ヴァルトハウゼンカテゴリー

数学において、ヴァルトハウゼン圏（ ヴァルトハウゼンかく）とは、 Cにいくつかの追加データが与えられ、いわゆるS構成を用いてCのK-理論 スペクトルを構成することを可能にする圏である。ヴァルトハウゼン圏は、この概念（コファイブレーションと弱同値性を持つ圏という用語で）を導入し、代数的K-理論の手法を、必ずしも代数起源ではない圏、例えば位相空間の圏に拡張したフリードヘルム・ヴァルトハウゼンにちなんで名付けられた。

意味

C を圏とし、 co( C ) と we( C )はC内の2つの射の類であり、それぞれコファイブレーションと弱同値性と呼ばれる。三つ組 ( C , co( C ), we( C )) は、位相空間のコファイブレーションと弱ホモトピー同値性の概念に類似した性質があることから、以下の公理を満たすとき、ヴァルトハウゼン圏と呼ばれる。

• Cには0 で表されるゼロ オブジェクトがあります。
• 同型性はco( C )とwe( C )の両方に含まれる。
• co( C )とwe( C )は合成に関して閉じている。
• 各オブジェクトA∈Cに対して、唯一の写像0→ Aはコファイブレーション、つまりco( C )の元である。
• co( C )とwe( C )は、ある意味ではプッシュアウトと互換性があります。

たとえば、がコファイブレーションで が任意の写像である場合、プッシュアウト が存在する必要があり、自然な写像はコファイブレーションである必要があります。 ${\displaystyle \scriptstyle A\,\rightarrowtail \,B}$ ${\displaystyle \scriptstyle A\,\to \,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle B\,\cup _{A}\,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle C\,\rightarrowtail \,B\,\cup _{A}\,C}$

他の概念との関係

代数的K理論とホモトピー理論には、いくつかの特定の射のクラスを備えた圏の概念がいくつか存在する。Cが正確な圏の構造を持つ場合、we( C ) を同型、co( C ) を許容単型と定義することで、 C上のヴァルトハウゼン圏の構造が得られる。どちらの構造も、正確な構造にはQ構成、ヴァルトハウゼン構造にはS構成を用いて、 CのK理論を定義するのに用いることができる。重要な事実は、結果として得られるK理論空間がホモトピー同値であるということである。

Cがゼロ オブジェクトを持つモデル カテゴリである場合、 C内の共繊維オブジェクトの完全なサブカテゴリにWaldhausen 構造を与えることができます。

S字構造

ヴァルトハウゼンS構成は、ヴァルトハウゼン圏Cからカン複 体の列を生成し、スペクトルを形成する。の幾何学的実現のループ空間を とすると、群${\displaystyle S_{n}(C)}$ ${\displaystyle K(C)}$ ${\displaystyle |S_{*}(C)|}$ ${\displaystyle S_{*}(C)}$

${\displaystyle \pi _{n}K(C)=\pi _{n+1}|S_{*}(C)|}$

はCのn番目のK群です。したがって、これは高次のK群を定義する方法を提供します。高次のK理論に対するもう一つのアプローチは、 Quillen の Q 構成です。

建設はフリードヘルム・ヴァルトハウゼンによるものである。

biWaldhausenカテゴリー

圏Cが双ファイバーを持つとは、それが共ファイバーを持ち、その反対圏 C ^{OP も}共ファイバーを持つことを意味する。この場合、C ^OPのファイバーをquot( C ) と表記する。この場合、Cが双ファイバーと弱同値を持ち、( C , co( C ), we) と ( C ^OP , quot( C ), we ^{OP ) の両方がヴァルトハウゼン}圏となるような場合、 Cは双ヴァルトハウゼン圏である。

ヴァルトハウゼン圏と双ヴァルトハウゼン圏は代数的K理論と関連しています。そこでは、多くの興味深い圏が共形双ヴァルトハウゼン圏です。例えば、正確な圏 上の有界連鎖複体の圏。 が成り立つ場合の関手の圏。また、図 が与えられている場合、 が成り立つ場合、 は優れた共形双ヴァルトハウゼン圏です。 ${\displaystyle \scriptstyle C^{b}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S_{n}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Ar} (\Delta ^{n})\,\to \,{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle I}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$

参考文献

• Waldhausen, Friedhelm (1985)、「空間の代数的K理論」、Algebraic and geometric topology (New Brunswick, NJ, 1983 (PDF)、Lecture Notes in Mathematics、vol. 1126、Berlin: Springer、pp.  318– 419、doi :10.1007/BFb0074449、ISBN 978-3-540-15235-4、MR  0802796
• C. Weibel, K-book, 代数的 K-理論入門— http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• G. Garkusha,図表カテゴリーのシステムと K 理論— https://arxiv.org/abs/math/0401062
• Sagave, S. (2004). 「モデル圏の代数的K理論について」.純粋・応用代数ジャーナル. 190 ( 1–3 ): 329– 340. doi :10.1016/j.jpaa.2003.11.002.
• ルリー、ジェイコブ、「∞-カテゴリーの高次 K-理論」（講義 16）（PDF）

参照

• シーガルスペースを完了する

外部リンク

• 「Waldhausen S-構造」。nLab。