ハミルトニアン（量子力学）

量子力学において、系のハミルトニアンは、運動エネルギーと位置エネルギーの両方を含む、その系の全エネルギーに対応する演算子である。そのスペクトル、すなわち系のエネルギースペクトル、あるいはエネルギー固有値の集合は、系の全エネルギーの測定から得られる可能性のある結果の集合である。これはエネルギースペクトルや系の時間発展と密接な関係があるため、量子論のほとんどの定式化において根本的な重要性を持つ。

ハミルトニアンは、ニュートン力学の革新的な定式化（ハミルトニアン力学として知られる）を考案したウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名付けられました。これは量子物理学の発展において歴史的に重要な意味を持ちました。ベクトル表記と同様に、通常は で表記され、ハット記号はそれが演算子であることを示します。 または と表記することもできます。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

導入

系のハミルトニアンは、系全体のエネルギー、すなわち系に関連するすべての粒子の運動エネルギーと位置エネルギーの和を表します。ハミルトニアンは様々な形を取り、場合によっては、解析対象となる系の具体的な特性（系内の粒子が単一か複数か、粒子間の相互作用、位置エネルギーの種類、時間変動型か時間非依存型かなど）を考慮して簡略化されます。

シュレーディンガーハミルトニアン

一つの粒子

古典力学との類推により、ハミルトニアンは一般に、系の 運動エネルギーと位置エネルギーに対応する演算子の和として次のように表現される。 ここで、 は位置エネルギー演算子、 は運動エネルギー演算子 である。ここで、は粒子の質量、 はベクトルのドット積、 は運動量演算子 である。ここで、aはデルタ演算子である。と自身のドット積はラプラス演算子である。直交座標を用いた3次元では、ラプラス演算子は次のようになる 。$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$ $${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$ ${\displaystyle \nabla}$ ${\displaystyle \nabla}$ ${\displaystyle \nabla^{2}}$ $${\displaystyle \nabla^{2}={\frac{\partial^{2}}{{\partialx}^{2}}}+{\frac{\partial^{2}}{{\partialy}^{2}}}+{\frac{\partial^{2}}{{\partialz}^{2}}}}$$

これは古典力学におけるハミルトニアンの専門的な定義ではありませんが、最も一般的に採用されている形です。これらを組み合わせると、シュレーディンガー方程式で用いられる形が得られます。 これにより、波動関数 で記述される系にハミルトニアンを適用することができます。これは、シュレーディンガーの波動力学の形式を用いた量子力学の入門書で一般的に用いられるアプローチです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

電磁場が関係するケースなど、特定のケースに適合させるために、特定の変数を置換することもできます。

期待値

エネルギー期待値を与えるハミルトニアンの期待値は、常にシステムの最小ポテンシャル以上になることが示されます。

運動エネルギーの期待値を計算することを考えてみましょう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}T&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx\\[1ex]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\psi }{dx}}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}\,dx\right)\\[1ex]&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$$

したがって、運動エネルギーの期待値は常に非負である。この結果は、正規化された波動関数に対して与えられる全エネルギーの期待値を計算するのに用いることができ、 これにより証明は完了する。同様に、発散定理 を用いて、この条件は任意の高次元に一般化できる。 $${\displaystyle E=T+\langle V(x)\rangle =T+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$$

多くの粒子

この形式主義は粒子 に拡張できます。 ここで は位置エネルギー関数で、システムの空間構成と時間の関数です (特定の瞬間の空間位置のセットによって構成が定義されます)。 は粒子 の運動エネルギー演算子、は粒子 の勾配、 は粒子nのラプラシアンです。 ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$ $${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$ $${\displaystyle \nabla_{n}^{2}={\frac{\partial^{2}}{\partialx_{n}^{2}}}+{\frac{\partial^{2}}{\partialy_{n}^{2}}}+{\frac{\partial^{2}}{\partialz_{n}^{2}}},}$$

これらを組み合わせると、 -粒子の場合のシュレーディンガーハミルトニアンが得られます。 ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

しかし、多体問題では複雑な問題が生じる可能性があります。位置エネルギーは粒子の空間配置に依存するため、運動エネルギーもエネルギー保存のために空間構成に依存します。任意の1つの粒子による運動は、システム内の他のすべての粒子の運動によって変化します。このため、運動エネルギーの交差項がハミルトニアンに現れることがあります。これは、2つの粒子の勾配が混ざったものです。 ここで、は、この追加の運動エネルギーを生み出す粒子集合体の質量を表します。この形式の項は質量分極項と呼ばれ、多電子原子のハミルトニアンに現れます（以下を参照）。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$ ${\displaystyle M}$

