マルテロイオの法則
アンドレア・ビアンコの1436年の地図帳にあるトンド・エ・クアドロ（円と正方形）

マルテロイオの法則は、コンパスの方向、距離、そしてトレタ・デ・マルテロイオとして知られる簡単な三角関数表を用いた中世の航海計算技術です。この法則は、トレタと基本的な算術を用いて三角形を分解し、 2つの異なる航路間の航路を航海士が計画する方法を教えました。

数字の操作に不安のある人は、視覚的なトンド・エ・クアドロ（円と四角）に頼り、除算器を使って答えを求めることができます。マルテロイオの法則は、天文航法が発達する以前の14世紀から15世紀にかけて、地中海の航海士によって広く用いられていました。

語源

語源はヴェネツィア語に由来する。ヴェネツィアの船長であり地図製作者でもあったアンドレア・ビアンコは、1436年に著した地図帳の中で、「トレタ・デ・マルテロイオ（toleta de marteloio）」（「マルテロイオの表」）と名付けた数字表と、その使用法を「ラソン・デ・マルテロイオ（raxon de marteloio）」（「マルテロイオの理由」）と称した。

marteloioの意味自体は定かではない。最も広く受け入れられている説は、AE Nordenskiöldによって初めて提唱されたもので、marteloio は「ハンマー」（ヴェネツィア語で「martelo」）に由来し、船内の鐘を叩いて時刻を知らせる小さなハンマーを指すというものである。[ 1 ]接尾辞-oioは、 marteloio がハンマー自体やハンマー打ち手ではなく、「ハンマーの音」を意味し、4時間ごとの当直交代に伴う「ハンマーの音、騒音、ざわめき」を意図していたことを示唆しているという説もある。当直交代時には多くの船員が甲板上にいたため、船長が（必要であれば）方位変更を指示する絶好の機会であったと考えられる。[ 2 ]

他の仮説（あまり受け入れられていない）としては、「marteloio」はmari logio（「海の支配」の意）の訛りである[ 3 ] 、またはmare tela（「海のネットワーク」の意）から来ている[ 4 ] 、またはギリシャ語のhomartologium（όμαρτόλογίον、「仲間の品」の意）から派生した[ 5 ] 、またはギリシャ語のimeralogium（ήμερόλογίον、「日々の計算」の意）から派生した[ 6 ]、または北フランスのmatelotから来ており、これがブルターニュ語のmartolod（「船員」の意）から来ているというものである[ 7 ]

目的

15世紀の船乗りが船上でコンパスを調べている様子（ジョン・マンデヴィルの『東方旅行記』、1403年より）

「マルテロイオの法則」は中世ヨーロッパの航海術、特に14世紀から16世紀にかけての地中海で用いられたが、その起源はもっと古い可能性もある。地理座標の出現やヨーロッパにおける天測航法の発展以前、マルテロイオの法則は「羅針盤と海図」による航海術に不可欠な要素であった。[ 8 ]

中世の航海術は、方向と距離という二つのパラメータに依存していました。船上では、方向は航海士の羅針盤（1300年頃に登場）によって決定されました。[ 9 ]距離は推測航法（距離＝速度×時間）によって測定され、時間は半砂時計で計測され、速度は何らかのチップログによって測定されました（14世紀と15世紀に用いられた古風な方法では、木片や漂流物を船外に投げ捨て、乗組員は木片が船の長さを超えて漂流するのにかかった時間をリズミカルに歌い上げていました）。[ 10 ]

1325年頃から1350年頃にかけてのジェノヴァのポルトラン海図（匿名）。（ワシントンD.C.、議会図書館）

航路を描くには、A地点とB地点の間のコンパスの方向と距離を知ることが必要でした。港同士の位置関係に関する知識は、航海士が長年の経験から得たものでした。この情報は、時にはポルトラーノ（イタリア語で「港帳」、ギリシャ語のperiplus、ポルトガル語のroteiro、英語のrutterに相当）と呼ばれる水先案内人のハンドブックに収集され、書き留められました。これらのハンドブックは、ポルトラン海図と呼ばれる海図の作成に使用されました。ポルトラン海図は13世紀後半にジェノバで作られ始め、すぐにヴェネツィアやマヨルカ島にも広まりました。ポルトラン海図は、経度線と緯度線で格子状に区切られておらず、むしろコンパスの方位線で網掛けされており、船乗りには場所間の距離と方向しか分かりませんでした。

伝統的な名前 (および伝統的なカラー コード) を持つ32 風コンパス ローズ。

航海士は、ハンドブックやポルトラン海図を見れば、例えばピサがジェノヴァの南東85マイル（伝統的な羅針盤の名称では「シロッコ」）にあることをすぐに理解できます。したがって、ジェノヴァからピサへ出航する船は、その距離の間、その方位を維持するだけで済みます。しかし、ほとんどの航路はそれほど単純ではありませんでした。マヨルカ島からナポリへ航海したい船乗りは、ナポリが真東（「レヴァンテ」）約600マイルにあると分かります。しかし、サルデーニャ島が航路の途中にあるため、航路に沿って船の方位を変更しなければなりません。これは言うは易く行うは難しです。なぜなら、当時は地理座標が存在しなかったからです。海上で船の正確な位置を特定する唯一の方法は、過去の方位と航行距離を計算することだけでした。[ 11 ]

島々は予測可能な障害物でした。サルデーニャ島を迂回するには、一定距離を南東に航行し、残りの距離は方位を北東（「グレコ」）に変えるだけで済みました。より問題となるのは、船が突発的な風で予定の航路から吹き飛ばされたり、何度も方位を変えてタッキングを余儀なくされたりした場合です。どのようにして予定の航路に戻るのでしょうか？ここでマルテロイオの法則が登場しました。

トラバース問題

マルテロイオの法則は、海上で方位変更を行う際の問題に対処しました。より具体的には、航海士が航路から別の航路への横断計画を立てる上で役立ちました。[ 12 ]例えば、コルシカ島からジェノヴァへ、約130マイルにわたって真北（「トラモンターナ」）の航路を進む船があるとします。しかし、風が吹かず、船は北西（「マエストロ」）の約70マイルを航行せざるを得ませんでした。どのようにして元の航路に戻るのでしょうか？方位を北東（「グレコ」）に再設定するのは理にかなっているように思えますが、その方位でどれくらい航行するべきでしょうか？航海士は、船が元の航路に到達し、再び北に進路を変えるべき時をどのようにして知るのでしょうか？元の航路を行き過ぎたり、行き過ぎたりすることを避けるにはどうすればよいでしょうか？

トラバース問題：予定コースAB（方位北）、実コースAC（方位北西）。リトルノ（復路CD、方位北東）とアヴァンゾ（予定コースで到達した距離）を計算するには、三角形ACDを解く必要がある。

