量子傷跡

外部磁場による無秩序な量子井戸における摂動誘起量子スキッピングスカー。[ 1 ]

量子力学において、量子傷跡とは、古典的にカオス的な量子系の固有状態が不安定な古典周期軌道の経路の周囲で確率密度が高くなる現象である。 [ 2 ] [ 3 ]この周期軌道の不安定性が、安定な周期軌道の近傍で確率密度が高くなるというより自明な観察と量子傷跡を区別する決定的な点である。後者は純粋に古典的な現象、ボーア対応原理の現れとして理解できるが、前者では量子干渉が不可欠である。このように、傷跡は量子古典対応の視覚的な例であると同時に、カオスの（局所的な）量子抑制の例でもある。

古典的カオス系はエルゴード的でもあるため、（ほぼ）すべての軌跡は最終的にアクセス可能な位相空間全体を均等に探索する。したがって、量子対応物の固有状態は、半古典的極限でのランダム変動まで、量子位相空間を均一に満たすと予想するのが自然である。しかし、傷跡はこの仮定に対する重要な修正である。したがって、傷跡は、短い周期軌道がランダム行列理論の普遍スペクトル統計に修正を与える方法の固有状態対応物と見なすことができる。エルゴード性の量子的性質に関する厳密な数学的定理があり、[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]演算子の期待値は半古典的極限で対応するミクロカノニカル古典的平均に収束することを証明している。それでもなお、量子エルゴード性定理は、傷跡の量子位相空間体積が半古典的極限で徐々に消失する場合、傷跡を排除しない。

古典的側面では、傷跡に直接類似するものは存在しない。量子的側面では、傷跡は、短い周期軌道が普遍ランダム行列理論の固有値統計を修正する方法に対する固有状態のアナロジーとして解釈できる。傷跡は、量子エルゴード性定理によって許容される非エルゴード状態に対応する。特に、傷跡のある状態は、古典的カオス系の固有状態は構造を持たないという仮定に対する、印象的な視覚的反例となる。従来の量子傷跡に加えて、量子傷跡の分野は、摂動誘起傷跡や多体傷跡の発見を契機にルネサンス期を迎えており、これらはその後、この分野におけるアンチスカーリングや量子バースマークといった新しい概念への道を開いた。

傷跡理論

ブニモビッチ・スタジアムの典型的な傷跡のある固有状態。図は3つの異なる固有状態の確率密度を示している。確率密度が集中している領域を指す傷跡は、（不安定な）周期軌道によって生成されており、そのうち2つが示されている。

量子力学的状態密度を対応する古典システムの周期軌道に結び付けるGutzwiller のトレース公式[ 7 ] [ 8 ]に基づくと、傷跡状態の存在はかなり予想外のことである。トレース公式によれば、量子スペクトルはすべての位置にわたるトレースの結果ではなく、すべての周期軌道にわたるトレースによってのみ決定される。さらに、すべての周期軌道は、厳密に均等ではないものの、固有値に寄与する。完全なカオスシステムにおいて、特定の周期軌道が特定の固有状態に際立って寄与することは、さらにありそうにない。なぜなら、すべての周期軌道は、全位相空間体積のうちゼロ体積部分を占めるからである。したがって、与えられた固有値に対する特定の周期軌道が、他の周期軌道と比較して重要な役割を果たす可能性があることを示唆するものは何もないと思われる。とはいえ、量子傷跡はこの仮定が間違っていることを証明している。この傷跡は、1983年にS・W・マクドナルドがスタジアムビリヤードに関する論文の中で、興味深い数値的観察として初めて発見されました。[ 9 ]マクドナルドの論文では、傷跡はかなり粗い「滝」プロットであったため、図にはうまく現れませんでした。この発見は、スタジアムビリヤードの波動関数と最近傍準位間隔スペクトルに関する論文の議論では十分に報告されていませんでした。[ 10 ] 1年後、エリック・J・ヘラーは、傷跡のある固有関数の最初の例とその存在の理論的説明を発表しました。[ 2 ]その結果、古典的に混沌としたブニモビッチ・スタジアムのいくつかの固有状態に影響を与える個々の周期軌道の大きな足跡が明らかになり、ヘラーはこれを「傷跡」と名付けました。

