サンプリング（信号処理）
信号サンプリングの表現。連続信号S ( t )は緑色の線で表され、離散サンプルは青色の縦線で示されます

信号処理において、サンプリングとは連続時間信号を離散時間信号に変換することです。一般的な例としては、音波を「サンプル」の列に変換することが挙げられます。サンプルとは、時間または空間のある点における信号の値です。この定義は、統計学における「サンプル」の用法とは異なります。統計学では、そのような値の集合を指します。[ A ]

サンプラーとは、連続信号からサンプルを抽出するサブシステムまたは操作です。理論上理想的なサンプラーは、連続信号の任意の時点における瞬時値に相当するサンプルを生成します。

サンプルのシーケンスを再構成フィルタに通すことで、ナイキスト限界までのサンプルのシーケンスから元の信号を再構成できます。

理論

空間、時間、またはその他の次元の関数をサンプリングすることができ、同様に2次元以上でもサンプリングが可能です

時間とともに変化する関数の場合、をサンプリングする連続関数（または「信号」）とし、サンプリングは連続関数の値を1秒ごとに測定することによって実行されます。これはサンプリング間隔またはサンプリング周期と呼ばれます。[ 1 ] [ 2 ]すると、サンプリングされた関数は次のシーケンスで与えられます。 s（t）{\displaystyle s(t)}T{\displaystyle T}

s（nT）{\displaystyle s(nT)}、整数値の場合。n{\displaystyle n}

サンプリング周波数またはサンプリング レートは、1 秒間に取得されるサンプルの平均数です。単位はサンプル数/秒で、ヘルツと呼ばれることもあります。たとえば、48 kHz は 48,000サンプル/秒です。 fs{\displaystyle f_{s}}fs＝1/T{\displaystyle f_{s}=1/T}

サンプルから連続関数を再構成するには、補間アルゴリズムを使用します。ウィテカー・シャノン補間式は、サンプル値で変調（乗算）されたディラックデルタ関数の列を入力とする理想的なローパスフィルタと数学的に等価です。隣接するサンプル間の時間間隔が定数 のとき、デルタ関数の列はディラックコムと呼ばれます。数学的には、変調されたディラックコムはコム関数と の積に等価です。この数学的抽象化は、インパルスサンプリングと呼ばれることもあります。[ 3 ]（T）{\displaystyle (T)}s（t）{\displaystyle s(t)}

サンプリングされた信号の多くは、単純に保存して再構成するだけでは済まない。理論的な再構成の忠実度は、サンプリングの有効性を測る一般的な指標である。忠実度は、信号に2サンプル間隔未満の周期（周期）を持つ周波数成分が含まれている場合に低下する（エイリアシングを参照）。対応する周波数制限（サイクル/秒（ヘルツ）単位）は、サイクル/サンプル ×サンプル/秒 =であり、これはサンプラーのナイキスト周波数と呼ばれる。したがって、信号は通常、機能的にはアンチエイリアシングフィルタと呼ばれるローパスフィルタの出力である。アンチエイリアシングフィルタがないと、ナイキスト周波数よりも高い周波数がサンプルに影響を与え、補間処理によって誤って解釈される可能性がある。[ 4 ]s（t）{\displaystyle s(t)}0.5{\displaystyle 0.5}fs{\displaystyle f_{s}}fs/2{\displaystyle f_{s}/2}s（t）{\displaystyle s(t)}

実践上の考慮事項

実際には、連続信号はアナログ-デジタル変換器（ADC）を使用してサンプリングされます。ADCは様々な物理的制限を持つデバイスです。 これにより、理論的に完璧な再構成からの偏差が生じ、総称して歪みと呼ばれます

次のようなさまざまな種類の歪みが発生する可能性があります。

  • エイリアシング。ナイキスト周波数を超える周波数成分を持たないのは理論上の無限長関数のみであるため、ある程度のエイリアシングは避けられません。エイリアシングは、アンチエイリアシングフィルタの次数を十分に大きくすることで、任意に小さくすることができます。
  • アパーチャ誤差は、サンプルがサンプリング時点の信号値と単純に等しくなるのではなく、サンプリング領域内の時間平均として得られるという事実から生じます。[ 5 ]コンデンサベースのサンプル＆ホールド回路では、アパーチャ誤差は複数のメカニズムによって発生します。例えば、コンデンサは入力信号を瞬時に追跡することができず、また、コンデンサを入力信号から瞬時に分離することもできません。
  • 正確なサンプルタイミング間隔からのジッターまたは偏差。
  • ノイズには、熱センサーノイズ、アナログ回路ノイズなどがあります。
  • ADC 入力値が十分に急速に変化できないために発生するスルー レート制限エラー。
  • 変換された値を表すワードの精度が有限であることの結果としての量子化。
  • 入力電圧から変換された出力値へのマッピングのその他の非線形効果による誤差（量子化の影響に加えて）。