これは三角形を解く数学の問題です。船が誤った針路をたどってどれだけの時間を航行してきたかが航海士であれば、予定の針路からの現在の距離を計算し、新しい方位に戻って古い針路に戻るまでにどれだけの時間を航行しなければならないかを見積もることができます。コルシカ島からジェノバへの例では、暗黙の三角形ACDがあり、1 つの辺 ( ACは実際の北西針路で 70 マイル) が与えられており、Aの角度は 45° (実際の針路北西と予定の針路北との間の角度の差)、Cの角度は 90° (実際の針路北西と復路北東との間の角度の差) です。航海士にとっての課題は、北東の復路でどれだけの時間航行しなければならないか ( 辺CDの長さ、いわゆるリトルノ)、および、直線に戻るまでに予定の針路をどれだけ進んだか ( 斜辺ADの長さ、いわゆるアヴァンゾ全体) を見つけることです。

これは基本的な三角法で、1辺（70）と2つの角度（45°と90°）から2辺を求めます。これは正弦定理を適用することで簡単に行えます。

70 マイル罪⁡D＝リトルノ罪⁡45＝アヴァンゾ罪⁡90{\displaystyle {\frac {70{\text{ マイル}}}{\sin D}}={\frac {\text{ritorno}}{\sin 45}}={\frac {\text{avanzo}}{\sin 90}}}

解はritorno = 70マイル、avanzo = 98.99マイルとなる。これは、船が現在の位置（C ）から北東に方位を取った場合、北東方位で70マイル航行すれば当初の予定針路に到達することを意味する。合流点（ D ）に到達するまでに、当初の予定針路の98.99マイルを航行することになる。そこで方位を北に直し、ジェノヴァまでの残りの約30マイルを航行することができる。

残念なことに、14世紀と15世紀の初等教育しか受けていない中世の船乗りたちは、正弦定理を知ることも、それを容易に扱うこともできなかったでしょう。[ 13 ]その結果、中世の航海士たちは、より単純でアクセスしやすい計算方法を必要としていました。

ルール

ラモン・リュイの「ミリアリア」

学者であり聖職者でもあったマヨルカ島のラモン・リュルスは、航海における横断問題を解くための規則に言及した最初の著述家である。 1295年に出版された『学問の樹木』の幾何学に関する問題の部分で、リュルスは次のように記している。

船乗りは海上でマイル（miliaria in mari）をどのように計測するのでしょうか？船乗りは、東風、西風、北風、南風の4つの一般的な風に加え、その間にある4つの風、すなわちグレック（北東）、エグザロック（南東）、レベグ（南西）、マエストレ（北西）を考慮します。そして、風（方位）が角度をつけて交わる円の中心を注意深く観察します。船が中心から東風（レバント）で100マイル進む場合、南東風（エグザロック）で何マイル進むかを考慮します。200マイルの場合は、その数を2倍にして、東方向の100マイルごとの端から南東方向の対応する地点までの距離を算出します。そして、そのために彼らはこの器具（数学表？）、海図、ラッター、針、そして北極星を使用します。[ 14 ]

リュルスが説明しようとしていたと思われるのは、実際には東へ航行している船が南東へ航行するつもりでいる場合、南東方向への予定距離のうちどれだけを既に航行したかを計算できるということである。イタリア人はこれを「アヴァンザール」と呼んだが、リュルスは「ミリアリア・イン・マリ」と呼んでいるようだ。リュルスは具体的な方法については説明しておらず、おそらく三角関数の表のような「道具」について言及している。リュルスは、船員が誤った航路で実際に航行した距離に、2つの航路間の角度の余弦を掛けることで、予定航路におけるミリアリアを計算できると示唆している。 [ 15 ]

ラモン・ルルのmiliaria in mari、1295 年の作例より。
マリのミリアリア= 航海距離 × cos( θ )

ここで、θは 2 つの経路間の角度の差です。

ルルの例を用いると、南東（カタルーニャ語で「シロッコ」を意味する「エクサロク」）へ航行しようとした船が、東（レヴァント）へ航行せざるを得なくなった場合、差角はθ  = 45°となります。誤った航路で100マイル航行した後、本来の航路におけるミリアリアは100 × cos 45° = 70.71となります。誤った航路での航行を200マイルに倍増すると、本来の航路における ミリアリアは141.42マイル（= 200 cos 45°）へと倍増します。

(図式的に言えば、ルルスのmiliaria in mariは、実際の航路で航行した距離から予定の航路まで紐を通し、後者と 90° の角度で交わる直角三角形を描くことで測定されます)。

リュルスは『大将と究極』（1305年頃著）の中で、もう少し明確な見解を示している。 [ 16 ]リュルスは、実際には南東に航行しているが東へ航行するつもりの船の例を逆に挙げ、南東方位で4マイル進むごとに、意図した東進ルートで「3マイル」（実際には2.83マイル）進むと述べている。つまり、現在の航路で100マイル航行するごとに、船は意図した進路から「25マイル」（実際には29マイル）遅れることになる、とリュルスは述べている。

ラモン・ルルスはこの文章の中で、この規則を推奨しているのではなく報告しており、この規則が当時の船乗りによってすでに知られ、実際に使用されていたことをほのめかしていることに注目してください。[ 17 ]これはおそらく意外なことではありません。三角法はキリスト教ヨーロッパではまだ揺籃期にあったものの、正弦表と余弦表はアラブの数学ですでに知られていました。[ 18 ] 1230 年代までイスラム教徒の支配下にあったマヨルカ王国は、ルルスの時代には多文化の中心地であり続け、ユダヤ人コミュニティが繁栄し、その多くが数学や天文学に手を出し、その船乗りたちは地中海を越えて広範囲に交流していました。[ 19 ]マヨルカの航海士が手元に何らかの三角表を持っていたということは、あり得ないことではありません。とはいえ、1295 年にラモン・ルルスが示唆したこの表の正確な内容とレイアウトは定かではありません。

アンドレア・ビアンコの「トレタ」

アンドレア ビアンコの1436 年の地図帳にあるトレタデ マルテロイオ

船乗りの三角関数表が初めて登場するのは、リュイウスの治世から1世紀以上後のことです。1436年に刊行されたポルトラン・アトラス（Portolan Atlas）の1ページ目に、ヴェネツィアの船長アンドレア・ビアンコが、航海図（raxon de marteloio） 、つまり航路を計算して航路を回復する方法を説明しています。彼は「トレタ・デ・マルテロイオ（toleta de marteloio）」と呼ぶ簡単な三角関数表を示し、船乗りたちにこの表を記憶するよう勧めました。[ 20 ]

トレタ・デ・マルテロイオは次のように定められている。[ 21 ]

