佐々木多様体

微分幾何学において、佐々木多様体（ささきたねんぞく、 Sasakian manifold ）は、佐々木計量と呼ばれる特殊なリーマン計量を備えた接触多様体である。これは、 ケーラー多様体（必然的に偶数次元） の自然な奇数次元対応物として研究されている。 （ M 、 θ ） {\displaystyle (M,\theta )} グラム {\displaystyle g}

意味

ササキ計量はリーマン錐の構成を用いて定義される。リーマン多様体 が与えられたとき、そのリーマン錐は （ M 、 グラム ） {\displaystyle (M,g)}

（ M × R > 0 ） {\displaystyle (M\times {\mathbb {R} }^{>0})\,}

半線付き、円錐メトリックを装備 M {\displaystyle M} R > 0 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}

t 2 グラム + d t 2 、 {\displaystyle t^{2}g+dt^{2},\,}

のパラメータはです。 t {\displaystyle t} R > 0 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}

1-形式を備えた多様体 は、2-形式が M {\displaystyle M} θ {\displaystyle \theta}

d （ t 2 θ ） ＝ t 2 d θ + 2 t d t ∧ θ {\displaystyle d(t^{2}\theta )=t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta \,}

接触リーマン多様体は、その円錐上のリーマン円錐がシンプレクティックである（これは接触構造の可能な定義の一つである）。接触リーマン多様体は、その円錐計量を持つリーマン円錐がケーラー形式を持つ ケーラー多様体である場合、ササキアンである。

t 2 d θ + 2 t d t ∧ θ 。 {\displaystyle t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta .}

例

例として、

S 2 n − 1 ↪ R 2 n ＝ C n {\displaystyle S^{2n-1}\hookrightarrow {\mathbb {R} }^{2n}={\mathbb {C} }^{n}}

ここで、右辺は自然ケーラー多様体であり、球面上の円錐（埋め込み計量を持つ）として読み取られる。 上の接触1-形式は、接ベクトル に関連付けられた形式であり、球面への単位法線ベクトル（上の複素構造）から構成される。 S 2 n − 1 {\displaystyle S^{2n-1}} 私 北 → {\displaystyle i{\vec {N}}} 北 → {\displaystyle {\vec {N}}} 私 {\displaystyle i} C n {\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}

もう一つの非コンパクトな例は、接触フォームを付与した 座標である。 R 2 n + 1 {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{2n+1}}} （ × → 、 y → 、 z ） {\displaystyle ({\vec {x}},{\vec {y}},z)}

θ ＝ 1 2 d z + ∑ 私 y 私 d × 私 {\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i}y_{i}\,dx_{i}}

リーマン計量

グラム ＝ ∑ 私 （ d × 私 ） 2 + （ d y 私 ） 2 + θ 2 。 {\displaystyle g=\sum_{i}(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}+\theta^{2}.}

3 番目の例として次のものを考えてみましょう。

P 2 n − 1 R ↪ C n / Z 2 {\displaystyle {\mathbb {P} }^{2n-1}{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathbb {C} }^{n}/{\mathbb {Z} }_{2}}

ここで、右辺は自然なケーラー構造を持ち、群は原点で反射によって作用します。 Z 2 {\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}}

歴史

佐々木多様体は、1960年に日本の幾何学者佐々木重雄によって導入されました。[1] 1970年代半ば以降、弦理論が登場するまで、この分野での活発な研究は見られませんでした。それ以来、佐々木多様体は、チャールズ・P・ボイヤーとクリストフ・ガリツキ、そして彼らの共著者 による一連の論文のおかげで、物理学と代数幾何学において注目を集めるようになりました。

レーブベクトル場

ササキ多様体上の円錐上の相似ベクトル場は次のように定義さ れる。

t ∂ / ∂ t 。 {\displaystyle t\partial /\partial t.}

円錐は定義によりケーラー円錐であるため、複素構造Jが存在する。ササスキ多様体上の レーブベクトル場は次のように定義される。

ξ ＝ − J （ t ∂ / ∂ t ） 。 {\displaystyle \xi =-J(t\partial /\partial t).}

それはどこにも消滅しない。円錐上のすべての正則キリングベクトル、特にササキ多様体のすべての等長変換と可換である。ベクトル場の軌道が閉じている場合、軌道空間はケーラー軌道群である。単位半径のササキ多様体におけるレーブベクトル場は単位ベクトル場であり、埋め込みに接線方向である。

佐々木・アインシュタイン多様体

ササキ多様体とは、リーマン錐がケーラー錐である多様体である。さらに、この錐がリッチ平坦である場合、ササキ・アインシュタイン多様体と呼ばれる。また、超ケーラーである場合、3-ササキ多様体と呼ばれる。任意の3-ササキ多様体は、アインシュタイン多様体であると同時にスピン多様体でもある。 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M}

M が正スカラー曲率のケーラー・アインシュタイン多様体である場合、小林昭七の観察によれば、標準直線束の円束Sは、 SからMへの射影がリーマン沈み込みになるような方法で、ササキ・アインシュタイン計量を持つ。(例えば、3 番目から 8 番目のデル・ペッツォ面上の適切な円束上にササキ・アインシュタイン計量が存在することになる。) このリーマン沈み込み構成は任意のササキ・アインシュタイン多様体の正しい局所的描像を与えるが、そのような多様体の大域的構造はより複雑になることがある。例えば、ケーラー・アインシュタイン軌道体Mから始めて、より一般的にササキ・アインシュタイン多様体を構築することができる。この観察を用いて、ボイヤー、ガリツキ、ヤノシュ・コラーはササキ・アインシュタイン 5 次元多様体の無限個のホメオタイプを構築した。同じ構成から、5 次元球面上のアインシュタイン計量のモジュライ空間には少なくとも数百の連結成分があることが分かります。

注記

  1. ^ 佐々木茂雄 (1960). 「概接触構造と密接な関係にある特定の構造を持つ微分可能多様体について I」.東北数学ジャーナル. 2. 12 (3): 459– 476. doi : 10.2748/tmj/1178244407 .

参考文献

  • 佐々木繁雄、「概接触構造と密接な関係のある構造を持つ微分可能多様体について」、 東北数学誌 2 (1960), 459-476。
  • チャールズ・P・ボイヤー、クリストフ・ガリツキ、ササキアン幾何学
  • Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki, "3-Sasakian Manifolds", Surveys Diff. Geom. 7 (1999) 123-184
  • Dario Martelli、James Sparks、Shing-Tung Yau、「Sasaki-Einstein Manifolds and Volume Minimization」、ArXiv hep-th/0603021
  • EoMページ、佐々木多様体
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