オーバーサンプリングを用いることで、アパーチャ誤差とエイリアシングを通過帯域外に移動させることで完全に除去できますが、この手法は数GHzを超える周波数では実用的ではなく、それよりはるかに低い周波数では法外なコストがかかる可能性があります。さらに、オーバーサンプリングは量子化誤差と非線形性を低減できますが、完全に除去することはできません。そのため、実用的なADCは、オーディオ周波数においてエイリアシングやアパーチャ誤差を示さず、量子化誤差によって制限されることもありません。その代わりに、アナログノイズが支配的になります。オーバーサンプリングが非現実的でフィルタが高価なRFおよびマイクロ波周波数では、アパーチャ誤差、量子化誤差、エイリアシングが大きな制限となる可能性があります。

ジッタ、ノイズ、量子化は、サンプル値に加算されるランダム誤差としてモデル化することで分析されることが多い。積分とゼロ次ホールドの効果は、ローパスフィルタリングの一種として分析できる。ADCまたはDACの非線形性は、理想的な線形関数マッピングを提案された非線形関数に置き換えることで分析される。

アプリケーション

オーディオサンプリング

デジタルオーディオシステムでは通常、パルス符号変調（PCM）を使用して、アナログオーディオ信号の電気レベルの一連の離散サンプルとして音声をエンコードします。アナログ信号は、アナログ-デジタル変換（ADC）でPCMサンプルとしてキャプチャ（エンコード）され、デジタル-アナログ変換（DAC）を使用して再生（デコード）されます。システム内でデジタル化された音声データの保存と伝送に使用されるエンコードは異なる場合があります

音楽や様々な音響イベントを録音する場合など、人間の可聴範囲である20～20,000 Hz全体をカバーする音声を収録する必要がある場合[ 6 ] 、音声波形は通常44.1 kHz（ CD）、48 kHz、88.2 kHz、または96 kHzでサンプリングされます[ 7 ] 。約2倍のレートが必要なのは、ナイキスト定理によるものです。約50 kHz～60 kHzより高いサンプリングレートでは、人間の聞き手にとって利用可能な情報を多く提供できません。初期のプロ用オーディオ機器メーカーは、この理由から40 kHz～50 kHz付近のサンプリングレートを選択しました。

業界では、96 kHz や 192 kHz など、基本要件をはるかに超えるサンプリング レートに向かう傾向があります[ 8 ]超音波周波数は人間には聞こえませんが、より高いサンプリング レートで録音およびミキシングを行うと、フォールドバック エイリアシングによって発生する可能性のある歪みを効果的に除去できます。逆に、超音波は周波数スペクトルの可聴部分と相互作用して変調するため (相互変調歪み)、忠実度が低下します[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]より高いサンプリング レートの利点の 1 つは、 ADCとDAC のローパス フィルタの設計要件を緩和できることですが、最新のオーバーサンプリングデルタ シグマ コンバータではこの利点はそれほど重要ではありません。

オーディオエンジニアリング協会は、ほとんどのアプリケーションで48 kHzのサンプリングレートを推奨していますが、CDやその他の民生用途では44.1 kHz、伝送関連のアプリケーションでは32 kHz、より高い帯域幅または緩和されたアンチエイリアシングフィルタリングでは96 kHzを認めています。[ 13 ] Lavry EngineeringとJ. Robert Stuartはどちらも理想的なサンプリングレートは約60 kHzであると述べていますが、これは標準周波数ではないため、録音目的では88.2 kHzまたは96 kHzを推奨しています。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] 一般的なオーディオサンプルレートのより完全なリストは次のとおりです。