1/4 （偏角） アラルガル（コースからの距離） アヴァンザール （真の進路を進め） 1/4 （戻り角） リトルノ （コースに戻る） Avanzo di ritorno (戻り中の前進)
1209815150
2389222624
3558331815
4717141410
583555126 1⁄2​​
692386114
79820710 1 ⁄ 52 1 ⁄ 5
810008100
100マイルごとに 10マイルごとに

トレタの数字は現代の公式で近似できる：[ 22 ]

  • アラルガル = 100 × sin ( q × 11.25)
  • アヴァンザール = 100 × cos ( q × 11.25)
  • リトルノ = 10 / 罪 ( q × 11.25)
  • アヴァンツォ ディ リトルノ = 10 / タン ( q × 11.25)

ここで、q =クォーターウィンドの数（角度差はクォーターウィンドの数で表されます）。これらの数値は、クォーターウィンドが11.25°間隔、つまり11°15'間隔で設定されている場合に有効です。これは、クォーターウィンドの一般的な定義です。

トレタは、複数の数字の列を持つシンプルな表です。最初の列には、実際のコースと予定コースの差が、クォーターウィンドの数で表されます。この差が判明すると、2番目の列にはアラルガル（「拡幅」、船が予定コースから現在離れている距離）が、3番目の列にはアヴァンザール（「前進」、現在の方位で航行することで、予定コースのどれだけの距離を既に航行したかを示す値。これはラモン・リュイの「ミリアリア・ディ・マリ」に相当します）が示されます。ビアンコの表には、現在のコースで100マイル航行した時点でのアラルガルとアヴァンザールの数値が表示されます。

Bianco のToletaからalargarとavanzar を計算します。

例：ある船がA地点からB地点まで東（「レヴァンテ」）方位で航行しようとしたとします。しかし、風の影響で南東寄りのコース（SEbE、「レヴァンテ方位のシロッコ方位図」）を取らざるを得なかったとします。南東寄りのコースは、東から3クォーターウィンド（33.75°）離れた地点です（32方位コンパスでは、東からクォーターウィンドの順に、1クォーターは東寄り、2クォーターは東南東、3クォーターは南東寄りです）。つまり、航海士は  トレタの 3行目、 q = 3を参照する必要があるということです。

船が南東から東への方位で100マイル航行したとします。船員は、予定していた東進路からの距離を確認するために、alargar欄の対応する項目を読み、予定していた進路から55マイル離れていることをすぐに確認します。avanzar欄は、現在の南東から東への進路で100マイル航行した時点で、予定していた東進路の83マイルを航行したことを示しています。

次のステップは、どのようにして予定の針路に戻るかを決定することです。例を続けると、予定の東進路に戻るには、船員は船の方位を北東方向に再設定する必要があります。しかし、北東の角度には、北東（NbE）、北北東（NNE）、北東（NE）、東北東（ENE）など、様々なものがあります。船員は方位を選択する必要があります。急角度（例えば北極東）で戻れば、緩やかな角度（例えば東極北）で戻るよりも早く予定の針路に戻ります。どの角度を選択した場合でも、元の針路に戻るには、その方位でどれだけの時間航行する必要があるかを正確に推測する必要があります。航行時間が長すぎると、針路を通り過ぎてしまう危険があります。

リトルノとアヴァンツォ ディ リトルノの計算

復路の針路を計算するのは、トレタの最後の3列です。4列目には、復路の角度が、現在の針路方位ではなく、予定針路方位からの1/4角で表されます。この例では、船員は東に向かうつもりでしたが、南東極東に100マイル航行していました。風を考慮して、船を東北東（東北東、「グレコ・レヴァンテ」）に向け直して元の針路に戻るのが最善だと判断しました。東北東は予定方位である東から2クォーターウィンド上に位置するため、船員は表の4列目の2行目（「1/4角 = 2」）を参照します。

5 列目はritornoで、元の針路に戻るために選択した帰路角で移動しなければならない距離です。彼が東北東の方位 (q = 2) で戻ることを選択したので、彼はritorno列の 2 行目、つまり 26 という数字を読み取らなければなりません。これは、彼が 10 マイル外れるごとに東北東の方位で移動しなければならないマイル数を表しています。彼の alargar (予定針路からの距離) は 55 マイルだったことを思い出してください。したがって、予定の針路に戻るには、東北東に 5.5 × 26 = 143 マイル移動しなければなりません。言い換えると、彼は 143 マイルの間東北東の方位を維持する必要があり、その距離を移動したら船を東にまっすぐにすれば、まさに予定の針路に戻ることができます。

6番目で最後の列（avanzo di ritorno）は、彼が帰路に着いた際に、予定していた航路を進んだ距離を示しています。これも10マイル（alargar）あたりの距離で表されます。彼のalargarは55、帰路の角度は東北東（q = 2）でした。つまり、avanzo di ritornoは5.5 × 24 = 132となります。言い換えれば、すべてが順調に進み、船員が東北東の方位を143マイル（ritorno ）維持した場合、その帰路で、彼は予定していた東進路（ avanzo di ritorno ）をさらに132マイル進んだことになります。

最後に、航海全体を通して東方へ向かって進んだ総距離（アヴァンゾ）を計算するには、偏向中のアヴァンツァル（83マイル）とアヴァンゾ・ディ・リトルノ（132マイル）を加算する必要がある。したがって、全体として、彼は予定の航路で83 + 132 = 215マイルを航行したことになる。出発点（A）から地図上でこの距離を測ることで、船乗りは自分の正確な現在位置を把握できる。

これがトレタ・デ・マルテロイオの最も単純な使い方です。トレタは本質的に三角関数の表です。しかし、正弦定理のように横断問題を一度に解くのではなく、問題を2つの直角三角形に分割し、それぞれを順番に解いていきます。現代の三角法では、アラガルを計算する手順を省き、リトルノを直接計算しますが、そのためには完全な正弦表を用意する必要があります。トレタは比較的単純な表で、参照や計算が容易であり、航海士が暗記できるほどコンパクトです（ビアンコの推奨通り）。

3つのルール

トレタ・デ・マルテロイオは、100と10といった端数で表現されます。しかし実際には、船は通常、帰路につく前に100マイルを航行するのではなく、例えば65マイルといった別の距離を航行します。これを計算するには、比率を解くという単純な問題があります。例えば、船が南東微東に65マイル航行した場合、東に向かう予定の航路からアラガルを計算するには、次の式をxについて解くだけで済みます。

