シュール級

複素解析において、シュアー類は、開単位円板上で定義され、シュアー問題を解くための正則関数 の集合である。複素数が与えられたとき、関数を求める。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} D = { z ∈ C : | z | < 1 } {\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} | f ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(z)|\leq 1} c 0 , c 1 , … , c n {\displaystyle c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}}

f ( z ) = ∑ j = 0 n c j z j + ∑ j = n + 1 ∞ f j z j {\displaystyle f(z)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}z^{j}+\sum _{j=n+1}^{\infty }f_{j}z^{j}}

これは解析的であり、単位円板上で1で有界である。 [1]この問題や類似の問題（例えば、テプリッツ方程式やネヴァンリンナ・ピック補間の解法）を解く方法は、シュアーアルゴリズム（係数ストリッピングまたはレイヤーストリッピングとも呼ばれる）として知られている。このアルゴリズムの最も重要な特性の一つは、n + 1個の 直交多項式を生成することである。この直交多項式は、任意のn次多項式を展開するための直交基底関数として使用できる。 [2]シュアーアルゴリズムはレビンソンアルゴリズムと密接に関連しているが、数値的にシュアーアルゴリズムの方が安定しており、並列処理に適している。[3]

シュール関数

単位円上の唯一 の確率測度のカラテオドリ関数を考える。 d μ {\displaystyle d\mu } T = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}

F ( z ) = ∫ e i θ + z e i θ − z d μ ( θ ) {\displaystyle F(z)=\int {\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}d\mu (\theta )}

ここで はを意味する。[4]すると、 ∫ d μ ( θ ) = 1 {\displaystyle \int d\mu (\theta )=1} F ( 0 ) = 1 {\displaystyle F(0)=1}

F ( z ) = 1 + z f ( z ) 1 − z f ( z ) {\displaystyle F(z)={\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}}}

逆公式によって与えられる カラテオドリー関数とシューア関数 の間に1対1の対応を設定します。 f ( z ) {\displaystyle f(z)}

f ( z ) = z − 1 ( F ( z ) − 1 F ( z ) + 1 ) {\displaystyle f(z)=z^{-1}\left({\frac {F(z)-1}{F(z)+1}}\right)}

シュアーアルゴリズム

シュアーのアルゴリズムは、メビウス変換に基づく反復的な構成で、あるシュアー関数を別のシュアー関数に写像する。[4] [5]このアルゴリズムは、シュアー関数とシュアーパラメータ（ヴェルブランスキー係数または反射係数とも呼ばれる）の無限列を再帰的に定義する。[6] f ≡ f 0 , f 1 , … , f n , … {\displaystyle f\equiv f_{0},f_{1},\dotsc ,f_{n},\dotsc } γ 0 , γ 1 , … , γ n , … {\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\dotsc ,\gamma _{n},\dotsc }

f j + 1 = 1 z f j ( z ) − γ j 1 − γ j ¯ f j ( z ) , f j ( 0 ) ≡ γ j ∈ D , {\displaystyle f_{j+1}={\frac {1}{z}}{\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}},\quad f_{j}(0)\equiv \gamma _{j}\in \mathbb {D} ,}

の場合には停止する。この変換を反転すると f j ( z ) ≡ e i θ = γ j ∈ T {\displaystyle f_{j}(z)\equiv e^{i\theta }=\gamma _{j}\in \mathbb {T} }

f ( z ) ≡ f 0 ( z ) = γ 0 + z f 1 ( z ) 1 + γ 0 ¯ z f 1 ( z ) {\displaystyle f(z)\equiv f_{0}(z)={\frac {\gamma _{0}+zf_{1}(z)}{1+{\overline {\gamma _{0}}}zf_{1}(z)}}}

あるいは、シュア関数の 連分数展開として

f 0 ( z ) = γ 0 + 1 − | γ 0 | 2 γ 0 ¯ + 1 z γ 1 + z ( 1 − | γ 1 | 2 ) γ 1 ¯ + 1 z γ 2 + ⋯ {\displaystyle f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}}+{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}}

繰り返し事実を利用して

f j ( z ) = γ j + 1 − | γ j | 2 γ j ¯ + 1 z f j + 1 ( z ) . {\displaystyle f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}}+{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}.}

参照

参考文献

  1. ^ Schur, J. (1918)、「Über die Potenzreihen, die im Innern des Einheitkreises beschränkten sind. I, II」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、演算子理論: 進歩と応用、147 : 205–232、I. 演算子理論と信号処理におけるシュール メソッド:演算子理論: 進歩と応用、vol. 18、Birkhäuser、バーゼル、1986年（英語翻訳）、doi :10.1007/978-3-0348-5483-2、ISBN 978-3-0348-5484-9 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  2. ^ Chung, Jin-Gyun; Parhi, Keshab K. (1996).パイプライン型ラティス型およびウェーブ型デジタル再帰フィルタ. Kluwer International Series in Engineering and Computer Science. ボストン, MA: Springer US. p. 79. doi :10.1007/978-1-4613-1307-6. ISBN 978-1-4612-8560-1. ISSN  0893-3405.
  3. ^ Hayes, Monson H. (1996).統計的デジタル信号処理とモデリング. John Wiley & Son. p. 242. ISBN 978-0-471-59431-4. OCLC  34243409。
  4. ^ ab Simon, Barry (2005), 単位円上の直交多項式 第1部 古典理論, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3446-6、MR  2105088
  5. ^ コンウェイ、ジョン・B. (1978).複素一変数関数 I (数学大学院テキスト 11) . シュプリンガー・フェアラーク. p. 127. ISBN 978-0-387-90328-6。
  6. ^ Simon, Barry (2010), Szegő's theorem and its descendants: spectral theory for L² perturbations of orthogonal polynomials, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14704-8
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