サンプリングレート 使用
5,512.5 Hz Flashでサポートされています。[ 18 ]
8,000 Hz 電話、暗号化トランシーバー、ワイヤレスインターコム、ワイヤレスマイクの送信。人間の会話には適していますが、歯擦音（ess がeff（/ s /、/ f /） のように発音されます）はありません。
11,025 Hz オーディオCDのサンプリングレートの4分の1。低品質のPCM、MPEGオーディオ、およびサブウーファーのバンドパスのオーディオ分析に使用されます
16,000Hz 標準的な電話の狭帯域8,000Hzを超える広帯域周波数拡張。ほとんどの最新のVoIPおよびVVoIP通信製品で使用されています。[ 19 ]
22,050 Hz オーディオCDのサンプリングレートの半分。低品質のPCMおよびMPEGオーディオ、および低周波エネルギーのオーディオ分析に使用されます。78回転レコードやAMラジオなどの20世紀初頭のオーディオフォーマットのデジタル化に適しています。[ 20 ]
32,000 Hz miniDVデジタルビデオカメラ、追加音声チャンネル付きビデオテープ（例：4チャンネル音声付きDVCAM ）、 DAT（LPモード）、ドイツのDigitales Satellitenradio、NICAMデジタルオーディオ（一部の国ではアナログテレビ音声と併用）。高品質デジタルワイヤレスマイク。[ 21 ] FMラジオのデジタル 化に適しています
37,800 Hz CD-XAオーディオ
44,055.9 Hz NTSCカラービデオ信号（1ラインあたり3サンプル、1フィールドあたり245ライン、1秒あたり59.94フィールド = 1秒あたり29.97フレーム） にロックされたデジタルオーディオで使用されます
44,100 HzオーディオCD。MPEG -1オーディオ（VCD、SVCD、MP3）でも最も一般的に使用されています。ソニーが最初にこの方式を選んだのは、25フレーム/秒（PAL）または30フレーム/秒（NTSCモノクロビデオレコーダーを使用）で動作する改造ビデオ機器に記録でき、当時のプロ用アナログ録画機器に匹敵すると考えられていた20kHzの帯域幅をカバーできるためです。PCMアダプターは、例えばPALビデオテープのアナログビデオチャンネルに、1ラインあたり3サンプル、1フレームあたり588ライン、1秒あたり25フレームを使用して、 デジタルオーディオサンプルを入力できます
47,250 Hz 日本コロムビア（デノン） による世界初の商用PCM録音機
48,000 Hzテープ レコーダー、ビデオ サーバー、ビジョン ミキサーなどの業務用デジタル ビデオ機器で使用される標準のオーディオ サンプリング レート。このレートが選ばれたのは、最大 22 kHz の周波数を再構成でき、29.97 フレーム/秒の NTSC ビデオのほか、25 フレーム/秒、30 フレーム/秒、24 フレーム/秒のシステムでも動作するためです。29.97フレーム/秒のシステムでは、フレームごとに 1601.6 のオーディオ サンプルを処理する必要があり、ビデオ フレームの 5 つごとに整数個のオーディオ サンプルが配信されます。[ 13 ] DV、デジタル TV、DVD、映画などの民生用ビデオ形式のサウンドにも使用されます。放送テレビ機器を接続するために使用される業務用シリアル デジタル インターフェイス(SDI) と高精細度シリアル デジタル インターフェイス( HD -SDI)
50,000Hz 70年代後半に3MとSoundstreamが発売し た最初の商用デジタルオーディオレコーダー
50,400 Hz 三菱X-80デジタルオーディオレコーダー で使用されるサンプリングレート
64,000 Hz あまり使用されていませんが、一部のハードウェア[ 22 ] [ 23 ]とソフトウェア[ 24 ] [ 25 ]でサポートされています
88,200Hz 一部のプロ用録音機器がCDへの録音に使用するサンプリングレート（44,100Hzの倍数）。ミキサー、EQ、コンプレッサー、リバーブ、クロスオーバー、録音機器など、一部のプロ用オーディオ機器は88.2kHzサンプリングを使用（または選択可能）します
96,000 Hz DVDオーディオ、一部のLPCM DVDトラック、BD-ROM（ブルーレイディスク）オーディオトラック、HD DVD（ハイビジョンDVD）オーディオトラック。一部のプロ用録音・制作機器では、96 kHzサンプリングを選択できます。このサンプリング周波数は、プロ用機器のオーディオで一般的に使用されている48 kHz規格の2倍です
176,400 Hz HDCDレコーダーやその他のCD制作用プロフェッショナルアプリケーションで使用されるサンプリングレート。44.1 kHzの4倍の周波数です
192,000 Hz DVDオーディオ、一部のLPCM DVDトラック、BD-ROM（ブルーレイディスク）オーディオトラック、HD DVD（ハイデフィニションDVD）オーディオトラック、ハイデフィニションオーディオ録音機器、およびオーディオ編集ソフトウェア。このサンプリング周波数は、プロ仕様のビデオ機器のオーディオで一般的に使用されている48 kHz規格の4倍です
352,800 Hz Digital eXtreme Definition は、スーパーオーディオ CD の録音と編集に使用されます。1 ビットのDirect Stream Digital (DSD) は編集には適していないためです。周波数は 44.1 kHz の 8 倍です。
384,000 Hz 一般的なソフトウェアで利用可能な最大サンプルレート。
2,822,400 Hz SACD は、ソニーとフィリップスが共同開発した、ダイレクトストリームデジタルと呼ばれる1 ビットデルタシグマ変調方式です。
5,644,800 Hz ダブルレートDSD（1ビットダイレクトストリームデジタル）。SACDの2倍のレートです。一部のプロ用DSDレコーダーで使用されています
11,289,600 Hz クアッドレートDSD（1ビットダイレクトストリームデジタル、 SACDの4倍のレート）。一部の珍しいプロ用DSDレコーダーで使用されています
22,579,200 Hz 8倍速DSD、SACDの8倍のレートの 1ビットダイレクトストリームデジタル。まれに実験的なDSDレコーダーで使用されます。DSD512とも呼ばれます
45,158,400 Hz セクサブルレートDSD、SACDの16倍のレートで1ビットのダイレクト・ストリーム・デジタル。まれに実験的なDSDレコーダーで使用されます。DSD1024とも呼ばれます。 [ B ]

