シュール補数
Tool in linear algebra and matrix analysis

シュアー補数は、線形代数、行列理論、数値解析、統計学の分野で重要なツールです。

これはブロック行列に対して定義されます。p 、 q が p + q > 0 となる非負整数であり、A、B、C、Dがそれぞれp × p、p × q、q × p、q × qの複素数行列であるとします。M が( p + q ) × ( p + q ) 行列 となるようにします。 M = [ A B C D ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}

Dが逆行列の場合、行列MのブロックDのシュアー補行列は、次のように定義される p × p行列です。Aが逆行列の 場合、行列MのブロックAのシュアー補行列は、次のように定義される q × q行列です。AまたはDが特異な場合 、M/A と M/D の逆行列を一般化逆行列に置き換えると、一般化シュアー補行列が得られます。 M / D := A − B D − 1 C . {\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C.} M / A := D − C A − 1 B . {\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}

シュアー補写像は、シュアーの補題を証明するために使用したイサイ・シュアー[1]にちなんで名付けられましたが、それ以前にも使用されていました[2]。エミリー・ヴァージニア・ヘインズワースが最初にこれをシュアー補写像と呼んだ[3] 。シュアー補写像は、物理学者ヘルマン・フェシュバッハにちなんでフェシュバッハ写像と呼ばれることもあります[4]。

背景

シュアー補行列は、行列Mに対してブロックガウス消去法を実行する際に生じる。ブロック対角線より下の要素を消去するために、行列Mに右辺 のブロック下三角行列を以下のように乗算する。 ここで、I pはp × p単位行列を表す。その結果、シュアー補行列は左上のp × pブロックに現れる。 M = [ A B C D ] → [ A B C D ] [ I p 0 − D − 1 C I q ] = [ A − B D − 1 C B 0 D ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}} M / D = A − B D − 1 C {\displaystyle M/D=A-BD^{-1}C}

この点を超えて消去法を続けると（つまり、ブロックガウス・ジョルダン消去法を実行すると）、 MのLDU 分解が 得られ、これは次の式 で表されます。したがって、 M の逆は、D −1と、存在すると仮定したシュアー補数の逆を含めて、次のように 表すことができます。 上記の関係は、D −1とM/Dを含めた消去操作から生じます。 AとDの役割を入れ替えて、同等の導出を行うことができます。 これら 2 つの異なる方法で得られたM −1の式を等しくすることで、 Mの2 つのシュアー補数M/DとM/Aを関連付ける行列反転の補題を確立できます（Woodbury 行列恒等式 § 代替証明の「LDU 分解からの導出」を参照）。 [ A − B D − 1 C B 0 D ] → [ I p − B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C B 0 D ] = [ A − B D − 1 C 0 0 D ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}} M = [ A B C D ] = [ I p B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I p 0 D − 1 C I q ] . {\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} M − 1 = [ A B C D ] − 1 = ( [ I p B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I p 0 D − 1 C I q ] ) − 1 = [ I p 0 − D − 1 C I q ] [ ( A − B D − 1 C ) − 1 0 0 D − 1 ] [ I p − B D − 1 0 I q ] = [ ( A − B D − 1 C ) − 1 − ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 − D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 D − 1 + D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 ] = [ ( M / D ) − 1 − ( M / D ) − 1 B D − 1 − D − 1 C ( M / D ) − 1 D − 1 + D − 1 C ( M / D ) − 1 B D − 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

プロパティ

  • pとq が両方とも 1 の場合（つまり、A、B、C、Dがすべてスカラーの場合）、2 行 2 列の行列の逆行列のよく知られた式が得られます。
M − 1 = 1 A D − B C [ D − B − C A ] {\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}
ただし、AD  −  BCはゼロ以外である。
  • 一般に、Aが逆である場合、
M = [ A B C D ] = [ I p 0 C A − 1 I q ] [ A 0 0 D − C A − 1 B ] [ I p A − 1 B 0 I q ] , M − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( M / A ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( M / A ) − 1 − ( M / A ) − 1 C A − 1 ( M / A ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
この逆が存在するときはいつでも。
  • （シュアーの公式）A、Dがそれぞれ逆行列であるとき、 Mの行列式は次のように表されることも明らかである。
det ( M ) = det ( A ) det ( D − C A − 1 B ) {\displaystyle \det(M)=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right)} 、 それぞれ
det ( M ) = det ( D ) det ( A − B D − 1 C ) {\displaystyle \det(M)=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right)} 、
これは 2 × 2 行列の行列式の公式を一般化したものです。
  • （ガットマンのランク加法性公式）Dが逆行列を持つ場合、Mのランクは次のように与えられる。
rank ⁡ ( M ) = rank ⁡ ( D ) + rank ⁡ ( A − B D − 1 C ) {\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} \left(A-BD^{-1}C\right)}
  • （ヘインズワース慣性加法性公式）Aが逆行列である場合、ブロック行列Mの慣性はAの慣性とM / Aの慣性の合計に等しくなります。
  • （商の恒等式）[ 5] A / B = ( ( A / C ) / ( B / C ) ) {\displaystyle A/B=((A/C)/(B/C))}
  • ラプラシアン行列のシュアー補行列もラプラシアン行列である。[6]