55100＝×65{\displaystyle {\frac {55}{100}}={\frac {x}{65}}}

ここで、55は100マイルのアラルガル（表の2列目、q = 3の箇所）です。これは、3つの数を用いて、連続した掛け算と割り算によって4番目の数を求める、 単純な「 3の法則」によって簡単に求められます。

x = 65 × 55 ÷ 100

したがって、東南東に65マイル航行する場合、alargar = x = 35.75マイルとなります。avanzarなども同様です。

「3の法則」は14世紀に既に知られていましたが、中世の船乗りたちにとって、ほとんど文字の読み書きができなかったため、掛け算と割り算の技能を習得するのは容易ではありませんでした。しかし、不可能ではありませんでした。アンドレア・ビアンコが説いたように、航海士は「上手に掛け算し、上手に割り算する方法を知る」（「saver ben moltiplichar e ben partir」）べきでした。[ 23 ] ここに、商業と航海の重要な接点が見られます。商業数学 ―アラビア数字、掛け算、割り算、分数、商品の売買やその他の商取引を計算するために必要なツール ― は、航海の数学と本質的に同じでした。[ 24 ]そして、この種の数学は、13世紀に北イタリアの商業中心地で設立された算盤学校で教えられていました。まさにこの階級から、イタリアの航海士が輩出されていたのです。歴史家EGRテイラーは「船員は日常業務で数学を活用した最初の職業集団であった」と指摘している[ 25 ]。

円と四角

トンド・エ・クアドロの基本的な特徴の再現

数字を扱う高度な技術に難しさを感じる人々にとって、代替手段がありました。それは「円と正方形」（トンド・エ・クアドロ）として知られる視覚的表現で、アンドレア・ビアンコが1436年に著した地図帳にも用いられています。[ 26 ]

この円は32方向の羅針盤（または等角線の集合）で、8×8の正方格子が内接していた。

中央の羅針盤は見過ごして構わない。実際、円自体も無視して構わない。グリッドを横切る光線を描く以外の目的はないように思えるからだ。[ 27 ]問題の羅針盤は、正方形グリッドの左上隅にある。その隅から、一連の羅針盤の方位線が放射状に伸びている。1436 年のオリジナルの『トンド・エ・クアドロ』では、ビアンコは 16 本の放射状の光線を描いている。つまり、ビアンコは半四分風、あるいは第 8 風 (オタヴァ) を含めており、放射状の光線の間隔は 5.625 度である。円と正方形の他の作図、たとえばコルナロ アトラスでは、第 1 風の距離 (11.25 度) で放射状の光線を 8 本しか使っていない。視覚的には、これらの光線は 32 風コンパス ローズの右下 4 分の 1 を再現します: 東 (0q)、東南 (1q)、東南東 (2q)、南東東 (3q)、南東 (4q)、南東南 (5q)、南南東 (6q)、南東 (7q)、南 (8q)。

ビアンコのトンド・エ・クアドロのバースケールの複製

グリッドの上には、サブユニットが刻まれた距離バーのスケールがあります。スケールには2組の数字があり、1つは各グリッド正方形を20マイル単位で測定するためのもので、もう1つは各グリッド正方形を100マイル単位で測定するためのものです（図を参照）。[ 28 ]上のバーは1平方あたり20メートルのスケールで、すべての黒い点は1マイルを示しています。下のバーは1平方あたり100メートルのスケールで、単位正方形の長さが2つの等しい50メートルのサブ正方形に分割され、一連の点と赤い線によってさらに10マイルの長さに細分化されています。そのため、どのスケールを選択するかによって、グリッド全体（8つの正方形）の辺の長さを最大160マイル（1平方あたり20メートルのスケールを使用）または最大800マイル（1平方あたり100メートルのスケールを使用）まで測定できます。

ビアンコのトンド・エ・クアドロの詳細

仕切りのある天使像は、航海士が数字を操作するのではなく、グリッドを使用して視覚的な測定によって alargar と avanzar を計算する方法を示唆しています。

トンド・エ・クアドロで三角形を解く

例：船が予定針路より2クォーターウィンド下（例えば、予定針路が東であるのに東南東に航行した）で120マイル航行したとします。航海士はデバイダーと20mスケールを用いて、デバイダーで120マイルを測量できます。次に、デバイダーの片端を左上隅（A）に置き、デバイダーを東南東線（＝東線より2クォーターウィンド下、つまりグリッドの水平上端）に沿って配置し、その地点（図の点B ）をマークします。次に、定規を用いて東線まで線を引き、対応する地点Cをマークします。

直角三角形ABCが描かれていることは一目瞭然です。BCの長さはアラガル（目標コースからの距離）で、46マイルと計測できます（視覚的には2マス目と少し、つまり20メートル＋20メートル＋少しで、仕切りと20メートルの目盛りで6メートルと計測できます）。ACの長さはアヴァンザール（到達距離）で、111マイルです。視覚的には5マス目と少し、つまり(20×5)＋11で、これも仕切りと目盛りで計測できます。

このように、「円と四角」は、掛け算や割り算、あるいは3の法則といった数値操作を不要にします。航海士は、測定のみでアヴァンザールとアラガーを視覚的に評価できます。

この方法は、方位と偏差のいずれにも適用できます。目的は、デバイダーとスケールを用いて三角形を解くことだけだからです。例えば、コルシカ島からジェノバ島への最初の例で、方位は北でしたが、実際には船が北西に航行したとします。この場合、航海士はデバイダーを70マイルの長さに設定し、それを第4クォーターウィンド（トンド・エ・クアドロにおける南東の光線。北西は北から第4クォーターウィンドの距離にあるため）に沿って配置します。航海士は、alargarとavanzarも全く同じ方法で計算します。つまり、グリッドの水平方向の上端に線を引き、正方形を測定するなどします。

トンド・エ・クアドロ装置はアラブ正弦四分儀（ルブル・ムジャヤブ）と非常によく似ており、角の光線は調整可能な下げ振りの役割を再現している。[ 29 ]

その他のアプリケーション

トレタ・デ・マルテロイオ（およびその視覚的対応物であるトンド・エ・クアドロ）は、意図したコースを回復するという明確な目的のために設計されていますが、複数の方位変更を伴うコースの計画など、多くの種類の航海上の問題に、より多くの方法で使用できます。[ 30 ]

三角測量

マルテロイオの法則の興味深い応用の一つは三角測量、例えば船から岸の目印までの距離の測定である。（これはヴェネツィアの航海士ミカエル・オブ・ロードスのノートに記された最後の課題であり、本稿ではそれを再現する。）[ 31 ]

例：北西航行中の船（「マエストロ」）が、ある晩、真西にランドマーク（「ポネンテ」）を発見したとします。しかし、その距離は不明です。船は夜通し北西航路を航行し続け、翌朝、40マイル（約64キロメートル）進んだところで、ランドマークが現在地から西南西（「ポネンテ＝リベッチオ」）にあることに気づいたとします。船からランドマークまでの距離を求めることは、マルテロイオの法則を応用するだけです。