ビット深度

オーディオは通常、8、16、24ビットの深度で録音されます。純粋な正弦波の理論上の最大信号対量子化雑音比（SQNR）は、それぞれ約49.93dB  、 98.09dB、122.17dBです。[ 26 ] CD品質のオーディオは16ビットのサンプルを使用します。熱雑音によって、量子化に使用できる実際のビット数が制限されます。120dBを超える信号対雑音比（SNR）を持つアナログシステムはほとんどありません。しかし、デジタル信号処理操作は非常に高いダイナミックレンジを持つことができるため、ミキシングとマスタリング操作を32ビット浮動小数点精度で実行し、配信のために16ビットまたは24ビットに変換するの が一般的です

音声サンプリング

音声信号、つまり人間の音声のみを伝送することを目的とした信号は、通常、はるかに低いレートでサンプリングできます。ほとんどの音素では、エネルギーのほぼすべてが100Hz～4kHzの範囲に含まれるため、8kHzのサンプリングレートが可能です。これは、G.711のサンプリングおよび量子化仕様 を使用するほぼすべての電話システムで使用されているサンプリングレートです

ビデオサンプリング

標準解像度テレビ(SDTV) では、画像表示領域として 720 x 480ピクセル(米国NTSC 525 ライン) または 720 x 576 ピクセル (英国PAL 625 ライン) を使用します。

高精細テレビ(HDTV) では、720p (プログレッシブ)、1080i (インターレース)、1080p (プログレッシブ、フル HD とも呼ばれる) が使用されます。

デジタルビデオでは、時間的サンプリングレートは概念的なピクセルクロック ではなく、フレームレート （あるいはフィールドレート）として定義されます。画像サンプリング周波数は、センサーの積分期間の繰り返しレートです。積分期間は繰り返し間隔よりも大幅に短い場合があるため、サンプリング周波数はサンプル時間の逆数と異なる場合があります。

  • 50 Hz – PALビデオ
  • 60 / 1.001 Hz ~= 59.94 Hz – NTSCビデオ

ビデオデジタル - アナログ コンバーターは、メガヘルツ範囲 (初期のゲーム コンソールの低品質の複合ビデオ スケーラーの場合は約 3 MHz から、最高解像度の VGA 出力の場合は 250 MHz 以上) で動作します。

アナログビデオをデジタルビデオに変換する際には、異なるサンプリング処理が行われます。この処理では、走査線に沿った空間サンプリングレートに対応するピクセル周波数で行われます。一般的なピクセルサンプリングレートは以下のとおりです。

反対方向の空間サンプリングは、ラスター内の走査線の間隔によって決まります。両空間方向のサンプリングレートと解像度は、画像の高さあたりの走査線数という単位で測定できます。

高周波の輝度または彩度のビデオ成分の空間エイリアシングは、モアレ パターンとして現れます。

3Dサンプリング

ボリュームレンダリングは、ボクセルの3Dグリッドをサンプリングし、スライスされた（断層）データの3Dレンダリング画像を生成するプロセスです。3Dグリッドは、3D空間の連続領域を表すものと想定されています。ボリュームレンダリングは、 X線コンピュータ断層撮影（CT/CAT）、磁気共鳴画像（MRI）、陽電子放出断層撮影（PET）など、医療画像診断で広く利用されています。また、地震波トモグラフィーなどのアプリケーション にも用いられています。

