シュレーディンガー関数

数理物理学において、量子場の理論に対するアプローチはいくつかあり、それらは他のものよりも広く受け入れられています。歴史的な理由から、シュレーディンガー表現はフォック空間法よりもあまり好まれていません。量子場の理論の初期においては、ローレンツ不変性などの対称性を維持し、それを明示的に示し、くりこみを証明することが最も重要でした。シュレーディンガー表現は明らかにローレンツ不変性ではなく、そのくりこみ可能性は1980年代になってようやくクルト・シマンジク（1981）によって示されました。

シュレーディンガー関数は、最も基本的な形態では、状態波動関数の時間変換生成器です。簡単に言えば、量子粒子系が時間とともにどのように発展し、その後の系がどのように変化するかを定義します。

背景

量子力学は、ガリレイ群が作用する空間座標上で定義され、対応する演算子はその状態に として作用する。この状態は、 によって定義される座標固有状態に投影される波動関数によって特徴付けられる。これらの固有状態は定常ではない。 時間発展はハミルトニアンによって生成され、シュレーディンガー方程式 が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi (\mathbf {x} )=\mathbf {x} \psi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|\mathbf {x} \right\rangle =\mathbf {x} \left|\mathbf {x} \right\rangle }$ ${\displaystyle i\partial _{0}\left|\psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

しかし、量子場の理論では、座標は場の演算子であり、これは状態の波動関数に次のように作用する。 ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {x} }={\hat {\phi }}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\operatorname {\phi } \left(\mathbf {x} \right)\Psi \left[\phi (\cdot )\right],}$

ここで「⋅」は非束縛空間引数を表す。この波動関数は

${\displaystyle \Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\left\langle \phi (\cdot )|\Psi \right\rangle }$

場の固有状態によって得られる

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle =\Phi (\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle ,}$

これらは、適用されていない「古典場」構成によってインデックス付けされています。これらの固有状態は、上記の位置固有状態と同様に、定常ではありません。時間発展はハミルトニアンによって生成され、シュレーディンガー方程式を生じます。 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$

${\displaystyle i\partial _{0}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle .}$

したがって、量子場理論における状態は、概念的には場の構成の機能的な重ね合わせです。

例: スカラーフィールド

量子スカラー場の量子場理論では、一粒子量子調和振動子と完全に類似しており、この量子場の固有状態は「古典場」（c数）を固有値として、 ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)\left|\phi \right\rangle =\phi \left(x\right)\left|\phi \right\rangle }$

（シュワルツ、2013）

${\displaystyle \left|\phi \right\rangle \propto e^{-\int dx{\frac {1}{2}}~(\phi (x)-{\hat {\Phi }}_{+}(x))^{2}}\left|0\right\rangle }$

ここで、 は生成演算子のみを含む の部分です。発振器の場合、これはフォック状態から | x ⟩ 状態への表現変更/写像に対応します。 ${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{+}\left(x\right)}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}\left(x\right)}$ ${\displaystyle a_{k}^{\dagger }}$

時間に依存しないハミルトニアンHに対して、シュレーディンガー関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]=\langle \,\phi _{2}\,|e^{-iH(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\,\phi _{1}\,\rangle .}$

シュレーディンガー表現では、この関数は状態波動関数の 時間変換を生成する。

${\displaystyle \Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int \!{\mathcal {D}}\phi _{1}\,\,{\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]\Psi [\phi _{1},t_{1}].}$

州

正規化された真空状態の自由場波動関数はガウス分布である。

${\displaystyle \Psi _{0}[\phi ]=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})\phi ({\vec {y}})}=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi },}$

ここで共分散Kは

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {y}})=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}\,e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}.}$

これは、連続極限における各kモードの基底状態の積（のフーリエ変換）に類似しており、おおよそ（ハットフィールド1992）

${\displaystyle \Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]=\lim _{\Delta k\to 0}\;\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}})^{2}{\frac {\Delta k^{3}}{(2\pi )^{3}}}}\to \left(\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}\right)e^{-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}(|{\vec {k}}|)^{2}}.}$

各kモードは独立した量子調和振動子として入射する。1粒子状態は単一モードを励起することで得られ、以下の形をとる。

${\displaystyle \Psi [\phi ]\propto \int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})f({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ]=\phi \cdot K\cdot f\,e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi }.}$

例えば、励起を導入すると、次のような結果が得られます（ハットフィールド 1992）。 ${\displaystyle {\vec {k}}_{1}}$

${\displaystyle \Psi _{1}[{\tilde {\phi }}]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}}_{1})\Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]}$

${\displaystyle \Psi _{1}[\phi ]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\int d^{3}y\,e^{-i{\vec {k}}_{1}\cdot {\vec {y}}}\phi ({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ].}$

( の係数はハットフィールドの設定 に由来します。) ${\displaystyle (2\pi )^{-3/2}}$ ${\displaystyle \Delta k=1}$

例: フェルミオン場

明瞭化のため、 SO ⁺ (1, 1)の2次元空間における質量ゼロのワイル・マヨラナ場を考えるが、この解はSO ^{+ (1, 3) の任意の質量を持つ}ディラック・ビスピノルに一般化できる。配置空間は、反可換グラスマン値場u ( x )の汎関数から構成される。の効果は ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \Psi [u]}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(u(x)+{\frac {\delta }{\delta u(x)}}\right)|\Psi \rangle .}$

参考文献

• ブライアン・ハットフィールド著『点粒子と弦の量子場理論』アディソン・ウェスリー・ロングマン、1992年。第10章「シュレーディンガー表現における自由場」を参照。
• IV Kanatchikov, 「プレカノニカル量子化とシュレーディンガー波動関数」Phys. Lett. A 283 (2001) 25–36. Eprint arXiv:hep-th/0012084, 16ページ.
• R. Jackiw、「ボソンおよびフェルミオン量子場理論のシュレーディンガー描像」『数学的量子場理論と関連トピックス：1987年9月1日～5日に開催された1987年モントリオール会議議事録』（JS FeldmanおよびLM Rosen編、アメリカ数学会、1988年）所収。
• H. Reinhardt, C. Feuchter, 「クーロンゲージにおけるヤン＝ミルズ波動関数について」Phys. Rev. D 71 (2005) 105002. Eprint arXiv:hep-th/0408237, 9ページ.
• DV Long, GM Shore, 「シュレーディンガー波動関数と曲がった時空における真空状態」Nucl.Phys. B 530 (1998) 247–278. Eprint arXiv:hep-th/9605004, 41ページ.
• Kurt Symanzik, 「シュレーディンガー表現と再正規化可能な量子場理論におけるカシミール効果」Nucl. Phys.B 190 (1981) 1–44, doi:10.1016/0550-3213(81)90482-X.
• K. Symanzik, 「くりこみ可能な量子場理論におけるシュレーディンガー表現」NATO高等研究所シリーズ82（1983年）pp 287–299、doi:10.1007/978-1-4613-3509-2_20。
• Martin Lüscher, Rajamani Narayanan, Peter Weisz, Ulli Wolff, "The Schrödinger Functional - a Renormalizable Probe for Non-Abelian Gauge Theories". Nucl.Phys.B 384 (1992) 168–228, doi:10.1016/0550-3213(92)90466-O. Eprint arXiv:hep-lat/9207009.
• マシュー・シュワルツ (2013). 『量子場の理論と標準模型』ケンブリッジ大学出版局, 第14章.