ラウスの定理
1つの三角形と3つのセビアンが交差して形成される三角形の面積比
ラウスの定理

幾何学において、ラウスの定理は、与えられた三角形と、3つのセビアンの2つの交点によって形成される三角形の面積比を決定する。定理は、三角形 の点、、 が線分 、 、 上にある場合、、 、と書くと、セビアン、、によって形成される三角形の符号付き面積は あ B C {\displaystyle ABC} D {\displaystyle D} E {\displaystyle E} F {\displaystyle F} B C {\displaystyle BC} C あ {\displaystyle CA} あ B {\displaystyle AB} C D B D ＝ × {\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x} あ E C E ＝ y {\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y} B F あ F ＝ z {\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z} あ D {\displaystyle AD} B E {\displaystyle BE} C F {\displaystyle CF}

S あ B C （ × y z − 1 ） 2 （ × y + y + 1 ） （ y z + z + 1 ） （ z × + × + 1 ） 、 {\displaystyle S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}

三角形の面積はどこですか？ S あ B C {\displaystyle S_{ABC}} あ B C {\displaystyle ABC}

この定理は、エドワード・ジョン・ラウスが1896年に著した『解析静力学に関する論文集（多数の例を含む） 』の82ページで示されました。この特定のケースは、面積が7分の1の三角形として広く知られています。このケースは、3つの中線が（重心を通して）交わることを意味します。 × ＝ y ＝ z ＝ 2 {\displaystyle x=y=z=2} × ＝ y ＝ z ＝ 1 {\displaystyle x=y=z=1}

証拠

ラウスの定理

三角形の面積が1であるとする。三角形と直線について、メネラウスの定理は次を意味する。 あ B C {\displaystyle ABC} あ B D {\displaystyle ABD} F R C {\displaystyle FRC}

あ F F B × B C C D × D R R あ ＝ − 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=-1} 。

すると三角形の面積は D R R あ ＝ B F F あ × C D C B ＝ z × × + 1 {\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {CD}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}} あ R C {\displaystyle ARC}

S あ R C ＝ あ R あ D S あ D C ＝ あ R あ D × D C B C S あ B C ＝ × z × + × + 1 {\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}

同様の議論により、そして。したがって三角形の面積は S B P あ ＝ y × y + y + 1 {\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}} S C 質問 B ＝ z y z + z + 1 {\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}} P 質問 R {\displaystyle PQR}

S P 質問 R ＝ S あ B C − S あ R C − S B P あ − S C 質問 B ＝ 1 − × z × + × + 1 − y × y + y + 1 − z y z + z + 1 ＝ （ × y z − 1 ） 2 （ × z + × + 1 ） （ y × + y + 1 ） （ z y + z + 1 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}

引用

ラウスの定理の引用文献として一般的に挙げられるのは、1896年第2版の『解析静力学に関する論文集』（Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples）第1巻第4章82ページです。これはおそらく、この版の方が入手しやすかったためでしょう。しかし、ラウスは1891年第1版第4章89ページで既にこの定理を述べています。版によってページ番号は異なりますが、関連する脚注の文言は同じです。ラウスはこの長い脚注を、次のような警告で締めくくっています。

筆者は、2つの三角形の面積を表すこれらの表現にはあまり遭遇したことがありませんでした。そのため、本文中の議論をより容易に理解できるように、ここにこれらの表現を記載しました。

おそらくラウスは、版を重ねるごとに状況は5年間変わっていないと感じていたのだろう。一方で、ラウスの著書のタイトルは、以前アイザック・トッドハンターによって使用されており、二人ともウィリアム・ホプキンスの指導を受けていた。

ラウスはその著書で定理を発表したが、最初に公表された記述と証明は、その年のケンブリッジ数学トリポスである『1878年のケンブリッジ上院の問題と解答』33ページの補足事項(vii)として発表された。そのセクションのローマ数字の問題の著者はジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャーで、彼はその全巻の編集も手がけた。ラウスはその著書が出版された当時は有名なトリポスのコーチであり、1878年のトリポス試験の内容にも精通していたことは間違いないが、上で引用した彼の発言からわかるように、それから13年の間に定理の出典を忘れていたのかもしれない。

この精神の問題は、娯楽数学や数学教育学において長い歴史を持っているが、おそらくその最も古い例の 1 つは、ストマキオン盤の 14 領域の比率の決定であろう。ラウスのケンブリッジを念頭に置くと、一部の説明ではリチャード ファインマンと関連付けられる7 分の 1 の面積の三角形は、例えば、トリニティ カレッジのロバート ポッツ (1805-1885) が 1859 年に出版した『ユークリッド幾何学原論 (第 5 校版)』の 80 ページにある問 100に出てくる。同じページにある問 98、99 も参照のこと。ポッツは 1832 年に第 26 代ラングラーとなり、その後、ホプキンスやラウスと同様、ケンブリッジで指導に当たった。ポッツの幾何学に関する解説的な著作は、1862 年の万国博覧会でメダルを受賞したほか、名誉ある賞を受賞バージニア州ウィリアムズバーグのウィリアム・アンド・メアリー大学で法学博士号を取得。

参考文献

  • Murray S. KlamkinとA. Liu (1981)「Routhの定理のさらに3つの証明」、Crux Mathematicorum 7:199–203。
  • HSM Coxeter (1969) 『幾何学入門』、声明p.211、証明pp.219–220、第2版、Wiley、ニューヨーク。
  • JS KlineとD. Velleman (1995)「Routhの定理のもう一つの証明」 (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
  • イヴァン・ニーヴン（1976）「ラウスの定理の新しい証明」、数学雑誌49(1): 25–7、doi :10.2307/2689876
  • Jay Warendorff、「Routh の定理」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
  • ワイスタイン、エリック・W.「ラウスの定理」。MathWorld。
  • MathPagesのクロス積によるラウスの定理
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012)「ラウスの定理の再考」、Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27。
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