マルテロイオの法則を適用して、船と海岸のランドマーク間の距離を推定します。

この問題を解くには、夕方の位置（地図上のA）から出発し、船とランドマーク間の距離（長さAB）を予定航路とし、実際の船の航路（北西）を偏差とみなします。朝の船の位置（C ）からランドマークまでの距離を計算するには、距離BCを計算されたリトルノとして扱います。リトルノを計算するにはアラガルを知る必要があるため、これは2段階の手順です。

まず、北西は西よりクォーターウィンド4つ分上であることに注目してください。トレタのq = 4の行を見ると、北西航路では100マイルごとに71マイルのアラガー（風向風速）となります。しかし、船は一晩で40マイルしか航行していないため、71/100 = x /40という比率を解く必要があります。これは3の法則により、x = アラガー = 28.4マイルとなります。言い換えれば、A地点からC地点まで一晩で北西に40マイル航行した時点で、船は「意図した」西進路から28.4マイル離れていることになります。

さて、リトルノについてです。ランドマークは、前述の通り、船の朝の位置（C）から西南西にあります。したがって、ランドマークに「戻る」ためには、船は現在の北西方位から西南西方位、つまり北西より6クォーターウィンド下の方位に変更する必要があります。しかし、トレタではクォーターウィンドを「意図した」方向（この場合は西）で規定しており、西南西は西より2クォーターウィンド下なので、q = 2の行を確認する必要があります。これは、リトルノがアラガル10マイルごとに26マイルであることを意味します。アラガルは28.4なので、リトルノは26 × 2.84 = 73.84となります。これで、ランドマークは船の朝の位置から73.84マイル離れていることがわかります。

（話の続きとして、前の晩にランドマークがどれだけの距離だったか（つまり、地点 A からランドマーク B までの距離）を調べたいと思うかもしれません。これは、avanzar と avanzo in ritorno を単純に足し合わせるだけです。簡単に計算すると、avanzar (@ q = 4、40 マイル) は 28.4 マイル (= 71 × 40/100)、avanzo di ritorno (@ q = 2、28.4 マイル alargar) は 2.84 × 24 = 68.16 となります。つまり、avanzo の合計 = 28.4 + 68.16 = 96.56 マイルとなります。これが、前の晩にランドマークと船との距離でした。）

場所の検索

マルテロイオの法則は、アヴァンザールを目標として用いることもできます。例えば、ある船がトルデシリャス線（1494年の条約でカーボベルデの西370リーグに法的に定められた子午線）を発見する目的で出航したとします。船はカーボベルデから出航し、常に西方位で航行してこの子午線を発見する必要はありません。むしろ、より便利な方位（例えば南西）で出航し、西を「意図した」航路とみなすことができます。つまり、マルテロイオの法則を用いると、 「意図した」西方位にあるアヴァンザールが370リーグに達するまで航行を続けることができます。

実際、カーボベルデから出航する必要はなく、例えばセビリアなど別の場所から出航し、カーボベルデ（セビリア）までの既知の距離と方位、そしてマルテロイオの法則を用いて、最終的にトルデシリャス子午線に到達した時刻を計算することができます。これにはいくつかの手順が必要です。カーボベルデ（地図のB ）がセビリア（地図のA）の南西400リーグにあるとします。しかし、船はセビリアからまっすぐ西へ進み、外洋でトルデシリャス子午線に到達しようとします。この航海にはどれくらいの時間が必要ですか？

マルテロイオの法則によるトルデシリャス線の検索

マルテロイオの法則を用いてこの問題を解決するには、問題を逆に立て直す必要があります。つまり、西を意図した方位、南西を実際の針路とします。南西は西よりクォーターウィンド4つ下なので、トレタでq = 4とすると、アヴァンザールは100マイル航行するごとに71になります。つまり、船が「実際の」南西航路でカーボベルデまで400リーグ航行した場合、 「意図された」西向きの航路では284リーグ（= 71 × 4）のアヴァンザールを達成することになります。もちろん、船は実際にはカーボベルデに向かって南西に航行しているのではなく、西に向かって外洋に向かって航行しているのです。言い換えれば、船がセビリアから西へ出航する際、カーボベルデ子午線（地図上のC点）に到達するまでに西方位で284リーグ航行する必要があることが分かっており、トルデシリャス線までの370リーグは、それ以降から数え始めるべきなのです。つまり、トルデシリャス線 (地図上のD地点) に到達するには、セビリアの西に合計 284 + 370 = 654 リーグを航行する必要があります。

この特定の例はマルテロイオの法則の柔軟性を示していますが、同時にその主な欠点の 1 つも示しています。つまり、この結果は地球の曲率、つまり経度子午線が北極で収束し、したがって高緯度では狭くなるという事実を完全に無視しています。マルテロイオが示唆することとは反対に、カーボベルデの西 370 リーグは、セビリアの西 654 リーグと同じ経度子午線上にありません。セビリアはカーボベルデよりもかなり北にあるため、子午線はカーボベルデの緯度よりもセビリアの緯度で密集しています。実際、セビリアの西を航行する船は、 654 リーグ航行する (地点D ) よりもかなり前に、実際のトルデシリャス子午線 (地図の地点T ) に到達します。

マルテロイオの法則では、船乗りはまるで地球の表面が平らであるかのように、海図に平面三角形を描いて航路を計画します。これは地中海の狭い緯度域に限定された航海には十分実用的かもしれませんが、より大規模な航海では大きな誤解を招く可能性があります。

後の規則との関係

「リーグの連隊」との関係

15世紀後半から16世紀にかけて、航海天文学の進歩と緯線の導入により、航海士は航海距離の推定に頼るのではなく、天球儀によって海上での位置を決定できるようになりました。[ 32 ]マルテロイオ則の後継は「リーグ法」（regimeto das léguas ）であり、大西洋を航海するポルトガルの航海士によって使用されました。あるいは、ウィリアム・ボーン（1571年）によって導入された用語を用いると、「度を上げるまたは下げる規則」、別名「リーグ表」または「極を上げる規則」となります。[ 33 ]これはポルトガルの航海マニュアル「Regimento do astrolabio e do quadrante」（1509年頃リスボンで出版されたが、執筆は1480年頃）に初めて記載されました。 [ 34 ]これはマルティン・コルテス・デ・アルバカルが1551年に著した「Breve compendio la esfera y del arte de navegar」で広く知られるようになりました。