相互作用する粒子、すなわち相互に作用し多体状態を構成する粒子の場合、ポテンシャルエネルギー関数は個々のポテンシャルの単純な和ではありません（次元的に正しくないため、積でもありません）。ポテンシャルエネルギー関数は、上記のように、各粒子のすべての空間位置の関数としてしか表すことができません。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

非相互作用粒子、すなわち相互作用せず独立して運動する粒子の場合、系の電位は各粒子の個別の電位エネルギーの合計であり、^{[ 1 ]}、 $${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

この場合のハミルトニアンの一般的な形は次のようになります。 ここで、和はすべての粒子とそれに対応するポテンシャルについて取られます。結果として、系のハミルトニアンは各粒子の個別のハミルトニアンの和となります。これは理想的な状況であり、実際には粒子はほぼ常に何らかのポテンシャルの影響を受け、多体相互作用が存在します。この形が当てはまらない二体相互作用の一例として、荷電粒子による静電ポテンシャルが挙げられます。これは、以下に示すように、荷電粒子がクーロン相互作用（静電力）によって相互作用するためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$

シュレーディンガー方程式

ハミルトニアンは量子状態の時間発展を生成する。 が時刻 における系の状態である場合、 ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over \ dt}\left|\psi (t)\right\rangle .}$$

この方程式はシュレーディンガー方程式です。ハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形をしており、これがハミルトニアンとも呼ばれる理由の一つです。ある初期時刻( )における状態が与えられれば、これを解くことでその後の任意の時刻における状態を得ることができます。特に、が時間に依存しない場合、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$$

シュレーディンガー方程式の右辺の指数演算子は通常、の対応するべき級数によって定義されます。どこでも定義されていない非有界演算子の多項式やべき級数を取ることは、数学的に意味をなさない場合があることに気付くかもしれません。厳密には、非有界演算子の関数を取るには、関数微積分が必要です。指数関数の場合、連続、あるいは単に正則関数微積分で十分です。ただし、一般的な計算では物理学者の定式化で十分であることを再度指摘しておきます。 ${\displaystyle H}$

関数計算の*-準同型性により、演算子は ユニタリ演算子 である。これは閉量子系の時間発展演算子、または伝播関数である。ハミルトニアンが時間に依存しない場合、 1パラメータユニタリ群（半群以上）を形成する。これにより、詳細平衡の物理的原理が導かれる。 $${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$$ ${\displaystyle \{U(t)\}}$

ディラック形式論

しかし、ディラックのより一般的な形式では、ハミルトニアンは通常、次のように ヒルベルト空間上の演算子として実装されます。

の固有ケット（ ）は、ヒルベルト空間の直交基底を与える。系の許容エネルギー準位のスペクトルは、 と表記される固有値の集合によって与えられ、次式を解く。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$ ${\displaystyle \{E_{a}\}}$ $${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$$

はエルミート演算子なので、エネルギーは常に実数になります。 ${\displaystyle H}$

数学的に厳密な観点からは、上記の仮定には注意が必要です。無限次元ヒルベルト空間上の作用素は固有値を持つ必要はありません（固有値の集合は必ずしも作用素のスペクトルと一致するとは限りません）。しかし、この物理的な定式化を用いることで、日常的な量子力学計算はすべて実行できます。

ハミルトニアンの表現

以下は、様々な状況におけるハミルトニアンの表現である。^{[ 2 ]}表現を分類する典型的な方法は、粒子の数、次元の数、そしてポテンシャルエネルギー関数の性質（特に空間と時間への依存性）である。質量は、電荷は で表される。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

自由粒子

粒子はいかなるポテンシャルエネルギーにも束縛されていないため、ポテンシャルはゼロとなり、このハミルトニアンは最も単純になります。1次元の場合： 高次元の場合： $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

定電位井戸

一定ポテンシャル領域（空間や時間に依存しない領域）にある粒子の場合、1次元ではハミルトニアンは次のように表される。3 次元で は${\displaystyle V=V_{0}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