波束解析は、傷跡の存在を証明する鍵であり、現在でも傷跡を理解するための貴重なツールです。ヘラーの最初の著作[ 2 ]では、ガウス波束を周期軌道に沿って伝播させることによって量子スペクトルを抽出しました。今日では、この独創的なアイデアは、傷跡の線形理論として知られています。[ 2 ] [ 3 ] [ 11 ] [ 12 ] 傷跡は、古典的カオス系の一部の固有状態では目に付きますが、周期軌道に沿った平均位置と平均運動量の両方を持つ特定のテスト状態（多くの場合、ガウス分布）への固有状態の投影によって定量化されます。これらのテスト状態は、傷跡の必要性を明らかにする、証明可能に構造化されたスペクトルを与えます。[ 13 ]しかし、傷跡に関する普遍的な尺度は存在せず、安定指数と傷跡の強度の正確な関係は定義の問題です。それでも、経験則がある：[ 3 ] [ 7 ]量子傷跡は のときに顕著であり、その強度は に比例する。したがって、強い量子傷跡は、一般的に、中程度に不安定で比較的短い周期軌道と関連している。理論は、古典的な周期軌道に沿った傷跡の増強を予測するが、どの特定の状態がどの程度傷跡を残すかを正確に特定することはできない。むしろ、いくつかの状態は特定のエネルギー領域内で、少なくともある程度傷跡を残すとしか言えない。 χ{\displaystyle \chi }χ<2π{\displaystyle \chi <2\pi }χ−1{\displaystyle \chi ^{-1}}

上記で概説した線形瘢痕形成理論は、後に波束が周期軌道の周りの線形動力学領域を離れた後に生じる非線形効果も含むように拡張された。[ 12 ]長時間では、非線形効果は瘢痕形成を助長する可能性がある。これは、ホモクリニック軌道に関連する非線形回帰に起因する。瘢痕形成に関する更なる知見は、EB Bogomolnyによる実空間アプローチ[ 14 ]と、 Michael V. Berryによる位相空間アプローチ[ 15 ]によって得られ、これらはHellerとL. Kaplanによって用いられた波束法とHussimi空間法を補完するものである。[ 2 ] [ 3 ] [ 12 ]

瘢痕化のレベルを測る普遍的な尺度が存在しないのと同様に、瘢痕化の一般的に受け入れられている定義も存在しない。当初は、ある種の不安定な周期軌道が、余分な密度が周期軌道の領域を取り囲むという意味で、一部の量子固有関数に恒久的な瘢痕化を与えることが示されていると述べられた[ 2 ]。しかし、瘢痕化のより正式な定義は以下のようになる: [ 3 ] 古典的カオス系の量子固有状態が周期によって瘢痕化されるとは、その周期付近およびその周期全体にわたる古典的不変多様体上のその密度が、その軌道に沿った古典的な統計的に予想される密度よりも系統的に増大する場合である。 ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}

量子傷跡に関する研究のほとんどは、粒子エネルギーの運動量への依存性が2次であるシュレーディンガー方程式で記述される非相対論的量子系に限定されてきた。しかし、エネルギーと運動量の関係が線形であるディラック方程式で記述される相対論的量子系でも傷跡が発生することがある。[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]経験的に、これらの相対論的傷跡は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式と同様に、両方のスピノル成分がヘルムホルツ方程式を満たすという事実の結果である。したがって、相対論的傷跡は、EJ ヘラーによって導入された従来の傷跡[ 2 ]と同じ起源を持つ。しかしながら、エネルギー変化に関する再発の点では違いがある。さらに、傷跡状態は、共鳴透過のメカニズムを介して、対応する開いた量子ドットで強い伝導率変動につながる可能性があることが示された。[ 16 ]