「リーグ法」はマルテロイオの法則とあまり変わりません。リーグ法では、常に東西方位を「意図された航路」とみなし、そこからの一定の偏差を測定します。より具体的には、リーグ表は、緯度1度（当時の測量法では17.5（ポルトガル）リーグ、または70（イタリア）マイルに相当）に設定された固定値のアラガルを考慮します。[ 35 ]そして、航行方向のクォーターウィンド（常に意図された航路からではなく、南北軸からクォーターウィンドまでの距離として指定）ごとに、レレヴァルとアファスターが示されています。レレヴァルとは、船が事前に設定された緯度1度（開始緯度から17.5リーグのアラガル）をカバーするために、実際の航路上で航行しなければならないリーグ数です。アファスターは、東西方位における 対応するアヴァンザールに過ぎません。

「リーグ連隊」のイラスト

例: 船が東南東 (ESE) の方位で出航するとする。 これは南より 6 クォーター・ウィンド上である (マルテロイオと違い、リーグ法では常に南北子午線からのクォーター・ウィンドを測定することを思い出す)。 任意のリーグ法表 (例えばMartín Cortés de Albacar、1551 年[ 36 ] ) を見ると、 q = 6のとき、表ではrelevar が45 1 1/15リーグ、afastarが42 1 1/4リーグとなっている。これはつまり ESE の方位で航行する船は 1 度の緯度をカバーするのに 45.73 リーグ (マルテロイオの用語では東方位からalargarで 17.5 リーグ) を航行する必要があり、対応するafastar (マルテロイオの用語ではavanzar ) は 42.25 リーグとなる。

代わりに、船が南東方位、つまり南より 4 クォーターウィンド上に出航した場合、リーグ連隊表のq  = 4での対応する値は、 relevar = 24 3 ⁄ 4、afastar = 17 1 ⁄ 2になります。

南東方位は東南東方位よりも早く 1 度翼角に到達し (つまり、相対角が小さくなる)、また、南北子午線に近いため、 相対角が小さくなることに注意してください。

数学的には、

相対値= 17.5/cosθ
アファスター= 17.5 × tan θ

ここで、θ = 11.25 × 南北軸からの四分の一風の数です。

用語の違い、特に緯度の使用法の違いはあるものの、マルテロイオの法則とリーグ法は非常によく似ています。どちらも平面図上の三角形を解くという点です。リーグ法がマルテロイオよりも優れている点は、表に緯度緯線を導入していることです。これにより、位置を天文観測（四分儀、アストロラーベなど）で確認することができ、船乗りによる距離と方向の推定に完全に頼る必要がなくなります。

リーグ法を用いれば、地理座標を航海の指針として用いることもできます。例えば、トルデシリャス子午線（カーボベルデの西370リーグ）の探索は、正確な緯度を参照することで大幅に簡素化されます。例えば、2隻の船がカーボベルデ（北緯17度）から出航するとします。1隻は西北方位（WbN、つまり西の4分の1、北軸からq = 7）で、もう1隻は西北西方位（WNW、つまり西の2分の1、北軸からq = 6）で出航します。リーグ法を用いれば、トルデシリャス子午線を通過する正確な緯度を計算できます。西370リーグを、それぞれの方位における推定アファスター（afastar）で割るだけです。西北緯の船は北緯21度21分で子午線に到達し、西北西の船は北緯29度で子午線に到達します。[ 37 ]そのため、砂時計と速度計でリーグを数えるのではなく、船は方位を維持し、定期的に天文観測を行って緯度を評価すればよいのです。

「横断航行」との関係

マルテロイオのトレタは、現代の航海術で使われる「トラバース表」の祖先です。[ 38 ]現代の用語では、トラバースとは「船がいくつかの方向に連続して航行するときに作る湾曲した経路」であり、トラバースを解決するとは「2つ以上のコースと距離を経て同じ場所に船を導く単一のコースと距離を見つける方法」です。[ 39 ]マルテロイオの用語では、「トラバースを解決する」際に得られる既知の情報は「実際のコース」と「リトルノ」であり、未知の情報は「意図された方位」と「合計アヴァンゾ」です。

トラバース テーブルでは、各屈曲コース セグメントに 3 つの値 (距離(Dist.)、緯度差(D.Lat.、N-S 軸に沿った移動)、および出発(Dep.、E-W 軸に沿った移動)) が使用されます。最後の 2 つは次の式で計算されます。

緯度の差= 距離 × cos θ
出発= 距離 × sinθ

ここで、 θの値が45° 未満の場合、 θは南北軸からのコースの角度差です。ただし、角度が 45° を超える場合、 θは東西軸からの角度差として表され、式は反転されます (つまり、緯度の差の式が出発になり、出発の式が緯度の差になります)。または、さらに簡単に、θ を最も近い主風 (北、南、東、西) からの角度差として計算し、式を実行して、大きい方の数値を適切な列 (D.Lat. または Dep.) に入力します。

航海士は各航路区間について、関連する3つの情報（距離、緯度、偏角）を入力することで、始点から終点までの推定方位と、その方位における航行距離を計算することができます。次に、緯度と偏角の差を加減算して全体の緯度と偏角の差を求め、それを全体の方位と航行距離に換算します。[ 40 ]

写本資料

ラモン・リュイの1295年の示唆に富む記述はさておき、マルテロイオに関する最も古い記録は1390年のもので、ジェノヴァのオベルト・フォグリエトの母親の財産目録に「unum martelogium...item carta una pro navegando （一つだけのマルテロイオ... 一つだけのカルタ）」と記されている。[ 41 ]最初に明確に示され、説明が付されているのは、ヴェネツィアのキャプテン・アンドレア・ビアンコの1436年の地図帳である。その後、マルテロイオの規則に関する他の初期の写本が発見されており、その中には以下のものがある。[ 42 ]

