シュレーディンガー群

シュレーディンガー群は、自由粒子シュレーディンガー方程式の対称群である。数学的には、群SL(2,R)はハイゼンベルク群に外自己同型によって作用し、シュレーディンガー群は対応する半直積である。

シュレーディンガー代数

シュレーディンガー代数はシュレーディンガー群のリー代数である。これは半単純ではない。空間次元が1つであれば、リー代数sl(2,R)とハイゼンベルク代数の半直和として得られる。同様の構成は高次元空間にも当てはまる。

中心拡張を持つ ガリレイ代数が含まれます。

${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},P_{b}]=i\epsilon _{abc}P_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},K_{b}]=i\epsilon _{abc}K_{c},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},P_{b}]=0,[K_{a},K_{b}]=0,[K_{a},P_{b}]=i\delta _{ab}M,\,\!}$

${\displaystyle [H,J_{a}]=0,[H,P_{a}]=0,[H,K_{a}]=iP_{a}.\,\!}$

ここで、はそれぞれ回転の生成元（角運動量演算子）、空間変換（運動量演算子）、ガリレイブースト、時間変換（ハミルトニアン）です。（注：は虚数単位です。回転の生成元の交換子の具体的な形式は3次元空間の交換子なので、 です。）中心拡大Mは非相対論的質量として解釈され、位相変換におけるシュレーディンガー方程式の対称性（および確率の保存）に対応します。 ${\displaystyle J_{a},P_{a},K_{a},H}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle a,b,c=1,\ldots ,3}$

さらに2つの生成元があり、それぞれDとCで表します。これらは以下の交換関係を持ちます。

${\displaystyle [H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},D]=iP_{a},[K_{i},D]=-iK_{a},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},C]=-iK_{a},[K_{a},C]=0,\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},C]=[J_{a},D]=0.\,\!}$

生成元H、C、Dはsl(2, R )代数を形成する。

より体系的な記法を用いると、これらの生成子を4つの（無限の）族とに分類することができる。ここで、n ∈ ℤは整数、m ∈ ℤ+1/2は半整数、j,k=1,...,d は空間次元dにおける空間方向を表す。シュレーディンガー代数の非零交換子は（ユークリッド形式）となる。 ${\displaystyle X_{n},Y_{m}^{(j)},M_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-R_{n}^{(kj)}}$

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},Y_{m}^{(j)}]=\left({n \over 2}-m\right)Y_{n+m}^{(j)}}$

${\displaystyle [X_{n},M_{n'}]=-n'M_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},R_{n'}^{(jk)}]=-n'R_{n'}^{(jk)}}$

${\displaystyle [Y_{m}^{(j)},Y_{m'}^{(k)}]=\delta _{j,k}(m-m')M_{m+m'}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},Y_{m}^{(k)}]=\delta _{i,k}Y_{n+m}^{(j)}-\delta _{j,k}Y_{n+m}^{(i)}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},R_{n'}^{(kl)}]=\delta _{i,k}R_{n+n'}^{(jl)}+\delta _{j,l}R_{n+n'}^{(ik)}-\delta _{i,l}R_{n+n'}^{(jk)}-\delta _{j,k}R_{n+n'}^{(il)}}$

シュレーディンガー代数は有​​限次元であり、生成元 を含む。特に、3つの生成元はsl(2,R)部分代数を張る。空間変換は によって生成され 、ガリレイ変換は によって生成される。 ${\displaystyle X_{-1,0,1},Y_{-1/2,1/2}^{(j)},M_{0},R_{0}^{(jk)}}$ ${\displaystyle X_{-1}=H,X_{0}=D,X_{1}=C}$ ${\displaystyle Y_{-1/2}^{(j)}}$ ${\displaystyle Y_{1/2}^{(j)}}$

選択された表記法では、シュレーディンガー・ヴィラソロ代数と呼ばれる無限次元拡張が存在することが明確に分かる。すると、 nが整数である生成元はループ・ヴィラソロ代数を張る。時空間変換としての明示的な表現は、 n∈ℤ、m∈ℤ+1/2として与えられる^[1]。${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}=-t^{n+1}\partial _{t}-{n+1 \over 2}t^{n}{\vec {r}}\cdot \partial _{\vec {r}}-{n(n+1) \over 4}{\cal {M}}t^{n-1}{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}-{x \over 2}(n+1)t^{n}}$

${\displaystyle Y_{m}^{(j)}=-t^{m+1/2}\partial _{r_{j}}-\left(m+{1 \over 2}\right){\cal {M}}t^{m-1/2}r_{j}}$

${\displaystyle M_{n}=-t^{n}{\cal {M}}}$

${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-t^{n}\left(r_{j}\partial _{r_{k}}-r_{k}\partial _{r_{j}}\right)}$

これは、非半単純有限次元シュレーディンガー代数の中心拡大が、シュレーディンガー・ヴィラソロ代数の無限族の成分となる様子を示している。さらに、ヴィラソロ代数やカッツ・ムーディ代数との類似性から、さらなる中心拡大も可能である。しかし、零でない結果は交換子に対してのみ存在し 、交換子はよく知られたヴィラソロ形式、すなわち ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]}$

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}+{c \over 12}(n^{3}-n)\delta _{n+n',0}}$

あるいは回転間の交換子については、カッツ・ムーディ形式を持たなければならない。その他の可能な中心拡張は、リー代数生成子に吸収される。 ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}}$

数理物理学におけるシュレーディンガー群の役割

シュレーディンガー群は自由粒子シュレーディンガー方程式の対称群として定義されますが、相互作用する非相対論的システム（例えば臨界状態の冷たい原子）でも実現されます。

d次元空間におけるシュレーディンガー群は、d + 1次元の相対論的共形群SO(2, d + 2)に埋め込むことができる。この埋め込みは、質量ゼロのクライン＝ゴルドン方程式から、ヌル的次元に沿ったカルツァ＝クラインのコンパクト化とニュートン＝カルタン理論のバルクマンリフトを介してシュレーディンガー方程式が得られるという事実と関連している。この埋め込みは、シュレーディンガー代数をSO(2, d + 2)の最大放物型部分代数に拡張したものと見ることもできる。

シュレーディンガー群の対称性は、相互作用するボソン系およびフェルミオン系に、ボソンの超流動^[2] 、^[3] やフェルミオンのフェルミ液体と非フェルミ液体^[4]などの異常な特性をもたらす可能性がある。これらは凝縮物質や冷却原子に応用されている。

シュレーディンガー群は、凝縮系応用における動的対称性としても現れます。これは、運動学的界面成長のエドワーズ・ウィルキンソンモデルの動的対称性です。^[5]また、磁気系において、無秩序相から秩序相への温度クエンチ後の相秩序化の速度論も記述します。

参考文献

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• J. Unterberger、C. Roger、シュレディンガー・ヴィラソロ代数(Springer、Heidelberg 2012)

参照

• シュレーディンガー方程式
• ガリレオ変換
• ポアンカレ群