線形方程式の解への応用

シュール補数は、[7]のような線形方程式系を解くときに自然に生じる。

[ A B C D ] [ x y ] = [ u v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}} 。

部分行列が逆行列であると仮定すると、次のように方程式から 消去できます。 A {\displaystyle A} x {\displaystyle x}

x = A − 1 ( u − B y ) . {\displaystyle x=A^{-1}(u-By).}

この式を2番目の式に代入すると、

( D − C A − 1 B ) y = v − C A − 1 u . {\displaystyle \left(D-CA^{-1}B\right)y=v-CA^{-1}u.}

これを元の方程式からを消去して得られる簡約方程式と呼ぶ。簡約方程式に現れる行列は、の最初のブロックのシュアー補行列と呼ばれる。 x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} M {\displaystyle M}

S   = d e f   D − C A − 1 B {\displaystyle S\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ D-CA^{-1}B} 。

この簡約された方程式を解くと、

y = S − 1 ( v − C A − 1 u ) . {\displaystyle y=S^{-1}\left(v-CA^{-1}u\right).}

これを最初の式に代入すると、

x = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 ) u − A − 1 B S − 1 v . {\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u-A^{-1}BS^{-1}v.}

上記の 2 つの式は次のように表すことができます。

[ x y ] = [ A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ] [ u v ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.}

したがって、ブロック行列の逆行列の定式化は次のようになります。

[ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ] = [ I p − A − 1 B I q ] [ A − 1 S − 1 ] [ I p − C A − 1 I q ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&-A^{-1}B\\&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&\\-CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}.}

特に、シュアー補数はの逆数のブロック要素の逆数であることが分かります。 2 , 2 {\displaystyle 2,2} M {\displaystyle M}

実際には、このアルゴリズムが数値的に正確であるためには、 条件が適切に整えられている必要があります。 A {\displaystyle A}

この手法は、電気工学においてネットワーク方程式の次元を削減するために有用です。特に、出力ベクトルの要素がゼロの場合に有効です。例えば、またはがゼロの場合、出力ベクトルの残りの部分を変更することなく、係数行列の関連する行を削除できます。 がゼロの場合、上記の の式はに簡約され 、係数行列の次元は変更されずに削減されます。これは電気工学においてノード削除またはクロン縮約と呼ばれ、有利に利用されています。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} x {\displaystyle x} x = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 ) u {\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u} u {\displaystyle u}

確率論と統計への応用

ランダム列ベクトルX、YがそれぞれR nとR mに存在し、 R n + mのベクトル（X、Y）が、共分散が対称正定値行列 である多変量正規分布に従うと仮定する。

Σ = [ A B B T C ] , {\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],}

ここで 、 はXの共分散行列、はYの共分散行列、はXとY 間の共分散行列です。 A ∈ R n × n {\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} C ∈ R m × m {\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}} B ∈ R n × m {\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}

このとき、XのYが与えられた条件付き共分散はCのシュアー補集合となる：[ 8] Σ {\textstyle \Sigma }

Cov ⁡ ( X ∣ Y ) = A − B C − 1 B T E ⁡ ( X ∣ Y ) = E ⁡ ( X ) + B C − 1 ( Y − E ⁡ ( Y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (X\mid Y)&=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\\\operatorname {E} (X\mid Y)&=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))\end{aligned}}}

上の行列をランダムベクトルの共分散ではなく標本共分散とみなすと、ウィシャート分布に従う可能性があります。その場合、Cのシュアー補集合もウィシャート分布に従います。[要出典] Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma }

正定値性と半定値性の条件

Xを実数の 対称行列とし、ヘインズワースの慣性加法公式 により、 X = [ A B B T C ] . {\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}

  • Aが逆行列を持つ場合、Xが正定値となるのは、 Aとその補集合X/Aが両方とも正定値である場合に限ります。 [2] : 34 
X ≻ 0 ⇔ A ≻ 0 , X / A = C − B T A − 1 B ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succ 0.}
  • Cが逆関数である場合、Xが正定値となるのは、 Cとその補集合X/C が両方とも正定値である場合に限ります。
X ≻ 0 ⇔ C ≻ 0 , X / C = A − B C − 1 B T ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succ 0.}
  • Aが正定値ならば、 Xは半正定値となるのは、補集合X/Aが半正定値となる場合のみである: [2] : 34 
If  A ≻ 0 ,  then  X ⪰ 0 ⇔ X / A = C − B T A − 1 B ⪰ 0. {\displaystyle {\text{If }}A\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succeq 0.}
  • Cが正定値の 場合、補集合X/Cが半正定値であるときのみ、Xは半正定値となります。
If  C ≻ 0 ,  then  X ⪰ 0 ⇔ X / C = A − B C − 1 B T ⪰ 0. {\displaystyle {\text{If }}C\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succeq 0.}

最初と3番目のステートメントは、量の最小値をvの関数として考えることによっても導くことができます（ u は固定）。 u T A u + 2 v T B T u + v T C v , {\displaystyle u^{\mathrm {T} }Au+2v^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }u+v^{\mathrm {T} }Cv,\,}

さらに、 半正定値行列の場合も同様であるため、2 番目 (または 4 番目) のステートメントは、1 番目 (または 3 番目) のステートメントから直接導かれます。 [ A B B T C ] ≻ 0 ⟺ [ C B T B A ] ≻ 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}

一般化されたシュアー補集合の観点から、Xが半正定値であることの必要十分条件も存在する。 [2]具体的には、

  • X ⪰ 0 ⇔ A ⪰ 0 , C − B T A g B ⪰ 0 , ( I − A A g ) B = 0 {\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{\mathrm {T} }A^{g}B\succeq 0,\left(I-AA^{g}\right)B=0\,} そして
  • X ⪰ 0 ⇔ C ⪰ 0 , A − B C g B T ⪰ 0 , ( I − C C g ) B T = 0 , {\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\mathrm {T} }\succeq 0,\left(I-CC^{g}\right)B^{\mathrm {T} }=0,}

ここで はの一般逆を表します。 A g {\displaystyle A^{g}} A {\displaystyle A}

参照

参考文献

  1. ^ シュール、J. (1917)。 「Über Potenzreihen die im Inneren des Einheitskreises beschränkt sind」。J. Reine U. Angewandte Mathematik。147 : 205–232 .土井:10.1515/crll.1917.147.205。
  2. ^ abcd Zhang, Fuzhen (2005). Zhang, Fuzhen (ed.).シュール補集合とその応用. 数値解析法とアルゴリズム. 第4巻. Springer. doi :10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6。
  3. ^ Haynsworth, EV、「シューア補数について」、Basel Mathematical Notes、#BNB 20、17ページ、1968年6月。
  4. ^ フェシュバッハ、ハーマン (1958). 「統一核反応理論」Annals of Physics . 5 (4): 357– 390. doi :10.1016/0003-4916(58)90007-1.
  5. ^ Crabtree, Douglas E.; Haynsworth, Emilie V. (1969). 「行列のシュアー補集合の恒等式」 . Proceedings of the American Mathematical Society . 22 (2): 364– 366. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0255573-1 . ISSN  0002-9939. S2CID  122868483.
  6. ^ Devriendt, Karel (2022). 「有効抵抗は距離以上のもの：ラプラシアン、シンプリス、そしてシュール補集合」.線形代数とその応用. 639 : 24– 49. arXiv : 2010.04521 . doi :10.1016/j.laa.2022.01.002. S2CID  222272289.
  7. ^ ab Boyd, S. および Vandenberghe, L. (2004)、「凸最適化」、ケンブリッジ大学出版局 (付録 A.5.5)
  8. ^ フォン・ミーゼス、リチャード (1964). 「第8章 9.3」.確率統計の数学的理論. アカデミック・プレス. ISBN 978-1483255385。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
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