これは、基本的な「箱の中の粒子」問題とステップポテンシャルに適用されます。

単振動子

1 次元の単純な調和振動子の場合、ポテンシャルは位置によって変化しますが (時間は変化しません)、次の式に従います。 ここで、振動子の 角周波数、有効バネ定数、質量は次の式を満たします。 したがって、ハミルトニアンは次のようになります。 $${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

3次元の場合、これは次のようになります。 直交座標系を用いた 3次元位置ベクトルは で、その大きさは $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

ハミルトニアンを完全に書き出すと、それは単純に各方向の 1 次元ハミルトニアンの合計であることがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

剛性ローター

剛体回転子、つまり、任意の軸の周りを自由に回転でき、いかなるポテンシャルにも束縛されていない粒子のシステム（二重または三重化学結合などにより、振動の自由度が無視できる自由分子など）の場合、ハミルトニアンは次のようになります。 ここで、、、およびは、慣性モーメントの成分（技術的には、慣性モーメントテンソル の対角要素）、および、、および は、それぞれ、、および軸の周りの全角運動量演算子（成分）です。 $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$ ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$ ${\displaystyle I_{zz}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

静電（クーロン）電位

3次元における2つの点電荷と（つまり、独立して空間的な広がりを持たない点電荷）のクーロン位置エネルギーは（SI単位系、電磁気学でよく使用されるガウス単位系ではなく）次のとおりです。 ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ $${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

しかし、これはある点電荷が他の点電荷によって生じるポテンシャルに過ぎません。多数の荷電粒子が存在する場合、各電荷は他のすべての点電荷（自身を除く）によって生じるポテンシャルエネルギーを持ちます。電荷の場合、他のすべての電荷による電荷のポテンシャルエネルギーは（離散的な点電荷構成に蓄えられる静電ポテンシャルエネルギーも参照）^{[ 3 ]}で表されます。 ここで、はにおける電荷の静電ポテンシャルです。したがって、システムの全ポテンシャルは、 の和です。 したがって、ハミルトニアンは 次のように表されます。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{j}}$ $${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

電場内の電気双極子

大きさ の電荷を構成する電気双極子モーメントが 、一箇所に配置された均一な静電場（時間に依存しない）にある場合、ポテンシャルは次のようになる。 双極子モーメント自体は演算子である。 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

粒子は静止しているので、双極子の並進運動エネルギーは存在せず、双極子のハミルトニアンは単なる位置エネルギーとなります。 $${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

磁場中の磁気双極子

均一な静磁場（時間に依存しない）内の磁気双極子モーメントが1 か所に配置されている場合、そのポテンシャルは次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

粒子は静止しているので、双極子の並進運動エネルギーは存在せず、双極子のハミルトニアンは単なる位置エネルギーとなります。 $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

スピン1 ⁄ 2粒子の場合、対応するスピン磁気モーメントは^{[ 4 ]} である。 ここで、は「スピンg因子」（磁気回転比と混同しないこと）、は電子電荷、はスピン演算子ベクトルであり、その成分はパウリ行列である。したがって、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$ ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

電磁場中の荷電粒子

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルで記述される電磁場中の質量と電荷を持つ粒子の場合、ハミルトニアンには2つの部分を代入する必要がある。^{[ 1 ]}正準運動量演算子は、場からの寄与を含み、正準交換関係を満たすため、量子化されなければならない 。 ここで、は運動運動量である。量子化の規定は 、対応する運動エネルギー演算子はであり 、場に起因する位置エネルギーは次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$ ${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

これらをハミルトニアンに当てはめると、 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$

エネルギー固有値の縮退、対称性、保存則

多くの系では、2つ以上のエネルギー固有状態が同じエネルギーを持ちます。その簡単な例として自由粒子が挙げられます。自由粒子のエネルギー固有状態は、平面波を伝播する波動関数を持ちます。これらの平面波のエネルギーは、波長の2乗に反比例します。ある方向に伝播する波は、ある方向に伝播する波とは異なる状態ですが、波長が同じであれば、エネルギーは同じになります。このような場合、状態は縮退していると言われます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

非自明なユニタリ演算子がハミルトニアンと交換する場合、必ず退化が生じることが分かります。これを確認するには、 がエネルギー固有ケットであると仮定します。すると は同じ固有値を持つエネルギー固有ケットとなります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ $${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$$

