数学において、代数的整数論の分野において、S単位元は体の整数環の単位元の考え方を一般化したものである。単位元について成り立つ結果の多くは、 S単位元についても成り立つ。
意味
K を整数環Rを持つ数体とする。SをRの素イデアルの有限集合とする。Kの元xがS単位元であるとは、主分数イデアル( x ) がSの素数の積（正または負のべき乗）となる場合である。有理整数環Zについて、 S を素数の有限集合とし、分子と分母がSの素数でのみ割り切れる有理数をS単位元と定義することができる。
プロパティ
S単位は、Rの単位を含む乗法群を形成します。
ディリクレの単位定理はS単位に対して成り立ちます。つまり、 S単位のグループは有限生成され、階数（乗法的に独立した元の最大数）はr + sに等しくなります。ここで、rは単位グループの階数、s = | S | です。
S単位方程式
S単位方程式はディオファントス方程式である
- u + v = 1
ただし、uとv はKのS単位（より一般的には、特性 0 の任意の体の乗法群の有限生成部分群の元）に制限されます。この方程式の解の数は有限であり[1]、解は超越数論で展開される対数の線型形式の推定値を使用して効果的に決定されます。さまざまなディオファントス方程式が、原理的には何らかの形のS単位方程式に還元できます。注目すべき例としては、楕円曲線上の積分点に関するジーゲルの定理があり、より一般的にはy n = f ( x )の形の超楕円曲線があります。
S単位方程式の計算ソルバーはSageMathソフトウェアで利用できる。[2]
参考文献
- エベレスト, グラハム;ファン・デル・プールテン, アルフ; シュパルリンスキー, イゴール; ワード, トーマス (2003).再帰列. 数学概論およびモノグラフ. 第104巻.プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. pp. 19– 22. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006。
- ラング、セルジュ(1978)。楕円曲線: ディオファンティン分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 231.シュプリンガー・フェルラーグ128 ～ 153ページ 。ISBN 3-540-08489-4。
- ラング、セルジュ（1986年）『代数的数論』シュプリンガー・フェアラーク社、ISBN 0-387-94225-4。第5章
- スマート、ナイジェル (1998). ディオファントス方程式のアルゴリズム的解決. ロンドン数学会学生テキスト. 第41巻.ケンブリッジ大学出版局. 第9章. ISBN 0-521-64156-X。
- ノイキルヒ、ユルゲン(1986)。クラスフィールド理論。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 280.シュプリンガー・フェルラーグページ 72–73。ISBN 3-540-15251-2。
さらに読む
- ベイカー、アラン；ヴュストホルツ、ギスバート（2007年）『対数形式とディオファントス幾何学』新数学モノグラフ第9巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88268-2。
- ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター（2006年）『ディオファントス幾何学における高さ』新数学モノグラフ第4巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034。
