数学において、ローゼンブロックシステム行列、あるいは線形時不変システムのローゼンブロックシステム行列は、状態空間表現と伝達関数行列形式を橋渡しする有用な表現である。これは1967年にハワード・H・ローゼンブロックによって提唱された。^[1]

意味

動的システムを考える

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

ローゼンブロックシステム行列は次のように与えられる。

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

Rosenbrock のオリジナルの研究では、定数行列はの多項式であることが許可されています。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle s}$

入力 と出力間の伝達関数は次のように表される。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

ここではの列であり はの行です。 ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C}$

この表現に基づいて、ローゼンブロックは独自の PBH テストを開発しました。

短縮形

計算目的には、ローゼンブロックシステム行列の短縮形がより適切であり^[2]、次のように表される。

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

ローゼンブロックシステム行列の短縮形は、制御理論におけるH無限大法で広く使用されており、パック形式とも呼ばれています。MATLABのコマンドpckを参照してください。^{[3]ローゼンブロックシステム行列を線形分数変換として解釈する方法は、 [4]}で見つけることができます。

ローゼンブロック形式の最初の応用の一つは、ピボット要素法に基づくカルマン分解の効率的な計算法の開発であった。ローゼンブロック法の変種は、 Matlab ^[5]および GNU Octaveのminrealコマンドに実装されている。

参考文献

1. Rosenbrock, HH (1967). 「線形定数システム方程式の変換」. Proc. IEE . 114 : 541–544 .
2. Rosenbrock, HH (1970).状態空間と多変数理論. ネルソン.
3. 「Mu Analysis and Synthesis Toolbox」 . 2014年8月25日閲覧。
4. 周, ケミン; ドイル, ジョン・C.; グローバー, キース (1995).ロバストかつ最適制御. プレンティス・ホール.
5. De Schutter, B. (2000). 「線形システム理論における最小状態空間実現：概要」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 121 ( 1–2 ): 331– 354. Bibcode :2000JCoAM.121..331S. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00341-1 .