傷跡の最初の実験的確認は、1990年代初頭にマイクロ波ビリヤードで得られました。[ 19 ] [ 20 ]その後、量子井戸、[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]光空洞[ 24 ] [ 25 ]水素原子[26 ]などの観測により、傷跡の更なる実験的証拠が得られました。 2000年代初頭には、楕円ビリヤードで最初の観測が達成されました。[ 27 ]多くの古典的な軌跡がこのシステムに収束し、焦点に顕著な傷跡をもたらします。これは一般に量子蜃気楼と呼ばれます。[28 ]さらに、最近の数値結果は、超冷却原子気体に量子傷跡が存在することを示しました。[ 29 ]古典波動実験におけるこれらの類似の傷跡を除けば、この現象の検証は真の量子システムでは困難なままであったが、最近では走査トンネル顕微鏡を用いてスタジアム型のグラフェンベースの量子ドットにおける（相対論的な）量子傷跡を直接可視化するという成果が得られた。[ 30 ]

上で説明した傷跡に加えて、理論または外観で結びついた類似の現象がいくつかあります。まず、傷跡が視覚的に識別されると、いくつかの状態は、量子傷跡から独自のカテゴリに除外された古典的な「跳ねるボール」の動きを思い起こさせる場合があります。たとえば、スタジアムのビリヤードでは、まっすぐな壁の間に閉じ込められた跳ねる動きを反映する、これらの非常に非エルゴードな固有状態がサポートされます。[ 3 ]跳ねる状態は極限で持続することが示されているが、同時にこの結果は、アレクサンダー・シュニレルマン、イヴ・コラン・ド・ヴェルディエール、およびスティーブン・ゼルディッチの量子エルゴード性定理と一致するすべての状態の割合が減少することを示唆しています。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]第二に、傷跡を統計的変動と混同してはいけません。確率密度が向上した同様の構造は、ベリー予想の意味で、平面波のランダムな重ね合わせとしても発生します[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]さらに、実際の周期軌道によって引き起こされるのではなく、その残骸であるゴーストと呼ばれる傷跡があります。これは、近傍のシステムで見られる周期軌道を、調整可能な外部システムパラメータの意味で表します。[ 34 ] [ 35 ]この種の傷跡は、ほぼ周期的な軌道と関連付けられています。[ 36 ]ゴーストの別のサブクラスは、分岐点の近傍に存在する複雑な周期軌道に起因します。[ 37 ] [ 38 ]ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}

摂動誘起（変分）量子傷跡

無秩序な量子ドットにおける瘢痕形成の例。摂動を受けていないポテンシャルは の形状を持ち、ランダムに散在するガウス分布の突起によって摂動を受けている（赤いマーカーは突起の位置と大きさを示す）。図は、摂動を受けていない系の周期軌道（青の実線）によって強く傷つけられた、摂動を受けた量子井戸の固有状態の一つを示している。V（r）∝r5{\displaystyle V(r)\propto r^{5}}

乱れた二次元ナノ構造において、新しい種類の量子傷跡が発見された。[ 39 ] [ 40 ] [ 1 ] [ 41 ] [ 42 ]前述の通常の量子傷跡と外見は似ているものの、根本的に異なる起源を持つ。この場合、小さな摂動（図中の赤い点を参照）から生じる乱れは、古典的な長期安定性を破壊するのに十分である。したがって、通常の傷跡理論において傷跡が対応する、古典的対応物には中程度に不安定な周期軌道は存在しない。その代わりに、傷跡は対応する摂動を受けていない系の周期軌道の周囲に形成される。通常の傷跡理論は、乱れの強さの関数としての傷跡の挙動によってさらに排除される。ポテンシャルバンプを他の部分を変えずに強くすると、傷跡は強くなり、その後、向きを変えることなく消えていく。逆に、従来の理論によって生じた傷跡は、乱れの増加に伴って周期軌道の安定指数が増加するため、急速に弱くなるはずである。さらに、異なるエネルギーでの傷跡を比較すると、傷跡はいくつかの異なる方向にのみ発生することが明らかになり、これも通常の傷跡理論の予測と矛盾しています。

多体量子瘢痕

量子多体傷跡の分野は活発に研究されている。[ 43 ] [ 44 ]

