SQユニバーサルグループ
Type of countable group in group theory

数学の群論の領域では、すべての可算群がその商群のいずれかに埋め込める場合、可算 群はSQ普遍的であると言われます。SQ普遍性は、群の大きさや複雑さの尺度と考えることができます

歴史

1949年に遡る組合せ群論の多くの古典的な結果は、現在では特定の群または群のクラスがSQ-普遍的であることを意味すると解釈されています。しかし、この用語が最初に明示的に使用されたのは、 1968年5月23日にピーター・ノイマンがロンドン代数学コロキウムで行った「SQ-普遍群」と題した講演であると思われます。

SQ普遍群の例

1949年、グラハム・ヒグマン、ベルンハルト・ノイマン、ハンナ・ノイマンは、すべての可算群が2生成元群に埋め込めることを証明しました。[1]当時のSQ普遍性という用語を用いると、この結果は、2生成元群上の自由群（非可換群）であるF 2がSQ普遍群であることを意味します。これはSQ普遍群の最初の例です。現在では、他にも多くの例が知られています。

P = ⟨ a , b , c , d | a 2 = b 2 = c 2 = d 2 = ( a b ) 3 = ( b c ) 3 = ( a c ) 3 = ( a d ) 3 = ( c d ) 3 = ( b d ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle }
  • チャールズ・F・ミラー3世による有限提示SQ普遍群の例。その非自明な商はすべて解けない 単語問題を持つ。[8]

さらに、ヒグマン・ノイマン・ノイマン定理のより強力なバージョンが現在では知られている。オールド・ハウシンは以下を証明した。

任意の可算群Gに対して、 2生成元SQ普遍群Hが存在し、G はHの任意の非自明な商に埋め込むことができる。[9]

SQ普遍群のいくつかの基本的性質

例えば、可算個数の生成元h 1 , h 2 , ..., h n , ...上の自由群は、SQ普遍群Gの商に埋め込み可能でなければならない。もし が任意のnに対してとなるように選ばれるならば、それらはGの自由部分群を自由に生成しなければならない。したがって、 h 1 ∗ , h 2 ∗ , … , h n ∗ ⋯ ∈ G {\displaystyle h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G} h n ∗ ↦ h n {\displaystyle h_{n}^{*}\mapsto h_{n}}

すべての SQ 普遍群には、部分群として、可算な数の生成元を持つ自由群があります。

あらゆる可算群は可算単純群に埋め込むことができるため、単純群の埋め込みを考えるだけで十分な場合が多い。この観察から、SQ普遍群に関するいくつかの基本的な結果を容易に証明することができる。例えば、

Gが SQ 普遍群であり、NがGの正規部分群(つまり)である場合、 Nは SQ 普遍であるか、商群G / Nは SQ 普遍です。 N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G}

これを証明するには、Nが SQ-普遍群ではないと仮定します。すると、Nの商群に埋め込むことのできない可算群Kが存在します。Hを任意の可算群とすると、直積H × Kも可算群となり、したがって可算単純群Sに埋め込むことができます。ここで、仮定により、Gは SQ-普遍群であるため、S はGの商群、例えばG / Mに埋め込むことができます。第二同型定理は以下を示しています。

M N / M ≅ N / ( M ∩ N ) {\displaystyle MN/M\cong N/(M\cap N)}

ここで、SはG / Mの単純な部分群なので、次のいずれかになります。 M N / M ◃ G / M {\displaystyle MN/M\triangleleft G/M}

M N / M ∩ S ≅ 1 {\displaystyle MN/M\cap S\cong 1}

または：

S ⊆ M N / M ≅ N / ( M ∩ N ) {\displaystyle S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)} 。

後者は真ではあり得ません。なぜなら、Kの選択に反して、K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N )となるからです。したがって、Sは( G / M )/( MN / M )に埋め込むことができ、これは第三同型定理によりG / MNと同型であり、G / MNはさらに( G / N )/( MN / N )と同型です。したがって、SはG / Nの商群に埋め込まれており、H ⊆ Sは任意の可算群であるため、 G / NはSQ普遍的である ことがわかります

群Gの有限指数の部分群 Hはすべて、同じくGの有限指数の正規部分群Nを含むので、[10]次の式が容易に導かれる。

群Gが SQ-普遍的であれば、Gの任意の有限指数部分群Hも SQ-普遍的である。この命題の逆もまた真である。[11]

SQ普遍性の変種と一般化

SQ普遍性には、文献中にいくつかのバリエーションが存在します。この分野の用語はまだ完全には確立されていないため、読者はこの点を念頭に置いてこのセクションを読む必要があります。