は自明ではないため、少なくとも1組のと は異なる状態を表す必要があります。したがって、は少なくとも1組の縮退したエネルギー固有値を持ちます。自由粒子の場合、対称性を生み出すユニタリー演算子は回転演算子であり、これは波動関数をある角度だけ回転させますが、それ以外の形状は維持されます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ ${\displaystyle H}$

対称性作用素の存在は、保存される観測量の存在を意味する。を のエルミート生成元とする。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}$$

がと可換であればも可換であることは簡単に示せます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle [H,G]=0}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$$

この結果を得るために、シュレーディンガー方程式とその双対で ある$${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {d \over \ dt}\langle \psi (t)|.}$$

したがって、観測量の期待値は系のいかなる状態においても保存される。自由粒子の場合、保存量は角運動量である。 ${\displaystyle G}$

ハミルトン方程式

古典ハミルトン力学におけるハミルトン方程式は、量子力学にも直接的な類似性を持つ。基底状態の集合 があるとする。これは必ずしもエネルギーの固有状態である必要はない。簡単のため、これらは離散的であり、直交性を持つと仮定する。すなわち、 ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$ $${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$$

これらの基底状態は時間に依存しないと仮定されていることに注意してください。ハミルトニアンも時間に依存しないと仮定します。

時刻 におけるシステムの瞬間状態は、これらの基底状態によって展開できる。 ここで ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$$ $${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$$

係数は複素変数です。古典系を規定する位置座標や運動量座標のように、系の状態を規定する座標として扱うことができます。古典座標と同様に、係数は一般に時間に対して一定ではなく、その時間依存性は系全体の時間依存性を引き起こします。 ${\displaystyle a_{n}(t)}$

この状態のハミルトニアンの期待値（平均エネルギーでもある）は、 基底状態に関して 展開することによって最後のステップが得られたところです。$${\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

変数は実部と虚部を持つため、それぞれは実際には2つの独立した自由度に対応しています。ここで、実部と虚部を独立変数として用いる代わりに、とその複素共役 を用います。このように独立変数を選択することで、偏微分を計算できます。${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$$

シュレーディンガー方程式を適用し、基底状態の直交性を利用すると、これはさらに次のように簡約される。 $${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$$

同様に、 $${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$$

によって 「共役運動量」変数を定義すると、 上記の方程式は となり 、これはまさにハミルトン方程式の形となり、s は一般化座標、s は共役運動量、そして は古典的ハミルトニアンに置き換わります。 ${\displaystyle \pi _{n}}$ $${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \langle H\rangle }$

参照

• バーマン・シュウィンガー原理
• ブラケット記法
• エネルギー保存則
• 電界
• 静電気
• ハミルトン力学
• リープ・サーリング不等式
• 線形代数
• 磁場
• 多体問題
• オペレーター（物理学）
• ポテンシャル理論
• 量子状態
• 二状態量子系

参考文献

1. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). 『原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学』（第2版）John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X。
2. アトキンス、PW (1974). 『量子：概念ハンドブック』オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-855493-1。
3. Grant, I.S.; Phillips, WR (2008).電磁気学. マンチェスター物理学シリーズ（第2版）. ISBN 978-0-471-92712-9。
4. ブランスデン, BH; ジョアチェイン, CJ (1983). 『原子と分子の物理学』ロングマン. ISBN 0-582-44401-2。

さらに読む

• シュレーディンガー、エルヴィン(1926). 「固有値問題としての量子化」. Annalen der Physik (ドイツ語). 79 (4): 361– 376. Bibcode : 1926AnP...384..361S . doi : 10.1002/andp.19263840404 .この論文は量子力学の基礎となるもので、シュレーディンガー方程式とそのハミルトン作用素への応用を紹介している。
• ディラック、ポール・A・M (1928). 「電子の量子論」 .ロンドン王立協会紀要. シリーズA, 数学的・物理学的性質の論文を含む. 117 (778): 610– 624.書誌コード: 1928RSPSA.117..610D . doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .この論文は、量子力学と特殊相対論を統合し、電子のスピンを説明したディラック方程式を導入した。
• フォン・ノイマン、ジョン(1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [量子力学の数学的基礎]. ベルリン: Springer. 1955年に英訳されたフォン・ノイマンの著作は、ヒルベルト空間と線型作用素を用いて量子力学を定式化した。これは現在でもこの分野の基礎となっている。

外部リンク

• ウィキクォートにおけるハミルトニアン（量子力学）に関する引用