トレタ・デ・マルテロイオと8管のトンド・エ・クアドロ、コルナロ・アトラス（1489年頃）の47ページより

注記

  1. ^ Nordenskiöld (1897: p.51ff);ルージュ (1900: p.177 )。
  2. ^ケリー（1995年：2頁）
  3. ^これはジュゼッペ・トアルドによって転送されたものである（1782年： p.44）
  4. ^これはデシモニ（1888年：15ページ）によって提案された。
  5. ^ Morelli (1810: p.42 ). Morelliの解釈はFormaleoni (1783: p.28 )によって既に引用されている。
  6. ^これはフィンカティによって提案され、アルベルティス（1893）によって報告された。
  7. ^これはBreusing（1881: p. 130）
  8. ^テイラー（1956）；パリー（1974）
  9. ^アクツェル（2001年：p.76）
  10. ^ Kelley (1995: p.12)。これは、後に木材を規則的な間隔で結び付けたロープに縛り付けるチップログとは少し異なります。ロープは砂時計が空になるまで自由に巻き取られ、その後「結び目」が数えられました。チップログは1574年にウィリアム・ボーンによって初めて言及されました。
  11. ^テイラー（1956年：123、159、167頁）；パリー（1974年：37頁）
  12. ^テイラー（1956年：116ページ以降）テイラー（1960年：10ページ）
  13. ^ヴァン・ブルンネレン（2010年、67ページ）
  14. ^ Llull Arbor Scientiae (1295, (1635 ラテン語版): p.570また、Edson (2007: p.51)およびCotter (1978:p.5も参照)
  15. ^この解釈はTaylor (1956: pp. 117–19)によるものである。Cortesão (1969: v. 1, pp. 206–7)、Cotter (1978: pp. 6–7)、Campbell (1987: pp. 441–442)も参照。
  16. ^ Ramom Llull、1517 年版、パート 10、「De Navigatione」、 fo。 93、p. 213 .コッター (1978: p. 7) も参照
  17. ^「当時の数学の知識と実践に精通した数学者にとって、ルルスが自らの著作の内容を完全に理解していなかったことは明らかである。彼は航海中に船上で観察した事実を用いて、円、三角形、正方形に関する超越論的な考えを裏付けた。彼の価値は、13世紀後半の船乗りたちが海図や作図板を用いてベクトル航海を行っていたことの証人として存在することである。」（ケリー、1995年、3ページ）
  18. ^テイラー（1960年：10頁）
  19. ^テイラー（1956年：114頁）；ケリー（1995年：3頁）；ヴァーネット（2008年）
  20. ^ビアンコの1436年の指示の転写については、Formaleoni（1783： p.30）またはGelgich（1892： p.73）
  21. ^ここで複製したトレタは、ミカエル・ド・ロデス版（McGee et al., p.48b）である。ビアンコの原版表にはいくつかの小さな誤りがある。具体的には、 ritorno欄において、ビアンコは5行目に12ではなく14（q = 5）と誤って記入している。avanzo di ritorno欄では、 7行目に2 1 ⁄ 5ではなく5 1 ⁄ 10、8行目に10ではなく8と記入している。Gelgich (1892: p.74 )。ビアンコは「5 1 ⁄ 10」という記載によって、「10の5分の1」＝2（トレタの現代版でよく記載されている数値、例えばVernet, 2008）と書きたかった可能性がある。2 1 ⁄ 5は、トレタ版のミカエル・ド・ロデスにのみ記載されている。フォスカリーニの手紙のバージョンでは、その項目は 1 9 ⁄ 10 9/10 と記載されています (Toaldo、1782: p.43 )。
  22. ^ヴェルネ（2008）
  23. ^ゲルギッヒ（1892年：p.73）より引用
  24. ^これは、ミカエル・オブ・ロードスの書に明確に示されています。そこでは、商業計算と航海計算が連続して行われています。ミカエル・オブ・ロードスのウェブサイトをご覧ください。
  25. ^テイラー（1960年：12ページ）
  26. ^ Formaleoni (1783: p. 35 )、Cotter (1978: ( p. 10 )
  27. ^ケリー（1995）
  28. ^テイラー（1956年：116ページ；1960年：14ページ）
  29. ^ケリー（1995年：3ページ）
  30. ^マイケル・オブ・ローズのウェブサイトには、マイケルが検討したさまざまな問題が掲載されています。
  31. ^マイケル・オブ・ローズp.48aと48b を参照
  32. ^テイラー（1956）、アルバカーキ（1970）、パリー（1974）、ランドルズ（1998）
  33. ^テイラー（1956年：163～164頁）；コッター（1978年：11頁）
  34. ^ディフィーとウィニウス（1977年：141頁）；パリー（1974年： 149頁）
  35. ^ Parry (pp. 149–50). 1ポルトガルリーグは4イタリアマイルに相当した。現代の海里単位においては、1度は20リーグ、1リーグは3海里なので、1度は60海里に相当する。
  36. ^コッター（1978年： 13ページ）
  37. ^アルバカーキ（1973年： 231ページ）
  38. ^トラバーステーブルの例については、Gunmere (1822) Mathematical Tables（オンライン）を参照してください。
  39. ^メリフィールド（1883年： 58ページ）
  40. ^応用については、Merrifield (1883: p. 61) を参照
  41. ^これはAlbertis (1893: p. 118)に転載されている。Cortesão (1969: p.209)も参照。
  42. ^このリストはロッシ（2009：p.11）に基づいています。
  43. ^修道院長ジュゼッペ・トアルド（1782年、 p.44 ）によって記述されている。この写本には、当時のヴェネツィア軍総司令官アンドレア・モチェニーゴによる小冊子が含まれているため、年代は1428年以降であることは確実である。トアルド（p.60）は、レギオモンタヌスによって1463年頃までには導入された可能性があると暫定的に推測しているが、これは他の初期の写本の年代と矛盾している。しかし、1782年に執筆したトアルドは、これらの写本の存在を認識していなかったはずである（ただし、1436年にアンドレア・ビアンコの「興味深い」地図帳がフォルマレオニによってその年に発見されたと記している）。
  44. ^この写本はLong, PI, D. McGee and AM Stahl (2009)に掲載されている。また、ガリレオ博物館が運営するMichael of Rhodesのウェブサイトでもオンラインで閲覧できる。Rossi (2009: p.xxxii–iii)は、マルテロイオを含む数学部分の執筆時期を1434年から1436年としているが、本書の残りの部分は1440年代まで執筆が続けられたとしている。
  45. ^クレッチマー (1909: pp. 358–9)
  46. ^これはヤコポ・モレッリ（1810年： p.41 ）によって記述されている。ロッシ（2009年）は、これは実際にはピエトロ・ディ・ヴェルシではなく、ミカエル・オブ・ロデスによって書かれたと主張している。
  47. ^ウィーンのポルトラーノ写本 3345* (アスタリスクに注意) には、37 ～ 38 ページに「"De arte navigandi dicta Martiloro"」というセクションがあり、1868 年のTabulae codicum mansorum praeter Graecos et orientales in Bibliotheca Palatina Vindobonensi asservatorum、第 2 巻、 p . 3345* によると、 264 のエントリ（mandusta.atおよびVerzeichnis der italienischsprachigen Handschriften in der Österreichischen Nationalbibliothek）を参照してください。

外部リソース

  • Altante Bianco, 1436は Internetculturale.it でご覧いただけます。高解像度版はGeoweb.sbn.venezia.it でご覧いただけます。
  • McGee, D. et al. (2003年以降) Michael of Rhodes: 中世の船乗りとその写本ウェブサイト(2011年7月20日アクセス) (当初はMITのDibner科学技術史研究所がホストし、現在はイタリアのフィレンツェにあるガリレオ博物館研究所と科学史博物館がホスト)