を群のクラスとする。（この節で​​は、群は同型まで定義される）群Gがクラスにおいて SQ-普遍的であるとは、 であり、 のすべての可算群がGの商の部分群と同型であるときである。以下の結果が証明できる。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} G ∈ P {\displaystyle G\in {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}}

n , m ∈ Z （ mは奇数、m > 1 ）とし、B ( m、n )を自由 m 生成バーンサイド群とすると、 B ( m、n )のすべての非巡回部分群は指数nの群のクラスで SQ ユニバーサルです。 n > 10 78 {\displaystyle n>10^{78}}

を群のクラスとする。群GがSQ-普遍的であるとは、そのクラスに属する群のすべてがGの商の部分群と同型であることを意味する。群が可算であることも、またどの群も可算である 必要はないことに注意されたい。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} G ∈ P {\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}

SQ 普遍性の標準的な定義は、可算群のクラス内と可算群のクラスの 両方におけるSQ 普遍性と同等です。

可算群Gが与えられたとき、Hのすべての非自明因子群がGのコピーを含むとき、SQ普遍群H を G安定と呼ぶ。あるGに対してG 安定である有限提示SQ普遍群のクラスを とすると、Houcine 版の HNN 定理は次のように言い換えられる。 G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

2 つの生成元上の自由群は、に対して SQ 普遍です。 G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

しかし、有限生成群は無数個存在し、可算群は有限生成部分群を可算個しか持つことができません。このことから、次のことが容易に分かります。

では、どのグループも SQ 普遍に なることはできません。 G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

無限群のクラスが折り返し可能であるとは、任意の群に対して単純群Sが存在し、かつFとG がSに埋め込まれ、かつS がHに埋め込まれるような群が存在する場合である。これは簡単に証明できる。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} F , G ∈ P {\displaystyle F,G\in {\mathcal {P}}} H ∈ P {\displaystyle H\in {\mathcal {P}}}

がグループのラップ可能なクラスである場合、 Gは の SQ ユニバーサルであり、Nは の SQ ユニバーサルであるか、G / Nは の SQ ユニバーサルであるかのどちらかです。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}}
がグループのラップ可能なクラスであり、HがGにおいて有限のインデックスを持つ場合、Hが に対して SQ ユニバーサルである場合に限り、Gはクラスに対して SQ ユニバーサルになります。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}}

ラップ可能クラスを定義する動機は、ブーン＝ヒグマン定理などの結果に由来する。この定理は、可算群G が単語問題の可解性を持つ場合、かつその場合と、有限提示群Fに埋め込むことができる単純群Sに埋め込むことができる場合に限る、と述べている。フーシンは、群Fも単語問題の可解性を持つように構成できることを示した。この定理と、2つの群の直積をとっても単語問題の可解性が維持されるという事実を合わせると、次のことが示される。

解決可能な単語問題を持つすべての有限提示群のクラスはラップ可能です。

ラップ可能なグループのクラスの他の例は次のとおりです。

クラスがラップ可能であるという事実は、任意のグループが に対して SQ-普遍的であることを意味するものではありません。例えば、 のメンバーには何らかの基数制限が必要であることは明らかです。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}}

「SQ普遍性」の定義において、「 の商の部分群に同型である」という表現を「 の部分群に同型である」に置き換えると、より強い概念であるS普遍性（それぞれ について/における S普遍性 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} ）が得られます。ヒグマン埋め込み定理は、すべての有限提示群のコピーを含む有限提示群が存在することを証明するために使用できます。 が文章問題が解けるすべての有限提示群のクラスである場合、内の群について文章問題を解くための統一的なアルゴリズムは存在しないことが知られています。したがって、証明は予想ほど単純ではありませんが、 内のどの群も内のすべての群のコピーを含むことはできません。しかし、任意のSQ普遍群は に対してより強力にSQ普遍性を持つことは明らかです。を有限提示群のクラスとし、F 2を2つの生成元上の自由群とすると、これを次のようにまとめることができます。 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} W {\displaystyle {\mathcal {W}}} W {\displaystyle {\mathcal {W}}} W {\displaystyle {\mathcal {W}}} W {\displaystyle {\mathcal {W}}} F {\displaystyle {\mathcal {F}}}

  • F 2は、およびにおいて SQ 普遍です。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} W {\displaystyle {\mathcal {W}}}
  • には S 普遍的なグループが存在します。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  • には S 普遍的なグループは存在しません。 W {\displaystyle {\mathcal {W}}}