リュードベリ状態の量子コンピューティングへの潜在的な応用、特に量子シミュレーションの量子ビットとしての利用に関する研究で、傷跡が発見された。[ 45 ] [ 46 ]基底状態とリュードベリ状態を交互に繰り返す系の粒子は、エンタングルメント状態を維持して熱平衡化を起こすのではなく、継続的にエンタングルメントと解離を繰り返す。[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] 同じ原子を他の初期状態で準備した系は、予想通り熱平衡化した。[ 46 ] [ 47 ] 研究者たちはこの現象を「量子多体傷跡」と名付けた。[ 48 ] [ 49 ]

量子傷の原因は十分に解明されていない。[ 45 ]提案されている説明の1つは、量子傷が積分可能なシステム、またはそれに近いシステムを表し、これが熱化の発生を妨げる可能性があるというものである。[ 50 ] これは、積分不可能なハミルトニアンが理論の基礎になっていると主張する批判を引き起こしている。[ 51 ]最近、一連の研究[ 52 ] [ 53 ]により、量子傷の存在が動的対称性として知られる代数構造に関連付けられている。[ 54 ] [ 55 ]

量子ビットの状態への摂動は状態を熱化させ、量子情報の損失につながる可能性があるため、フォールトトレラントな量子コンピュータが望まれている。[ 45 ]量子ビット状態の瘢痕化は、デコヒーレンスや情報損失 につながる外部からの擾乱から量子ビット状態を保護する潜在的な方法と考えられている。

瘢痕形成防止

量子瘢痕形成の興味深い結果は、その双対である反瘢痕形成である[ 3 ]。 これは、瘢痕を生成する周期軌道の経路に沿った量子状態の確率密度の系統的な低下を指す。反瘢痕形成の存在は、一般スタッキング定理によって確認されている：[ 56 ]固有状態の累積確率密度は、合計された固有状態のエネルギーウィンドウがシステムの最短周期軌道に関連付けられたエネルギースケールよりも大きいときに均一になる。固有状態の中には強く瘢痕化された状態が存在する可能性があるため、多数の状態にわたる均一な平均​​の必要性から、「通常の」瘢痕の領域に低確率の反瘢痕形成状態が存在することが必要となる。この効果は変分瘢痕形成のコンテキストで実証されており、中程度のエネルギーウィンドウ内での瘢痕の強度と類似の配向によって促進される。[ 56 ]さらに、いくつかの崩壊過程は異常に長い脱出時間を伴う反傷跡状態を持つことが 認識されている[ 57 ] 。

量子バースマーク

図は、量子波束の長時間極限における時間平均確率密度の2つのケースを示している。上図は傷跡の上から発射された場合、下図は一般的な方向へ発射された場合である。どちらの場合も、長期分布は、古典的エルゴード性に伴う均一性の代わりに、初期の振る舞いの痕跡、すなわち量子バースマークを含んでいる。

古典エルゴード性の特徴は、初期条件の記憶が完全に失われることであり、これは最終的に位相空間を均一に探索する結果として生じる。しかし、量子系では、量子傷跡の存在に代表されるように、古典エルゴード的な振る舞いは破綻する可能性がある。量子バースマーク[ 58 ]の概念は、傷跡によるような短期的な影響と、ランダム行列理論の長期的予測を橋渡しする。量子傷跡を超えて拡張することで、量子バースマークはエルゴード性の捉えどころのない量子的性質を理解するための新たなパラダイムを提供する。

図は、スタジアム内で異なる初期条件（黒矢印で示す）下で発射された波束の時間平均確率密度内に現れた2つのバースマークを示している。上の図は、跳ね返るボールの軌道に沿って中心から垂直に放出された波束の結果を示している。一方、下の図は、一般的な初期状態に対応して、任意の角度で中心からずれて準備された波束を示している。注目すべきことに、いずれの場合も量子バースマークはスタジアムの2つの反射対称性を尊重している。これら2つの事例は、確率密度が無限時間でも均一になるという意味で、量子系が古典的なエルゴード性仮定に違反する可能性があることを明確に示している。したがって、量子傷跡は、固有状態レベルで発生する量子傷跡を超えた、弱いエルゴード性の破れの新しい形態を示している。あらゆる初期状態とその短期的な動作は量子システムによって記憶されるが、[ 58 ]対応する母斑の強さは出生地の動的な詳細に依存し、特にこの量子記憶効果は瘢痕の存在下で増強される。

参照

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