参考文献

  • Aczel, AD (2001) 『コンパスの謎：世界を変えた発明』ニューヨーク：ハーコート。
  • アルバーティス、EA (1893) Le construzioni navale e l'arte della navigazione al Tempo di Cristoforo Colombo、Pat IV、vol. Raccolta di Documenti e Studi pubblicati dalla Reale Commissione Columbiana pel quarto Centenario dellascoperta dell'America の1 つ。ローマ: イストルツィオーネ大臣。
  • Albuquerque, L. de (1970) 「A navegação astronômica」、A. Cortesão 編集者、1969 ～ 70 年、História da cartografia portuguesa、vol. 2. リスボン: ウルトラマール捜査当局、p. (1975 年に再版、Estudos de História、Vol. 3。コインブラ: UC Biblioteca Geralオンライン)
  • アルバカーキ、ルイス・デ (1973) 「O Tratado de Tordesilhas e dificuldades técnicas da sua aplicação rigorosa」、El Tratado de Tordesilhas y su Proyeccion、vol. 1、119–366ページ。 (1974 年再版、Estudos de História 、Vol. 2。コインブラ: UC Biblioteca Geral。221p56
  • Breusing, A. (1881) 「La toleta de Martelojo und die loxodromischen Karten」、Zeitschrift für wissenschaftliche Geographie、vol. II、Pt. 1 ( pp. 129–33 )、Pt.2 ( pp. 180–95 )。
  • Brummelen, G. (2010)「三角法で航海を楽しもう」、D. JardineおよびA. Shell-Gellasch編『数学タイムカプセル：数学教室のための歴史的モジュール』、アメリカ数学協会。
  • キャンベル、T. (1987)「13世紀後半から1500年までのポルトラン海図」JBハーレー、D.ウッドワード編『地図学の歴史』第1巻 ― 先史時代、古代、中世ヨーロッパと地中海の地図学。シカゴ：シカゴ大学出版局、371～363ページ、オンライン（PDF）
  • Cortesão, A. (1969)ポルトガル地図作成の歴史。コインブラ: ウルトラマール捜査当局
  • コッター, CH (1978)「初期の表形式、グラフ式、機器による平面航行問題の解決法」コインブラ大学誌、第26巻、3～20頁、別刷
  • ダヴザック、MAP 侯爵 (1874)バラのバラの歴史を語る: アンリ・ナルドゥッチ氏への手紙。ローマ: シヴェッリオンライン
  • Desimoni, C. (1888) 「Le carte nautiche italiane del Medio Evo, a proposito di un libro del prof. Fischer」、Atti della Società ligure di storia patria、vol. 19、225–66ページ。
  • ディフィー、ベイリー W.、ジョージ D. ウィニウス (1977) 「ポルトガル帝国の建国 1415-1580」ミネアポリス、ミネソタ州:ミネソタ大学出版局。
  • エドソン、E.（2007）『世界地図 1300-1492：伝統と変革の持続』メリーランド州ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局。
  • Formaleoni、Vicenzio (1783) Saggio sulla Nautica antica de' Veneziani、con una illustrazione d'alcune carte idrografiche antiché della Biblioteca di S. Marco、che dimonstrano l'isole Antille prima dellascoperta di Cristoforo Colombo。ヴェネツィア。オンライン
  • Gelcich, E. (1892) 「I primi passi della scienza nautica」、Rivista Marittima、Vol. 25、71–102ページ
  • ケリー、JE（2000）「中世後期のアナログとデジタル航法」メルローズパーク、ペンシルバニア州：サムタイム出版社
  • ケリー、JE（1995）「ポルトラン海図の起源と利用に関する展望」、Cartographica、第32巻（3）、pp.1-16。オンライン
  • Kretschmer, K. (1909) Die italienischen Portolane des Mittelalters: Ein Beitrag zur Geschichte der Kartographie und Nautik。ベルリン: ミトラーとゾーン
  • Long, PI、D. McGee、A.M. Stahl編、(2009) 『The Book of Michael of Rhodes: A fifteenth-century manuscript』、全3巻、マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT Press。
  • Masiero, F. (1984) 「La raxon de marteloio」、Studi veneziani、vol. 8、393–412ページ。
  • メリフィールド、J.（1883）航海論。ロンドン：スポティスウッド。オンライン
  • モレッリ、ヤコポ (1810) Lettera rarissima di Cristoforo Colombo。バッサーノ: スタンペリア レモンディニアナオンライン
  • Nordenskiöld, Adolf Erik (1897) Periplus: An Essay on the Early History of Charts and Sailing Directions、Frances A. Bather 訳、ストックホルム: Norstedt。
  • パリー、JH（1974）『海の発見』、1984年版、バークレー：カリフォルニア大学出版局。オンライン
  • Ramon Llull (1305) 『Ars magna Generalis et ultima』、1517 年版、オンライン、特に。パート 10、「デ ナビゲーション」、fo。 93、p.213
  • ラモン・リュル(1295) L'arbre de ciència、1635 ラテン語版: Arbor scientiæ venerabilis et cælitvs illuminati patris Ravmvndi Lvllii Maiorieensisライオンズ:​​ ピルホット。オンライン
  • Randles, WGL「(1998) 15 世紀ポルトガルにおける航海天文学の出現」、Journal of Navigation、第 51 巻、pp. 46–57。
  • Rossi, F. (2009) Long、McGee、Stalh編『Rodesのミカエルの書』第2巻「序文」(オンライン)
  • Ruge, S. (1900) 「Der Periplus Nordenskiölds」、Deutsche geographische Blätter Vol. 23、No.4、161–228ページ
  • セズギン、F.（2007）『イスラムにおける数学地理学と地図作成、そして西洋におけるその継承』アラブ・イスラム科学史研究所
  • テイラー、EGR（1950）「推測航法の5世紀」、航海ジャーナル、第3巻、pp.280-85。
  • テイラー、EGR (1956) 「The Haven-Finding Art: A history of navigation from Odysseus to Captain Cook」、1971 版、ロンドン: Hollis and Carter。
  • テイラー、EGR（1960）「13世紀の数学と航海士」、航海ジャーナル、第13巻、pp.1-12。
  • Toaldo, Giuseppe (1782) 「Lettera a sua Eccellenza il. Sig. Cav. Giacopo Nani, contenente la spiegazione d'un antica Regola di navigare practicata da' Veneziani , Saggi di stardi Veneti Venice: Storti. pp. 40–61
  • ヴェルネ、J.（2008）「ジェームズ1世統治下のアラゴン王国の科学世界」『ラモン・リュイとイスラム、対話の始まり』バルセロナ：IEMed.、99～114頁。
  • ウォーターズ、DW (1988) 「バルトロメウ ディアスの航海に関連した 16 世紀のいくつかの航海および水路問題に関する考察」、Revista da Universidade de Coimbra、Vol. 34、275 347 ページ。別刷り
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