以下の質問が未解決です (2 番目は 1 番目を意味します)。

  • SQ-普遍ではないが、に対して SQ-普遍である可算群はありますか? W {\displaystyle {\mathcal {W}}}
  • SQ-普遍ではないが、 では SQ-普遍で ある可算群はありますか? W {\displaystyle {\mathcal {W}}}

F 2が SQ 普遍的であることを証明するのは非常に難しいが、有限群のクラスに対してSQ 普遍的であるという事実は、次の 2 つの事実から簡単にわかります。

他のカテゴリーにおけるSQ普遍性

が圏であり、が のオブジェクトのクラスである場合、 に対するSQ-普遍の定義は明らかに意味を成します。が具体的な圏である場合、における SQ-普遍の定義も意味を成します。群論の場合と同様に、の可算オブジェクトのクラスとの両方においてSQ-普遍であるオブジェクトに対して、SQ-普遍という用語を使用します。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} P {\displaystyle {\mathcal {P}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

多くの埋め込み定理は SQ 普遍性という観点から言い換えることができます。有限次元または可算次元のリー代数を 2 生成子リー代数に埋め込むことができるという Shirshov の定理は、2 生成子自由リー代数が SQ 普遍的である (リー代数のカテゴリにおいて) という命題と同値です。これは、リー代数に対する Higman、Neumann、Neumann の定理のバージョンを証明することによって証明できます。[12]しかし、HNN 定理のバージョンは、自由オブジェクトの明確な概念がないカテゴリに対して証明できます。たとえば、すべての分離可能な 位相群は、2 つの位相生成子を持つ (つまり、稠密な2 生成子部分群を持つ) グループの位相部分群と同型であることが証明できます。 [13]

同様の概念が自由格子にも成り立つ。3つの生成元を持つ自由格子は可算無限である。その部分格子として4つの生成元を持つ自由格子があり、帰納法によって部分格子として可算数個の生成元を持つ自由格子も持つ。[14]

参考文献

  1. ^ G. Higman、BH Neumann、H. Neumann、「群の埋め込み定理」、J. London Math. Soc. 24 (1949)、247-254
  2. ^ Anton A. Klyachko、「一関係詞相対的提示のSQ普遍性」、Arxivプレプリントmath.GR/0603468、2006
  3. ^ G. Arzhantseva, A. Minasyan, D. Osin、「相対双曲群のSQ普遍性と残差特性」、Journal of Algebra 315 (2007)、第1号、pp. 165-177
  4. ^ ベンジャミン・ファイン、マーヴィン・トレトコフ、「HNN群のSQ普遍性について」、アメリカ数学会誌、第73巻、第3号（1979年3月）、pp. 283-290
  5. ^ PM Neumann: いくつかの有限提示群のSQ普遍性。J. Austral. Math. Soc. 16, 1-6 (1973)
  6. ^ KI Lossov、「融合有限部分群を持つ自由積のSQ普遍性」、シベリア数学ジャーナル第27巻第6号/1986年11月
  7. ^ Muhammad A. Albar, 「4生成子コクセター群について」, Internat. J. Math & Math. Sci Vol 24, No 12 (2000), 821-823
  8. ^ CFミラー. 群の決定問題 ― 概観と考察. 『組合せ群論におけるアルゴリズムと分類』1-60ページ. シュプリンガー, 1991.
  9. ^ AO Houcine、「有限提示群における存在理論の満足といくつかの埋め込み定理」、Annals of Pure and Applied Logic、第142巻、第1-3号、2006年10月、351-365ページ
  10. ^ ローソン、マーク V. (1998)逆半群：部分対称性の理論、ワールドサイエンティフィック 。ISBN 981-02-3316-752ページ
  11. ^ PM Neumann: いくつかの有限提示群のSQ普遍性。J. Austral. Math. Soc. 16, 1-6 (1973)
  12. ^ AI LichtmanとM. Shirvani、「リー代数のHNN拡張」、Proc. American Math. Soc. Vol 125, Number 12、1997年12月、3501-3508
  13. ^ Sidney A. MorrisとVladimir Pestov、「ヒグマン・ノイマン・ノイマン定理の位相的一般化」、研究報告書RP-97-222（1997年5月）、ヴィクトリア大学ウェリントン校数学・計算科学部。また、J. Group Theory 1、No.2、181-187（1998年）も参照。
  14. ^ LA Skornjakov, Elements of Lattice Theory (1977) Adam Hilger Ltd. (77-78ページ参照)
  • ローソン, MV (1998).逆半群：部分対称性の理論. ワールドサイエンティフィック. ISBN 978-981-02-3316-7。

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