散らばった空間

数学において、散在空間とは、空でない稠密な部分集合を含まない位相空間 Xのことである。[1] [2] 同様に、Xの空でない部分集合AはすべてA内の孤立点を含む。

位相空間の部分集合は、それが部分空間位相を持つ散在空間である場合、散在集合と呼ばれます。

例

  • あらゆる個別の空間が散在しています。
  • 順序位相を持つすべての順序数は散在している。実際、すべての空でない部分集合Aには最小元が含まれ、その元はA内で孤立している。
  • 特定の点位相、特にシェルピンスキー空間を持つ空間X は散在空間である。これは、 T 1空間ではない散在空間の例である。
  • 散在集合の閉包は必ずしも散在しているとは限りません。例えば、ユークリッド平面において、 単位円板上の可算無限離散集合A を考えます。この集合では、境界に近づくにつれて点の密度がどんどん高くなります。例えば、原点を中心とし、半径が1に近づくn角形の頂点の和集合を考えます。すると、 Aの閉包は半径 1 の円全体を含み、それ自体が稠密となります。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

プロパティ

  • 位相空間Xにおいて、稠密な部分集合の閉包は完全集合である。したがって、Xが散在的であるためには、空でない完全集合が存在しない必要がある。
  • 散在空間のすべての部分集合は散在している。散在していることは遺伝的性質である。
  • すべての散在空間XはT 0空間です。(証明: X内の2 つの異なる点x、yを考えると、そのうちの少なくとも 1 つ (たとえばx ) は 内で孤立していることになります。つまり、 X内にyを含まないxの近傍が存在することになります。) { × 、 y } {\displaystyle \{x,y\}}
  • T 0空間において、2つの散在集合の和集合は散在する。[3] [4]ここで T 0仮定が必要であることに注意されたい。例えば、離散位相において、、、は両方とも散在しているが、それらの和集合である は孤立点を持たないため散在しない。 X ＝ { 1つの 、 b } {\displaystyle X=\{a,b\}} { 1つの } {\displaystyle \{a\}} { b } {\displaystyle \{b\}} X {\displaystyle X}
  • すべての T 1散乱空間は完全に分離されています。
    (証明: CがXの空でない連結部分集合である場合、 C にはCで孤立した点xが含まれます。したがって、シングルトンはCで開いており( xが孤立しているため)、 Cで閉じています(T 1プロパティのため)。Cは連結であるため、 は と等しくなければなりません。これは、 Xのすべての連結コンポーネントに単一の点があることを示しています。) { × } {\displaystyle \{x\}} { × } {\displaystyle \{x\}}
  • 2番目に数えられる散乱空間はすべて数えられる。[5]
  • あらゆる位相空間Xは、完全集合と散在集合の互いに素な和として一意に表すことができる。 [6] [7]
  • すべての 2 番目の可算空間X は、完全集合と可算な散在開集合の互いに素な和集合として一意に表すことができます。
    (証明:完全 + 散在分解と、上記の第 2 可算散在空間に関する事実、および第 2 可算空間のサブセットが第 2 可算であるという事実を使用します。)
    さらに、第二の可算なXのすべての閉部分集合は、 Xの完全部分集合とXの可算な散在部分集合との互いに素な和集合として一意に表すことができます。[8] これは特に任意のポーランド空間において成り立ち、カントール・ベンディクソンの定理の内容となっています。

注記

  1. ^ スティーン＆シーバッハ、33ページ
  2. ^ エンゲルキング、59ページ
  3. ^ Al -Hajri, Monerah; Belaid, Karim; Belaid, Lamia Jaafar (2016). "Scattered Spaces, Compactifications and an Application to Image Classification Problem". Tatra Mountains Mathematical Publications . 66 : 1– 12. doi : 10.1515/tmmp-2016-0015 . S2CID  199470332. の命題2.8を参照。
  4. ^ 「一般位相 - $T_0$ 空間では、2 つの散在集合の和集合は散在する」。
  5. ^ 「一般位相幾何学 - 2番目に可算な散乱空間は可算である」。
  6. ^ ウィラード、問題30E、219ページ
  7. ^ 「一般位相幾何学 - 完全集合と散在集合への分解の一意性」。
  8. ^ 「実解析 - カントール・ベンディクソンの定理は一般の第二可算空間に当てはまるか？」

参考文献

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