ロウボトム基数

集合論において、ロウボトム基数はロウボトム （1971 ）によって導入された 、ある種の大きな基数 です

非可算基数が-Rowbottomであるとは、すべての関数f : [κ] ^{<ω → λ (ただし λ < κ) に対して、} fに対して準同次である順序タイプの集合Hが存在する場合、つまり、すべてのnに対して、Hのn要素部分集合の集合のf像が<要素を持つ場合です。が-Rowbottom である場合、それはRowbottomです。 ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

すべてのラムゼー基数はロウボトム基数であり、すべてのロウボトム基数はジョンソン基数である。クラインベルクの定理により、理論 ZFC +「ロウボトム基数が存在する」と理論 ZFC +「ジョンソン基数が存在する」は無矛盾である。

一般に、Rowbottom基数は通常の意味での大きな基数である必要はありません。Rowbottom基数は特異なとなる可能性があります。ZFC + “ is Rowbottom” が整合しているかどうかは未解決の問題です。もし整合しているならば、Rowbottom基数の存在よりもはるかに高い整合性強度を持ちます。決定性公理はがRowbottomであることを意味します（ただし、選択公理 とは矛盾します）。 ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

参考文献

• 金森明宏(2003). 『高次の無限：集合論における大基数とその始まり』（第2版）. シュプリンガー. ISBN 3-540-00384-3。
• ロウボトム、フレデリック(1971) [1964]、「構成可能性公理と両立しないいくつかの強い無限公理」、純粋応用論理年報、3 (1): 1– 44、doi : 10.1016/0003-4843(71)90009-X、ISSN  0168-0072、MR  0323572