上の2つのグラフは、特定のレートでサンプリングした場合に同じ結果を生成する2つの異なる関数のフーリエ変換を示しています。ベースバンド関数はナイキスト周波数よりも高速にサンプリングされ、バンドパス関数はアンダーサンプリングされているため、実質的にベースバンドに変換されています。下のグラフは、サンプリング処理のエイリアスによって、同一のスペクトル結果が生成される様子を示しています。

アンダーサンプリング

バンドパス信号をナイキスト周波数よりも遅くサンプリングすると、サンプルは高周波信号の低周波エイリアスのサンプルと区別できなくなります。これは、バンドパス信号が依然として一意に表現され、回復可能であるため、最低周波エイリアスがナイキスト基準を満たすように意図的に行われることがよくあります。このようなアンダーサンプリングは、バンドパスサンプリング、高調波サンプリング、IFサンプリング、およびダイレクトIFデジタル変換とも呼ばれます。 [ 27 ]

オーバーサンプリング

オーバーサンプリングは、ウィテカー・シャノン補間式のような理想化の代わりに、ゼロ次ホールドなどの実際のデジタル・アナログ変換器によって生じる歪みを低減するために、ほとんどの現代のアナログ・デジタル変換器で使用されています。[ 28 ]

複雑なサンプリング

複素サンプリング（またはI/Q サンプリング）は、関連している 2 つの波形を同時にサンプリングすることで、その後複素数として扱われるサンプルのペアを生成します。[ C ]一方の波形がもう一方の波形 のヒルベルト変換である場合、複素数値関数 は解析信号と呼ばれ、そのフーリエ変換は周波数のすべての負の値に対して 0 になります。その場合、周波数 ≥ Bのない波形の ナイキスト レートは、(実数サンプル/秒) ではなく、B (複素サンプル/秒)にまで低減できます。[ D ]より明白なことに、等価のベースバンド波形もナイキスト レートは です。これは、その非ゼロ周波数コンテンツがすべて間隔 にシフトされるためです。 s^（t）{\displaystyle {\hat {s}}(t)}s（t）{\displaystyle s(t)}sa（t）≜s（t）+i⋅s^（t）{\displaystyle s_{a}(t)\triangleq s(t)+i\cdot {\hat {s}}(t)}2B{\displaystyle 2B}sa（t）⋅e−i2πB2t{\displaystyle s_{a}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}t}}B{\displaystyle B}[−B/2,B/2]{\displaystyle [-B/2,B/2]}

複素数値サンプルは上記のように取得できますが、実数値波形のサンプルを操作することでも作成できます。例えば、 を明示的に計算しなくても、積シーケンス 、[ E ]をカットオフ周波数が であるデジタルローパスフィルタに通すことで、等価のベースバンド波形を作成できます。[ F ]出力シーケンスのサンプルを1つおきに計算するだけで、ナイキスト周波数の低下に応じてサンプルレートが低下します。結果として、複素数値サンプルの数は元の実数サンプルの半分になります。情報は失われず、必要に応じて元の波形を復元できます。 s^（t）{\displaystyle {\hat {s}}(t)}[s（nT）⋅e−i2πB2Tn]{\displaystyle \left[s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}Tn}\right]}B/2{\displaystyle B/2}s（t）{\displaystyle s(t)}

参照

注記

  1. ^たとえば、信号処理における「サンプル数」は、統計学における「サンプルサイズ」とほぼ同等です。
  2. ^さらに高い DSD サンプリング レートも存在しますが、そのメリットは目に見えにくく、ファイルのサイズも膨大になります。
  3. ^サンプルペアは星座図上の点として表示されることもあります。
  4. ^複素サンプルレートがBの場合、例えば 0.6 Bの周波数成分は -0.4 Bにエイリアスを持ちますが、これは事前サンプリングされた信号が解析的であるという制約により明確に識別されます。エイリアシング § 複素正弦波も参照してください。
  5. ^ s ( t ) がナイキスト周波数 (1/ T = 2 B ) でサンプリングされると、積のシーケンスは次のように単純化されます。[s（nT）⋅（−i）n]。{\displaystyle \left[s(nT)\cdot (-i)^{n}\right].}
  6. ^複素数列は、実数値係数を持つフィルタのインパルス応答と畳み込まれます。これは、実部と虚部の列を別々にフィルタリングし、出力において複素数ペアを再形成することと等価です。

参考文献

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参考文献

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